Число

Установите включения между натуральными числами (ℕ), целыми числами (ℤ), рациональными числами (ℚ), действительными числами (ℝ) и комплексными числами (ℂ).

Число используемый – это математический объект, для подсчета , измерения и обозначения . Самыми простыми примерами являются натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 и т. д. ^[1]Числа могут быть представлены в языке с помощью числовых слов . В более широком смысле отдельные числа могут быть представлены символами , называемыми цифрами ; например, «5» — это цифра, обозначающая число пять . Поскольку запомнить можно лишь относительно небольшое количество символов, основные цифры обычно организованы в систему счисления , которая представляет собой организованный способ представления любого числа. Наиболее распространенной системой счисления является индийско-арабская система счисления , которая позволяет представлять любое неотрицательное целое число с помощью комбинации десяти основных числовых символов, называемых цифрами . ^[2]^[а]Помимо использования при подсчете и измерении, цифры часто используются для меток (например, телефонных номеров ), для заказа (например, серийных номеров ) и кодов (например, ISBN ). В обычном использовании цифра не отличается четко от числа , которое она представляет.

В математике понятие числа на протяжении веков расширялось и теперь включает ноль (0), ^[3] отрицательные числа , ^[4] рациональные числа , такие как половина $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , действительные числа , такие как квадратный корень из 2 $\left({\sqrt {2}}\right)$ и $π$ , ^[5] и комплексные числа ^[6] которые расширяют действительные числа квадратным корнем из $-1$ (и его комбинациями с действительными числами путем добавления или вычитания их кратных). ^[4] Вычисления с числами выполняются с помощью арифметических операций, наиболее известными из которых являются сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . Их изучение или использование называется арифметикой , термином, который также может относиться к теории чисел , изучению свойств чисел.

Помимо практического использования, числа имеют культурное значение во всем мире. ^[7]^[8] Например, в западном обществе число 13 часто считается несчастливым , а « миллион » может означать «много», а не точное количество. ^[7] Хотя сейчас это считается лженаукой , вера в мистическое значение чисел, известная как нумерология , пронизывала древнюю и средневековую мысль. ^[9] Нумерология сильно повлияла на развитие греческой математики , стимулируя исследование многих проблем теории чисел, которые представляют интерес и сегодня. ^[9]

В XIX веке математики начали разрабатывать множество различных абстракций, которые разделяют определенные свойства чисел и могут рассматриваться как расширяющие эту концепцию. Среди первых были гиперкомплексные числа , которые состоят из различных расширений или модификаций комплексной системы счисления . В современной математике системы счисления считаются важными частными примерами более общих алгебраических структур, таких как кольца и поля , а применение термина «число» является условностью, не имеющей фундаментального значения. ^[10]

История

Первое использование чисел

Были обнаружены кости и другие артефакты с вырезанными на них отметками, которые многие считают метками . ^[11] Эти метки могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например количества дней, лунных циклов или ведения учета количества, например животных.

В системе подсчета нет понятия разрядности (как в современной десятичной системе счисления), что ограничивает ее представление больших чисел. Тем не менее, системы подсчета считаются первым видом абстрактной системы счисления.

Первой известной системой с числовым значением была месопотамская система с основанием 60 ( ок. 3400 г. до н.э.), а самая ранняя известная система с основанием 10 датируется 3100 г. до н.э. в Египте . ^[12]

Цифры

Числа следует отличать от цифр — символов, используемых для обозначения чисел. Египтяне изобрели первую зашифрованную систему счисления, а затем греки нанесли свои счетные числа на ионический и дорический алфавиты. ^[13] Римские цифры, система, в которой использовались комбинации букв римского алфавита, оставались доминирующими в Европе до распространения превосходящей индуистско-арабской системы счисления примерно в конце 14 века, а индуистско-арабская система счисления остается наиболее распространенной системой для обозначения. цифры в современном мире. ^[14]^{[ нужен лучший источник ]} Ключом к эффективности системы был символ нуля , который был разработан древнеиндийскими математиками около 500 года нашей эры. ^[14]

Нуль

Первое известное документальное использование нуля датируется 628 годом нашей эры и появилось в «Брахмаспхутасиддханте» , основной работе индийского математика Брахмагупты . Он рассматривал 0 как число и обсуждал связанные с ним операции, включая деление . К этому времени (7 век) эта концепция явно достигла Камбоджи в виде кхмерских цифр , и документация показывает, что идея позже распространилась на Китай и исламский мир .

