Форма эшелона строк

В линейной алгебре матрица если находится в виде звеньев строк, ее можно получить в результате исключения Гаусса . Каждую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк, применив последовательность элементарных операций над строками . Термин эшелон происходит от французского échelon («уровень» или ступенька лестницы) и относится к тому факту, что ненулевые элементы матрицы в форме эшелона строк выглядят как перевернутая лестница.

Для квадратных матриц верхняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на диагонали имеет форму эшелона строк, а матрица в форме эшелона строк является (слабо) верхнетреугольной. Таким образом, ступенчатую форму строк можно рассматривать как обобщение верхнетреугольной формы для прямоугольных матриц.

Матрица находится в форме уменьшенного эшелона строк , если она находится в форме эшелона строк, с дополнительным свойством, заключающимся в том, что первая ненулевая запись каждой строки равна $1$и является единственной ненулевой записью в своем столбце. Приведенная ступенчатая форма матрицы уникальна и не зависит от последовательности элементарных операций над строками, использованных для ее получения. Вариант исключения Гаусса , который преобразует матрицу в форму уменьшенного звена строк, иногда называют исключением Гаусса – Жордана .

Матрица находится в форме эшелона столбцов , если ее транспонирование имеет форму эшелона строк. Поскольку все свойства ступенчатых форм столбцов могут быть немедленно выведены из соответствующих свойств ступенчатых форм строк, в оставшейся части статьи рассматриваются только ступенчатые формы строк.

(Общая) форма эшелона строк

Матрица находится в форме звена строк , если

• Все строки, содержащие только нулевые записи, находятся внизу.
• Ведущая запись (то есть самая левая ненулевая запись) каждой ненулевой строки, называемая точкой поворота , находится справа от ведущей записи каждой строки выше.

В некоторых текстах добавляется условие, что старший коэффициент должен быть равен 1. в то время как другие требуют этого только в форме сокращенного эшелона строк .

Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце ниже старшего коэффициента являются нулями.

Ниже приведен пример $4\times 5$ матрица в виде эшелона строк, а не в виде сокращенного эшелона строк (см. ниже):

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]$

Многие свойства матриц можно легко вывести из их ступенчатой ​​формы, например ранг и ядро .

Уменьшенная форма эшелона строк

Матрица находится в сокращенной форме эшелона строк (также называемой канонической формой строк ), если она удовлетворяет следующим условиям:

• Он имеет форму эшелона строк.
• Ведущая запись в каждой ненулевой строке равна 1 (называемой ведущей).
• Каждый столбец, содержащий ведущую единицу, имеет нули во всех остальных записях.

Если первые два условия проверены, последнее условие эквивалентно:

• Каждый столбец, содержащий ведущую 1, имеет нули во всех записях выше ведущей 1 .

Хотя матрица может иметь несколько эшелонированных форм, ее сокращенная эшелонированная форма уникальна.

Учитывая матрицу в форме уменьшенного эшелона строк, если переставить столбцы так, чтобы можно получить матрицу в i-м столбце была ведущая 1 из i-й строки , вида

${\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},$

где I - единичная матрица размерности $j$ равен рангу всей матрицы, X — матрица с $j$ ряды и $n-j$столбцы, а два 0 — это нулевые матрицы соответствующего размера. Поскольку перестановка столбцов не является операцией над строками, результирующая матрица неэквивалентна элементарным операциям со строками. В методе исключения Гаусса это соответствует перестановке неизвестных в исходной линейной системе, которая допускает линейную параметризацию пространства строк, в которой первые $j$ коэффициенты не ограничены, а остальные $n-j$ определяются как их линейные комбинации.

Системы линейных уравнений

Говорят, что система линейных уравнений имеет звено строк, если ее расширенная матрица имеет звено строк. Точно так же говорят, что система линейных уравнений находится в форме сокращенного звена строк или в канонической форме , если ее расширенная матрица находится в форме сокращенного звена строк.

Каноническую форму можно рассматривать как явное решение линейной системы. В действительности система несовместна тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонического вида приведено к 0 = 1; стоит ведущая 1 то есть, если в столбце постоянных членов В противном случае, перегруппировав в правой части все члены уравнений, кроме ведущих, выразим переменные, соответствующие опорным точкам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.

Преобразование в форму эшелона строк

Основная статья: исключение Гаусса

Исключение Гаусса — это основной алгоритм преобразования каждой матрицы в матрицу в форме звена строк. Вариант, иногда называемый исключением Гаусса – Джордана, дает уменьшенную форму эшелона строк. Оба состоят из конечной последовательности элементарных операций над строками ; количество требуемых элементарных операций над строками не превышает mn для матрицы размером m x n . Для данной матрицы, несмотря на то, что форма эшелона строк не уникальна, все формы эшелона строк, включая сокращенную форму эшелона строк, имеют одинаковое количество нулевых строк, а центральные точки расположены в одних и тех же позициях.

