Адъюгатная матрица

В линейной алгебре сопряжение и квадратной матрицы A является транспонированием ее матрицы-кофактора обозначается adj( A ) . Ее также иногда называют дополнительной матрицей . или «присоединенный», хотя последний термин сегодня обычно относится к другому понятию, сопряженному оператору , который для матрицы представляет собой сопряженное транспонирование .

Произведение матрицы с ее адъюгатом дает диагональную матрицу (элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю), диагональные элементы которой являются определителем исходной матрицы:

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,$

где I — единичная матрица того же размера, что A. и Следовательно, мультипликативную обратную обратимую матрицу можно найти, разделив ее сопряженную на ее определитель.

Определение

Адъюгат ​ A ​ является транспонированием матрицы - C A , кофактора

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Более подробно, предположим, что — коммутативное кольцо с единицей , а A — матрица размера n × n с элементами из R. R i ( , , j ) - минор A - 1 ) , обозначаемый M _ij , является определителем матрицы ( n × ( n - 1 ) полученной в результате удаления строки i и столбца j матрицы A . Матрица -кофактор A размера - это n × n матрица C , запись которой ( i , j ) является ( i , j ) кофактором A , который является ( i , j ) -минорным, умноженным на знаковый множитель:

$\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

Адъюгат A является транспонированием C , то есть матрицей размера n × n которой ( i , j ) , запись является кофактором ( j , i ) матрицы A ,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

Важное последствие

Адъюгат определяется так, что произведение A на его адъюгат дает диагональную матрицу , диагональные элементы которой являются определителем det( A ) . То есть,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,$

где I — n × n единичная матрица размера . Это следствие Лапласу разложения определителя по .

Из приведенной выше формулы следует один из фундаментальных результатов матричной алгебры: A обратим det тогда и только тогда, когда ( A ) является обратимым элементом R . Когда это справедливо, уравнение выше дает

${\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}$

Примеры

Общая матрица 1 × 1

Поскольку определитель матрицы 0 × 0 равен 1, сопряжением любой матрицы 1 × 1 ( комплексный скаляр) является $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$. Обратите внимание, что $\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

Общая матрица 2 × 2

Адъюгат матрицы 2 × 2

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

является

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.$

Путем прямого расчета,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

В этом случае также верно, что ( adj ( A ) ) = det ( A ) и, следовательно, adj ( adj ( A )) = A. det

Общая матрица 3 × 3

Рассмотрим матрицу 3 × 3

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}.$

Его кофакторная матрица

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},$

где

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$

Его адъюгат представляет собой транспонирование матрицы кофакторов,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.$

Числовая матрица 3 × 3

В качестве конкретного примера мы имеем

$\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.$

Легко проверить, что сопряженное число обратно пропорционально определителю, −6 .

-1 . во второй строке, третьем столбце адъюгата вычисляли следующим образом Запись (2,3) адъюгата является кофактором (3,2) A . Этот кофактор вычисляется с использованием подматрицы , полученной путем удаления третьей строки и второго столбца исходной матрицы A ,

${\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.$

Кофактор (3,2) — это знак, умноженный на определитель этой подматрицы:

$(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,$

и это (2,3) запись сопряжения.

Свойства

Для любой n × n матрицы A размера элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами:

• $\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$, где $\mathbf {I}$ является единичной матрицей .
• $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$, где $\mathbf {0}$ — нулевая матрица , за исключением того, что если $n=1$ затем $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$.
• $\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ для любого скаляра c .
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$.
• $\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$.
• Если А обратимо, то $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$. Следует, что:
  • adj( A ) обратим с обратным (det A ) ⁻¹ А. ​
  • прил( А ⁻¹ ) = прил( А ) ⁻¹ .
• adj( A ) является поэлементным полиномом от A . В частности, над действительными или комплексными числами сопряжение является гладкой функцией элементов A .

Над комплексными числами

• $\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$, где черта означает комплексное сопряжение .
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$, где звездочка обозначает сопряженное транспонирование .

Предположим, что B — еще одна матрица размера n × n . Затем

$\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Это можно доказать тремя способами. Один из способов, справедливый для любого коммутативного кольца, — это прямое вычисление с использованием формулы Коши–Бине . Второй способ, справедливый для действительных или комплексных чисел, заключается в том, чтобы сначала заметить, что для обратимых A и B матриц

$\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).$

Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимых матриц, непрерывность сопряжения означает, что формула остается верной, когда одна из матриц A или B не обратима.

Следствием что для любого неотрицательного целого числа k предыдущей формулы является то ,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.$

Если A обратим, то приведенная выше формула справедлива и для отрицательных k .