» Брахмагупты «Брахмаспхутасиддханта - первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупта обычно считается первым, кто сформулировал концепцию нуля. Он дал правила использования нуля с отрицательными и положительными числами, например: «ноль плюс положительное число — это положительное число, а отрицательное число плюс ноль — это отрицательное число». « Брахмасфутасиддханта» — самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как самостоятельный номер, а не просто как цифра-заполнитель для обозначения другого числа, как это было у вавилонян, или как символ отсутствия количества, как это было у Птолемея и римляне.

Использование 0 в качестве числа следует отличать от его использования в качестве цифры-заполнителя в системах разрядных значений . Во многих древних текстах использовалось число 0. Его использовали в вавилонских и египетских текстах. Египтяне использовали слово nfr для обозначения нулевого баланса при двойной записи . используется санскритское слово Шунье или Шунья В индийских текстах для обозначения концепции пустоты . В текстах по математике это слово часто относится к числу ноль. ^[15] Подобным же образом Панини (5 век до н. э.) использовал нулевой (нулевой) оператор в Аштадхьяи , раннем примере алгебраической грамматики для санскритского языка (см. также Пингала ).

До «Брахмагупты» ноль использовался и по-другому, хотя документация не такая полная, как в «Брахмаспхутасиддханте» .

Записи показывают, что древние греки, казалось, не были уверены в статусе 0 как числа: они задавались вопросом: «Как «ничто» может быть чем-то?» что привело к интересным философским , а к периоду Средневековья и религиозным аргументам о природе и существовании О и вакуума . Парадоксы 1 Зенона Элейского частично зависят от неопределенной интерпретации 0. (Древние греки даже сомневались, является ли числом .)

Поздние ольмеки на юге центральной Мексики начали использовать символ нуля, глиф ракушки , в Новом Свете, возможно, к 4 веку до нашей эры , но определенно к 40 году до нашей эры, который стал неотъемлемой частью цифр майя и календаря майя. . В арифметике майя использовалось основание 4 и основание 5, записанное как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 году сообщил о «пальцевых» счетах с основанием 4 и основанием 5. ^[16]^{[ нужен лучший источник ]}

К 130 году нашей эры Птолемей , под влиянием Гиппарха и вавилонян, использовал символ 0 (маленький круг с длинной чертой) в шестидесятеричной системе счисления, в противном случае используя алфавитные греческие цифры . Поскольку он использовался отдельно, а не просто как заполнитель, этот эллинистический ноль был первым задокументированным использованием настоящего нуля в Старом Свете. В более поздних византийских рукописях его Syntaxis Mathematica ( Альмагест ) эллинистический ноль трансформировался в греческую букву Омикрон (иначе означающую 70).

Еще один истинный ноль использовался в таблицах вместе с римскими цифрами в 525 году (первое известное использование Дионисием Эксигусом ), но как слово, nulla означающее ничего не , а не как символ. Когда при делении в остатке получался 0, nihil , также ничего не использовался означающий. Эти средневековые нули использовались всеми будущими средневековыми компьютеристами (вычислителями Пасхи ). Изолированное использование их инициала N было использовано в таблице римских цифр Бедой или его коллегой около 725 года, символа истинного нуля.

Отрицательные числа

Абстрактная концепция отрицательных чисел была признана еще в 100–50 гг. до н.э. в Китае. «Девять глав математического искусства» содержат методы нахождения площадей фигур; красные стержни использовались для обозначения положительных коэффициентов , черные – для отрицательных. ^[17]Первое упоминание в западном труде относится к III веку нашей эры в Греции. Диофант ссылался на уравнение, эквивалентное 4 x + 20 = 0 (решение отрицательное) в «Арифметике» , говоря, что уравнение дало абсурдный результат.

В 600-х годах в Индии для обозначения долгов использовались отрицательные числа. Предыдущее упоминание Диофанта более подробно обсуждалось индийским математиком Брахмагуптой в « Брахмаспхутасиддханте» в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения квадратичной формулы общей формы , которая используется и сегодня. Однако в XII веке в Индии Бхаскара дает отрицательные корни для квадратных уравнений, но говорит, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно недостаточно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейские математики по большей части сопротивлялись концепции отрицательных чисел вплоть до 17 века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых задачах, где их можно было интерпретировать как долги (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позднее как потери (в Flos ). Рене Декарт называл их ложными корнями, поскольку они возникали в алгебраических многочленах, но он также нашел способ поменять местами истинные и ложные корни. В то же время китайцы обозначали отрицательные числа, проводя диагональную черту через крайнюю правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа. ^[18]Впервые отрицательные числа в европейской работе использовал Николя Шюке в 15 веке. Он использовал их в качестве показателей степени , но называл их «абсурдными числами».

