Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица A является нормальной , если она коммутирует с сопряженной ей транспонированной A. ^* :

$A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.$

Понятие нормальных матриц можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных нормированных пространствах и на нормальные элементы в С*-алгебрах . Как и в матричном случае, нормальность означает, что коммутативность сохраняется, насколько это возможно, в некоммутативной ситуации. Это делает нормальные операторы и нормальные элементы C*-алгебр более поддающимися анализу.

Спектральная теорема утверждает, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице и, следовательно, любая матрица A, удовлетворяющая уравнению A ^* А = АА ^* является диагонализируемым . (Обратное неверно, поскольку диагонализуемые матрицы могут иметь неортогональные собственные пространства.) Таким образом, $A=UDU^{*}$ и $A^{*}=UD^{*}U^{*}$где $D$ представляет собой диагональную матрицу, диагональные значения которой в целом являются комплексными.

Левый и правый сингулярные векторы в разложении по сингулярным значениям нормальной матрицы $A=UDV^{*}$ отличаются друг от друга и от соответствующих собственных векторов только комплексной фазой, поскольку для образования сингулярных значений фазу необходимо вынести из собственных значений.

Особые случаи

Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы являются нормальными, причем все собственные значения являются единичными по модулю, действительными и мнимыми соответственно. Аналогично, среди действительных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы являются нормальными, причем все собственные значения представляют собой комплексно-сопряженные пары на единичной окружности, действительные и мнимые соответственно. Однако это не тот случай, когда все нормальные матрицы являются либо унитарными, либо (косо)эрмитовыми, поскольку их собственные значения, вообще говоря, могут быть любым комплексным числом. Например, $$A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$$ не является ни унитарным, ни эрмитовым, ни косоэрмитовым, поскольку его собственные значения равны $2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2$; но это нормально, потому что $$AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$$

Последствия

Утверждение . Нормальная треугольная диагональна . матрица

Доказательство

Пусть A — любая нормальная верхнетреугольная матрица. С $$(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},$$ используя индексную запись, можно написать эквивалентное выражение, используя вместо этого i -й единичный вектор ( ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$), чтобы выбрать i -ю строку и i -й столбец: $${\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.$$ Выражение $$\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)$$ эквивалентно, и поэтому $$\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},$$

это показывает, что i -я строка должна иметь ту же норму, что и i -й столбец.

Рассмотрим я = 1 . Первая запись строки 1 и столбца 1 одинаковы, а остальная часть столбца 1 равна нулю (из-за треугольности). Это означает, что первая строка должна быть нулевой для записей со 2 по n . Продолжение этого аргумента для пар строк и столбцов со 2 по n показывает, что A является диагональным. КЭД

Понятие нормальности важно, потому что нормальные матрицы — это именно те, к которым применима спектральная теорема :

Утверждение . Матрица A является нормальной тогда и только тогда, когда существуют диагональная матрица Λ и унитарная матрица U такие, что A = U Λ U ^* .

Диагональные элементы Λ являются собственными значениями , A а столбцы U являются векторами A собственными . Соответствующие собственные значения в Λ идут в том же порядке, в котором собственные векторы упорядочены как столбцы U .

Другой способ сформулировать спектральную теорему которые могут быть представлены диагональной матрицей относительно правильно выбранного ортонормированного базиса C. — сказать, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы , ^н . Другими словами: матрица нормальна тогда и только тогда, когда ее собственные пространства охватывают C. ^н и попарно ортогональны относительно стандартного скалярного произведения C ^н .

Спектральная теорема для нормальных матриц представляет собой частный случай более общего разложения Шура , справедливого для всех квадратных матриц. Пусть A — квадратная матрица. Тогда по разложению Шура она унитарна, как и верхнетреугольная матрица, скажем, B . Если А нормально, то и Б нормально . Но тогда B должна быть диагональной, ибо, как отмечалось выше, нормальная верхнетреугольная матрица диагональна.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы по их спектрам, например:

Утверждение . Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения (ее спектр) лежат на единичной окружности комплексной плоскости.