От личности

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),$

мы делаем вывод

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .$

Предположим, что A коммутирует с B . Умножение тождества AB = BA слева и справа на adj( A ) доказывает, что

$\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Если A обратим, это означает, что adj( A ) также коммутирует с B . В отношении действительных или комплексных чисел непрерывность подразумевает, что adj( A ) коммутирует с B, даже если A не обратимо.

Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица размера n × n имела элементы над полем , состоящим как минимум из 2 n + 1 элементов (например, матрица 5 × 5 над целыми числами по модулю 11). det( A + t   I ) — многочлен от t степени n не выше , поэтому он имеет не более n корней . Обратите внимание, что ij- я запись adj(( A + t   I )( B )) является полиномом не более порядка n , и аналогично для adj( A + t   I ) adj( B ) . Эти два многочлена в ij -й записи согласуются как минимум по n + 1 точкам, поскольку у нас есть не менее n + 1 элементов поля, где A + t   I обратимо, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Полиномы степени n , которые совпадают по n + 1 точкам, должны быть идентичными (вычтите их друг из друга, и вы получите n + 1 корней для многочлена степени не выше n – противоречие, если только их разница не равна тождественному нулю). Поскольку два полинома идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t . Таким образом, они принимают одно и то же значение при t = 0.

Используя приведенные выше свойства и другие элементарные вычисления, легко показать, что если A обладает одним из следующих свойств, то adj A также обладает им:

• верхний треугольный ,
• нижний треугольный ,
• диагональ ,
• ортогональный ,
• унитарный ,
• симметричный ,
• Эрмитиан ,
• нормальный .

Если A кососимметричен n , то adj( ) кососимметричен для четного n и симметричен для нечетного . A Аналогично, если , то A косоэрмитово adj ( A ) косоэрмитово для четного n и эрмитово для нечетного n .

Если A обратимо, то, как отмечалось выше, существует формула для adj( A ) через определитель и обратное к A . Когда A не является обратимым, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.

• Если rk( A ) ≤ n − 2 , то adj( A ) = 0 .
• Если rk( A ) = n − 1 , то rk(adj( A )) = 1 . (Некоторый минор не равен нулю, поэтому adj( A ) не равен нулю и, следовательно, имеет ранг не ниже одного; из тождества adj( A ) A = 0 следует, что размерность нуль -пространства adj ( A ) равна как минимум n − 1 , поэтому его ранг не более единицы.) Отсюда следует, что adj( A ) = α xy ^Т , где α — скаляр, а x и y — векторы такие, что Ax = 0 и A ^Т  у = 0 .

Крамера

Смотрите также: правило Крамера

Разделение A на векторы-столбцы :

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

Пусть b — вектор-столбец размера n . Зафиксируйте 1 ≤ i ≤ n и рассмотрим матрицу, образованную заменой столбца столбца на A i b :

$(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

Лаплас разложит определитель этой матрицы по столбцу i . Результатом является запись i продукта adj( A ) b . Сбор этих определителей для различных возможных i дает равенство векторов-столбцов.

$\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .$

Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .$

Предположим, A неособа что . Умножив эту систему слева на adj( A ) и разделив на определитель, получим

$\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.$

Применение предыдущей формулы к этой ситуации дает правило Крамера :

$x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},$

где x _i — i-я запись x .

Характеристический полином

Пусть полином A равен характеристический

$p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].$

Первая разделенная разность p симметричный представляет собой полином степени n − 1 ,

$\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].$

Умножьте s I − A на его сопряженное число. Поскольку p ( A ) = 0 по теореме Кэли–Гамильтона , некоторые элементарные манипуляции обнаруживают

$\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).$

В частности, A определяется резольвента как

$R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},$

и по приведенной выше формуле это равно

$R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.$

Формула Якоби

Основная статья: формула Якоби

Адъюгат также появляется в формуле Якоби для производной определителя. Если A ( t ) , непрерывно дифференцируемо то

${\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).$

Отсюда следует, что полная производная определителя является транспонированной сопряженной:

$d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.$

Формула Кэли-Гамильтона

Основная статья: теорема Кэли – Гамильтона

Пусть p _A ( t ) будет характеристическим A. многочленом Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что

$p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .$

Отделение постоянного члена и умножение уравнения на adj( A ) дает выражение для сопряженного, которое зависит только от A и коэффициентов p _A ( t ) . Эти коэффициенты могут быть явно представлены через следы степеней A с использованием полных экспоненциальных полиномов Белла . Полученная формула

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},$

где n — размерность A , а сумма берется по s и всем последовательностям k _l ≥ 0 , удовлетворяющим линейному диофантову уравнению

$s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.$

Для случая 2 × 2 это дает

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .$

Для случая 3 × 3 это дает

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.$

Для случая 4 × 4 это дает

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.$

Эта же формула следует непосредственно из завершающего шага алгоритма Фаддеева–Леверье эффективно определяет характеристический полином A. , который

В общем, сопряженная матрица произвольной размерности N-матрицы может быть вычислена по соглашению Эйнштейна.