Еще в 18 веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, возвращаемые уравнениями, полагая, что они бессмысленны.

Рациональное число

Вполне вероятно, что понятие дробных чисел восходит к доисторическим временам . Древние египтяне использовали свои египетские обозначения дробей для рациональных чисел в математических текстах, таких как Математический папирус Ринда и Папирус Кахуна . Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел как часть общего изучения теории чисел . ^[19]Самым известным из них являются Евклида «Начала» , датируемые примерно 300 годом до нашей эры. Из индийских текстов наиболее актуальной является Стхананга-сутра , в которой также рассматривается теория чисел как часть общего изучения математики.

Понятие десятичных дробей тесно связано с десятичной записью разрядов; эти два, кажется, развивались в тандеме. обычно Например, джайнская математическая сутра включает вычисления приближений десятичной дроби к числу Пи или квадратному корню из 2 . ^{[ нужна цитата ]} Точно так же в вавилонских математических текстах очень часто использовались шестидесятеричные дроби (по основанию 60).

Иррациональные числа

Самое раннее известное использование иррациональных чисел было в индийских Сульба-сутрах , составленных между 800 и 500 годами до нашей эры. ^[20]^{[ нужен лучший источник ]}Первые доказательства существования иррациональных чисел обычно приписывают Пифагору , точнее, пифагорейцу Гиппасу из Метапонтума , который представил (скорее всего, геометрическое) доказательство иррациональности квадратного корня из 2 . История гласит, что Гиппас обнаружил иррациональные числа, пытаясь представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог признать существование иррациональных чисел. Он не мог опровергнуть их существование с помощью логики, но он не мог принять иррациональные числа, и поэтому, как утверждается и часто сообщалось, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление, чтобы помешать распространению этой сбивающей с толку вести. ^[21]^{[ нужен лучший источник ]}

В 16 веке европейцы окончательно приняли отрицательные целые и дробные числа. К 17 веку математики обычно использовали десятичные дроби в современных обозначениях. Однако только в XIX веке математики разделили иррациональные числа на алгебраическую и трансцендентную части и снова взялись за научное исследование иррациональных чисел. оно оставалось почти бездействующим Со времен Евклида . В 1872 году вышла в свет теория Карла Вейерштрасса (его ученика Э. Коссака), Эдуарда Гейне , ^[22] Георг Кантор , ^[23] и Ричард Дедекинд ^[24]было осуществлено. В 1869 году Шарль Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теорию обычно относят к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле (1880), а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздним работам автора. (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, а Дедекинд — на идее разреза (Шнитта) в системе действительных чисел , разделяющего все рациональные числа на две группы, обладающие определёнными характеристическими свойствами. Эта тема получила более поздние вклады от Вейерштрасса, Кронекера , ^[25] и Мерей.

Поиск корней уравнений пятой и более высокой степени был важным достижением: теорема Абеля-Руффини ( Руффини 1799, Абель 1824) показала, что их нельзя решить с помощью радикалов (формул, включающих только арифметические операции и корни). Следовательно, необходимо было рассмотреть более широкий набор алгебраических чисел (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832) связал полиномиальные уравнения с теорией групп , дав начало теории Галуа .

Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613), привлекли внимание со стороны Эйлера , ^[26]и в начале 19 века получили известность благодаря трудам Жозефа Луи Лагранжа . Другие заслуживающие внимания вклады внесли Друкенмюллер (1837 г.), Кунце (1857 г.), Лемке (1870 г.) и Гюнтер (1872 г.). Рамус ^[27] впервые связал предмет с определителями , в результате чего, с последующими вкладами Гейне, ^[28] Мёбиус и Гюнтер ^[29] в теории Кеттенбрухдетерминантен .

Трансцендентные числа и действительные числа

Существование трансцендентных чисел ^[30]Впервые был установлен Лиувиллем (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 году, что е трансцендентно, а Линдеманн доказал в 1882 году, что π трансцендентно. Наконец, Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчетно бесконечно, но множество всех алгебраических чисел , счетно бесконечно поэтому существует несчетно бесконечное количество трансцендентных чисел.

