Коэффициент

В математике коэффициент входящий — это мультипликативный множитель, в состав члена многочлена некоторого , ряда или выражения . Это может быть число ( безразмерное ), и в этом случае оно называется числовым коэффициентом . ^[1] Это также может быть константа с единицами измерения , в которых она известна как постоянный множитель . ^[1] В общем, коэффициенты могут быть любым выражением (включая такие переменные, как $a$ , $b$ и $c$ ). ^[2]^[1] Когда комбинация переменных и констант не обязательно присутствует в продукте , ее можно назвать параметром . ^[1] Например, полином $2x^{2}-x+3$ имеет коэффициенты 2, −1 и 3, а степени переменной $x$ в полиноме $ax^{2}+bx+c$ иметь параметры коэффициента $a$ , $b$ , и $c$ .

The постоянный коэффициент , также известный как постоянный член или просто константа , — это величина, не привязанная к переменным в выражении или неявно привязанная к нулевой степени переменной; например, постоянными коэффициентами приведенных выше выражений являются число 3 и параметр c , участвующие в 3= c ⋅ x ⁰. Коэффициент, присвоенный высшей степени переменной в полиноме, называется старшим коэффициентом ; например, в приведенных выше выражениях старшими коэффициентами являются 2 и a соответственно.

В контексте дифференциальных уравнений уравнение часто можно записать как приравнивающее нулю полином от неизвестных функций и их производных. В этом случае коэффициенты дифференциального уравнения являются коэффициентами этого многочлена и, как правило, являются непостоянными функциями. Коэффициент является постоянным коэффициентом, если он является постоянной функцией . Во избежание путаницы коэффициент, который не связан с неизвестными функциями и их производными, обычно называют постоянным членом, а не постоянным коэффициентом. В частности, в линейном дифференциальном уравнении с постоянным коэффициентом постоянный член обычно не должен быть постоянной функцией.

Терминология и определение

математике коэффициент — это мультипликативный множитель в некотором члене многочлена В , ряда или любого выражения . Например, в полиноме $7x^{2}-3xy+1.5+y,$ с переменными $x$ и $y$ , первые два слагаемых имеют коэффициенты 7 и −3. Третий член 1,5 – постоянный коэффициент. В последнем члене коэффициент равен 1 и явно не прописан.

Во многих сценариях коэффициенты представляют собой числа (как и в случае с каждым членом предыдущего примера), хотя они могут быть параметрами задачи или любым выражением в этих параметрах. В таком случае необходимо четко различать символы, обозначающие переменные, и символы, обозначающие параметры. Следуя Рене Декарту , переменные часто обозначаются $x$ , $y$ ,..., а параметры - $a$ , $b$ , $c$ ,..., но это не всегда так. Например, если $y$ считается параметром в приведенном выше выражении, то коэффициент при $x$ будет равен $-3 y$ , а постоянный коэффициент (по отношению к $x$ ) будет $1,5 + y$ .

Когда человек пишет $ax^{2}+bx+c,$ обычно предполагается, что $x$ — единственная переменная, а $a$ , $b$ и $c$ — параметры; таким образом, постоянный коэффициент в данном случае равен $c$ .

Любой полином от одной переменной $x$ можно записать как $a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}$ для некоторого неотрицательного целого числа $k$ , где $a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}$ являются коэффициентами. Это включает в себя возможность того, что некоторые термины имеют коэффициент 0; например, в $x^{3}-2x+1$ , коэффициент $x^{2}$ равен 0, а член $0x^{2}$ явно не проявляется. Для самого большого $i$ такой, что $a_{i}\neq 0$ (если есть), $a_{i}$ называется старшим коэффициентом многочлена. Например, старший коэффициент многочлена $4x^{5}+x^{3}+2x^{2}$ равно 4. Это можно обобщить на многомерные полиномы относительно мономиального порядка , см. Базис Грёбнера § Главный член, коэффициент и моном .

Линейная алгебра

В линейной алгебре система линейных уравнений часто представляется матрицей коэффициентов . Например, система уравнений ${\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},$ соответствующая матрица коэффициентов ${\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.$ Матрицы коэффициентов используются в таких алгоритмах, как исключение Гаусса и правило Крамера, для поиска решений системы.

( Ведущий элемент иногда ведущий коэффициент ^{[ нужна ссылка ]}) строки матрицы — это первая ненулевая запись в этой строке. Так, например, в матрице ${\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},$ старший коэффициент первой строки равен 1; второй строки — 2; в третьей строке — 4, а в последней строке нет старшего коэффициента.

Хотя коэффициенты часто рассматриваются как константы в элементарной алгебре, их также можно рассматривать как переменные по мере расширения контекста. Например, координаты $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ вектора $v$ в векторном пространстве с базисом $\lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace$ – коэффициенты при базисных векторах в выражении $v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.$

См. также

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «ИСО 80000-1:2009» . Международная организация по стандартизации . Проверено 15 сентября 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 августа 2020 г.

Дальнейшее чтение

Сабах Аль-Хадад и CH Скотт (1979) Студенческая алгебра с приложениями , стр. 42, Winthrop Publishers, Кембридж, Массачусетс ISBN 0-87626-140-3 .
Гордон Фуллер, Уолтер Л. Уилсон, Генри С. Миллер, (1982) Колледжская алгебра , 5-е издание, стр. 24, Brooks/Cole Publishing, Монтерей, Калифорния ISBN 0-534-01138-1 .

[80000-1:2009-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «ИСО 80000-1:2009» . Международная организация по стандартизации . Проверено 15 сентября 2019 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 августа 2020 г.

[1]

[2]