Константа (математика)

Более узкую трактовку этого предмета см. в разделе «Математическая константа» .

В математике слово константа имеет несколько значений. Как прилагательное оно относится к невариативности (т. е. неизменности по отношению к некоторому другому значению ); как существительное оно имеет два разных значения:

• Фиксированное и четко определенное число или другой неизменяющийся математический объект . термины математическая константа или физическая константа . Для обозначения этого значения иногда используются
• Функция , значение которой остается неизменным (т. е. постоянная функция ). Такая константа обычно представляется переменной , которая не зависит от рассматриваемой основной(ых) переменной(й).

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как:

$ax^{2}+bx+c\,,$

где a , b и c — константы ( коэффициенты или параметры), а x — — переменная заполнитель для аргумента изучаемой функции. Более явный способ обозначения этой функции:

$x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,$

что делает ясным статус функции-аргумента x (и, как следствие, постоянство a , b и c ). этом примере a , b и c являются коэффициентами многочлена В . Поскольку c встречается в члене, который не включает x , его называют постоянным членом многочлена и его можно рассматривать как коэффициент при x. ⁰ . В более общем смысле, любой полиномиальный член или выражение нулевой степени (без переменной) является константой.

Постоянная функция

Основные статьи: Постоянная функция и нулевой уровень

Константу можно использовать для определения константной функции , которая игнорирует свои аргументы и всегда возвращает одно и то же значение. Постоянная функция одной переменной, например $f(x)=5$, имеет график горизонтальной линии, параллельной оси x . Такая функция всегда принимает одно и то же значение (в данном случае 5), поскольку переменная не появляется в выражении, определяющем функцию.

График $f(x)=5$.

Контекстная зависимость

Контекстно-зависимую природу понятия «константа» можно увидеть в этом примере из элементарного исчисления:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}$

«Константа» означает отсутствие зависимости от какой-либо переменной; не меняется при изменении этой переменной. В первом случае выше это означает независимость от h ; во втором — это означает независимость от x . Константу в более узком контексте можно рассматривать как переменную в более широком контексте.

константы

Основная статья: Математическая константа

Некоторые значения часто встречаются в математике и обычно обозначаются определенным символом. Эти стандартные символы и их значения называются математическими константами. Примеры включают в себя:

• 0 ( ноль ).
• 1 ( единица ), натуральное число после нуля.
• π ( pi ), константа, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру, примерно равная 3,141592653589793238462643.
• е , приблизительно равно 2,718281828459045235360287.
• i , мнимая единица такая, что i ² = −1 .
• ${\sqrt {2}}$ ( квадратный корень из 2 ), длина диагонали квадрата с единичными сторонами, примерно равна 1,414213562373095048801688.
• φ ( золотое сечение ), примерно равное 1,618033988749894848204586, или алгебраически, $1+{\sqrt {5}} \over 2$.

Константы в исчислении

В исчислении константы обрабатываются по-разному в зависимости от операции. Например, производная (скорость изменения) постоянной функции равна нулю. Это связано с тем, что константы по определению не меняются. Следовательно, их производная равна нулю.

И наоборот, при интегрировании постоянной функции константа умножается на переменную интегрирования.

Во время оценки предела константа остается такой же, какой она была до и после оценки.

Интегрирование функции одной переменной часто предполагает константу интегрирования . Это возникает из-за того, что интеграл является инверсией (противоположностью) производной , а это означает, что целью интегрирования является восстановление исходной функции перед дифференцированием. Производная постоянной функции равна нулю, как отмечалось выше, а дифференциальный оператор является линейным оператором, поэтому функции, которые отличаются только постоянным членом, имеют одинаковую производную. добавляется константа интегрирования Чтобы признать это, к неопределенному интегралу ; это гарантирует, что будут включены все возможные решения. Константа интегрирования обычно записывается как «c» и представляет собой константу с фиксированным, но неопределенным значением.

Примеры

Если f — постоянная функция такая, что $f(x)=72$ для каждого х тогда

${\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}$

См. также

• Константа (значения)
• Выражение
• Установлен уровень
• Список математических констант
• Физическая константа

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с константами, на Викискладе?