Это пример матрицы в форме уменьшенного эшелона строк, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

Для матрицы с целыми коэффициентами нормальная форма Эрмита представляет собой форму звена строк, которую можно вычислить без введения знаменателя, используя евклидово деление или тождество Безу . Сокращенная ступенчатая форма матрицы с целочисленными элементами обычно содержит нецелочисленные элементы из-за необходимости деления на старший коэффициент каждой строки ступенчатой ​​формы.

Неединственность эшелонированной формы матрицы следует из того, что некоторые элементарные операции над строками преобразуют матрицу в эшелонированной форме строк в другую ( эквивалентную ) матрицу, также находящуюся в эшелонированной форме строк. Эти элементарные операции над строками включают умножение строки на ненулевой скаляр и добавление скаляра, кратного строке, к одной из строк над ней. Например:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

В этом примере уникальную форму сокращенного эшелона строк можно получить, вычитая три раза вторую строку из первой строки:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

Аффинные пространства приведенных ступенчатых форм

В этом и следующем разделах мы обозначаем расположение столбцов, содержащих ведущие записи последовательных строк $k\times n$ матрица $A$ в форме уменьшенного эшелона строк (основные точки), как $(L_{1},\dots ,L_{j})$, с

$0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,$

где $j\leq k$- размерность пространства строк матрицы. Данные $(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ будем формой называть $A$, который имеет ведущие ненулевые записи $\{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}$, записи в столбце $L_{i}$ выше и ниже него исчезают, а также все те, что слева от него в той же строке, а также все записи в $i$й ряд для $i>j$:

${\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.$

Поскольку все остальные записи являются произвольными элементами базового поля $K$, набор $A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ всех приведенных ступенчатых матриц формы с формой $(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})$ является K -аффинным пространством размерности

${\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.$

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что из $nj$ возможные записи матрицы в пределах первого $j$ ряды, $j^{2}$ определяются как $0$'песок $1$потому что они в столбцах $(L_{1},\dots ,L_{j})$содержащий шарниры. Дальше $\sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)$ также обязаны быть $0$, потому что они слева от шарниров, а из них,

$\sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)$

также есть в столбцах $(L_{1},\dots ,L_{j})$. Следовательно, общее количество незафиксированных записей будет равно $0$ или $1$ является

$nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.$

Максимальный ранг

Эшелонную форму строк можно использовать для конкретного описания ячеек Шуберта, связанных грассманианом с $k$-мерные подпространства векторного пространства .

Если $j=k\leq n$, матрицы $A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})$ имеют максимальный ранг $k$, и определить $k$-мерные подпространства $w\subset V$ свободных $K$-модуль $V:=K^{n}$, как промежуток

$w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$

линейных комбинаций

$W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k$

элементарных базисных векторов $(e_{1},\dots ,e_{n})$, с коэффициентами, равными векторам-строкам. В этом случае аффинное пространство $A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})$ это ячейка Шуберта $X_{\lambda }({\mathcal {V}})$ грассманиана ​ $\mathbf {Gr} _{k}(V)$, состоящий из $k$-мерные подпространства $V$ соответствующий целочисленному разделу

$\lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)$

с частями, равными

$\lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,$

относительно полного флага

${\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),$

где

$V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.$

Это значит, что $X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоит из тех $k$-мерные подпространства $w\subset V$ пересечения которых с подпространствами $\{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}$ иметь размеры

${\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.$

Тогда его размер равен весу $|\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}$ раздела

$\dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.$

Эквивалентная, но более простая характеристика ячейки Шуберта. $X_{\lambda }({\mathcal {V}})$ может быть задано с помощью двойного полного флага

${\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),$

где

${\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.$

Затем $X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоит из тех $k$-мерные подпространства $w\subset V$ которые имеют основу $({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})$ состоящий из элементов

${\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k$

подпространств $\{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}$ которые относительно стандартного базиса являются векторами-строками $(W_{k},\dots ,W_{1})$ формы звена строки, записанной в обратном порядке.

Ссылки

• Леон, Стивен Дж. (2010), Линч, Дейдра; Хоффман, Уильям; Челано, Кэролайн (ред.), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN  978-0-13-600929-0 , Говорят что матрица находится в форме эшелона строк (i) Если первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке равен 1. (ii) Если строка k не состоит полностью из нулей, количество ведущих нулевых элементов в строке $k+1$больше, чем количество ведущих нулевых записей в строке k . (iii) Если есть строки, все записи которых равны нулю, они находятся ниже строк, имеющих ненулевые записи. .
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN  978-0-89871-454-8 .

Внешние ссылки

• Интерактивная форма эшелона строк с рациональным выводом