$(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))_{i_{N}}^{j_{N}}={\frac {1}{(N-1)!}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\epsilon ^{j_{1}j_{2}\ldots j_{N}}A_{j_{1}}^{i_{1}}A_{j_{2}}^{i_{2}}\ldots A_{j_{N-1}}^{i_{N-1}}$

Связь

Адъюгат можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры . Пусть V — n -мерное векторное пространство . Внешний продукт определяет билинейное спаривание

$V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.$

Абстрактно, $\wedge ^{n}V$изоморфно R и при любом таком изоморфизме , внешнее произведение является совершенным спариванием . Следовательно, это дает изоморфизм

$\phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).$

Явно это спаривание отправляет v ∈ V в $\phi _{\mathbf {v} }$, где

$\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .$

Предположим, что T : V → V — линейное преобразование . Обратный ход по ( n − 1) -й внешней степени T индуцирует морфизм пространств Hom . Адъюгатом ​ T является составное

$V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.$

Если В = Р ^н наделен своим каноническим базисом e ₁ , …, en _, и если матрица T в этом базисе равна A , то сопряжение T является сопряжением A . Чтобы понять, почему, дайте $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$ основа

$\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.$

Зафиксируйте базисный вектор e _i из R ^н . Изображение e _i под $\phi$ определяется тем, куда он отправляет базисные векторы:

$\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

На базисных векторах ( n - 1) -я внешняя степень T равна

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.$

Каждый из этих членов отображается в ноль при $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$кроме термина k = i . Поэтому откат $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ — линейное преобразование, для которого

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},$

то есть оно равно

$\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.$

Применяя обратное $\phi$ показывает, что сопряжение T является линейным преобразованием, для которого

$\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.$

Следовательно, его матричное представление является сопряжением A .

Если V наделено скалярным произведением и формой объема, то отображение φ можно разложить дальше. В этом случае φ можно понимать как комбинацию звездного оператора Ходжа и дуализации. В частности, если ω — форма объема, то она вместе со скалярным произведением определяет изоморфизм

$\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .$

Это индуцирует изоморфизм

$\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

Вектор v в R ^н соответствует линейному функционалу

$(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

По определению звездного оператора Ходжа этот линейный функционал двойственен * v . То есть ω ^∨ ∘ φ равно v ↦ * v ^∨ .

Высшие адъюгаты

Пусть A — матрица размера n × n и зафиксируем r ≥ 0 . R -й высший адъюгат A представляет собой ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ матрица, обозначенная adj _r   A , элементы которой индексируются размера r подмножествами I и J из {1, ..., m } . Дайте я ^с и Дж. ^с обозначаем дополнения к I и J соответственно. Также пусть $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$ обозначаем подматрицу A , содержащую те строки и столбцы, индексы которых находятся в I ^с и Дж. ^с , соответственно. Тогда ( I , J ) запись adj _r A равна

$(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},$

где σ( I ) и σ( J ) — сумма элементов I и J соответственно.

Основные свойства высших адъюгатов включают: :

• прил ₀ ( А ) знак равно оно А .
• прил ₁ ( А ) знак равно прил А .
• adj _n ( A ) = 1 .
• прил _р ( BA ) знак равно прил _р ( А ) прил _р ( B ) .
• $\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$, где C _r ( A ) обозначает r -ю составную матрицу .

Высшие адъюгаты могут быть определены в абстрактных алгебраических терминах аналогично обычному адъюгату, заменяя $\wedge ^{r}V$ и $\wedge ^{n-r}V$ для $V$ и $\wedge ^{n-1}V$, соответственно.

Итерированные адъюгаты

Итеративное взятие сопряжения обратимой матрицы A k раз дает

$\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},$

$\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.$

Например,

$\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .$

$\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.$

См. также

• Теорема Кэли – Гамильтона
• Правило Крамера
• Диаграмма трассировки
• Формула Якоби
• Алгоритм Фаддеева – Леверье
• Сложная матрица

Библиография

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (2013), Матричный анализ , второе издание. Издательство Кембриджского университета, ISBN   978-0-521-54823-6
• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN   978-0-521-46713-1

Внешние ссылки

• Справочное руководство по матрицам
• Онлайн-калькулятор матриц (определитель, дорожка, обратная, сопряженная, транспонированная) Вычислить матрицу сопряжений до 8-го порядка
• «Сопряжение {{ a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }» . Вольфрам Альфа .