Утверждение . Нормальная матрица самосопряжена тогда и только тогда, когда ее спектр содержится в $\mathbb {R}$. Другими словами: нормальная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны .

В общем, сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно должны быть нормальными. Однако справедливо следующее:

Утверждение : если A и B нормальны с AB = BA , то и AB , и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U такая, что UAU ^* и СЕЙЧАС ^* являются диагональными матрицами. Другими словами, A и B диагонализуемы одновременно .

В этом особом случае столбцы U ^* являются собственными векторами как A , так и B и образуют ортонормированный базис в C. ^н . Это следует из объединения теорем о том, что в алгебраически замкнутом поле коммутирующие матрицы , одновременно триангуляризуемы а нормальная матрица диагонализуема - дополнительный результат заключается в том, что и то, и другое можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A — комплексная матрица размера n × n . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. А - это нормально.
2. A диагонализируема . унитарной матрицей
3. Существует набор собственных векторов A , который образует ортонормированный базис для C. ^н .
4. $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ для каждого х .
5. Норма Фробениуса A A может быть вычислена по собственным значениям : ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$.
6. Эрмитова ​ часть ⁠ 1 / 2 ⁠ ( А + А ^* ) и косоэрмитовой части ⁠ 1 / 2 ⁠ ( А - А ^* ) поездки на работу .
7. А ^* является многочленом (степени ≤ n − 1 ) от A .
8. А ^* = AU для некоторой унитарной матрицы U .
9. U и P коммутируют, где мы имеем полярное разложение A = UP с унитарной матрицей U и некоторой положительной полуопределенной матрицей P .
10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N с различными собственные значения.
11. σ _я знак равно | λ _я | для всех 1 ≤ i ≤ n , где A имеет сингулярные значения σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _n и имеет собственные значения, индексированные с упорядочением | λ ₁ | ≥ ⋯ ≥ | λ _п | .

Некоторые, но не все из вышеизложенного обобщаются на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является только квазинормальным .

Аналогия с нормальной матрицей

Иногда полезно (но иногда вводит в заблуждение) думать об отношениях особых видов нормальных матриц как об отношениях соответствующего типа комплексных чисел, из которых состоят их собственные значения. Это связано с тем, что любая функция недефектной матрицы действует непосредственно на каждое из ее собственных значений, а сопряженное транспонирование ее спектрального разложения $VDV^{*}$ является $VD^{*}V^{*}$, где $D$ – диагональная матрица собственных значений. Аналогично, если две нормальные матрицы коммутируют и, следовательно, одновременно диагонализуемы, любая операция между этими матрицами также действует на каждую соответствующую пару собственных значений.

• Сопряженное транспонирование аналогично комплексному сопряжению .
• Унитарные матрицы аналогичны комплексным числам на единичном круге .
• Эрмитова матрица аналогична действительным числам .
• Эрмитовы положительно определенные матрицы аналогичны положительным действительным числам .
• Косые эрмитовы матрицы аналогичны чисто мнимым числам .
• Обратимые матрицы аналогичны ненулевым комплексным числам .
• В обратной матрице каждое собственное значение инвертировано.
• Матрица равномерного масштабирования аналогична постоянному числу.
• В частности, ноль аналогичен 0, а
• единичная . матрица аналогична 1
• Идемпотентная матрица — это ортогональная проекция, каждое собственное значение которой равно 0 или 1.
• Нормальная инволюция имеет собственные значения $\pm 1$.

В частном случае комплексные числа могут быть вложены в нормальные вещественные матрицы 2 × 2 с помощью отображения $$a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.$$ который сохраняет сложение и умножение. Легко проверить, что это вложение учитывает все приведенные выше аналогии.

См. также

• Эрмитова матрица
• Нормальная матрица метода наименьших квадратов

Источники

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985), матричный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-38632-6 .
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-30587-7 .