Бесконечность и бесконечно малые

Самая ранняя известная концепция математической бесконечности появляется в Яджур Веде , древнеиндийском письме, в котором в какой-то момент говорится: «Если вы уберете часть бесконечности или добавите часть к бесконечности, все равно останется бесконечность». Бесконечность была популярной темой философских исследований среди математиков -джайнов ок. 400 г. до н.э. Они различали пять типов бесконечности: бесконечную в одном и двух направлениях, бесконечную по площади, бесконечную повсюду и бесконечную вечно. Символ ${\text{∞}}$ часто используется для обозначения бесконечной величины.

Аристотель определил традиционное западное понятие математической бесконечности. Он различал актуальную бесконечность и потенциальную бесконечность — по общему мнению, только последняя имела истинную ценность. В книге Галилео Галилея « Две новые науки» обсуждалась идея взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами. Но следующий крупный прогресс в теории был сделан Георгом Кантором ; в 1895 году он опубликовал книгу о своей новой теории множеств , введя, среди прочего, трансфинитные числа и сформулировав гипотезу континуума .

В 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как можно строго определить бесконечно большие и бесконечно малые числа и использовать их для развития области нестандартного анализа. Система гипердействительных чисел представляет собой строгий метод рассмотрения идей о бесконечных и бесконечно малых случайно использовались математиками, учёными и инженерами со времени изобретения исчисления бесконечно малых Ньютоном числах, которые и Лейбницем .

Современную геометрическую версию бесконечности представляет собой проективная геометрия , которая вводит «идеальные точки на бесконечности», по одной для каждого пространственного направления. Предполагается, что каждое семейство параллельных линий в заданном направлении сходится к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с идеей точек схода в перспективном рисунке.

Комплексные числа

квадратных корнях из отрицательных чисел произошло в работе математика и изобретателя Герона Александрийского в I веке нашей эры , когда он рассматривал объем невозможной усеченной пирамиды Самое раннее мимолетное упоминание о . Они стали более заметными, когда в 16 веке закрытые формулы для корней многочленов третьей и четвертой степени были открыты итальянскими математиками, такими как Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано . Вскоре стало понятно, что эти формулы, даже если кого-то интересовали только реальные решения, иногда требуют манипуляций с квадратными корнями из отрицательных чисел.

Это тревожило вдвойне, поскольку в то время они даже не считали, что отрицательные числа находятся на твердой почве. Когда Рене Декарт в 1637 году ввел термин «мнимые» для этих величин, он посчитал его уничижительным. (Обсуждение «реальности» комплексных чисел см. в разделе « Мнимое число ».) Еще одним источником путаницы было то, что уравнение

\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1

казалось капризно несовместимым с алгебраическим тождеством

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},

который справедлив для положительных действительных чисел a и b , а также использовался в вычислениях комплексных чисел, где одно из a , b положительное, а другое отрицательное. Неправильное использование этого удостоверения и связанного с ним удостоверения.

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

в случае, когда и a , и b отрицательны, даже Эйлера смутило . ^[31] Эта трудность в конечном итоге привела его к соглашению использовать специальный символ i вместо ${\sqrt {-1}}$ чтобы не допустить этой ошибки.

В 18 веке появились работы Авраама де Муавра и Леонарда Эйлера . Формула Де Муавра (1730 г.) гласит:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

а Эйлера формула комплексного анализа (1748 г.) дала нам:

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.

Существование комплексных чисел не было полностью признано до тех пор, пока Каспар Вессель не описал геометрическую интерпретацию в 1799 году. Карл Фридрих Гаусс заново открыл и популяризировал ее несколько лет спустя, и в результате теория комплексных чисел получила заметное расширение. Однако идея графического изображения комплексных чисел появилась еще в 1685 году в Уоллиса « трактате О алгебре» .

В том же году Гаусс предоставил первое общепринятое доказательство фундаментальной теоремы алгебры , показав, что каждый многочлен над комплексными числами имеет полный набор решений в этой области. Гаусс изучал комплексные числа вида a + bi , где a и b — целые числа (теперь называемые целыми числами Гаусса ) или рациональные числа. Его ученик Готхольд Эйзенштейн изучал тип a + bω , где ω — комплексный корень из x ³− 1 = 0 (теперь называемые целыми числами Эйзенштейна ). Другие такие классы (называемые круговыми полями ) комплексных чисел происходят от корней из единицы x. ^к− 1 = 0 для более высоких значений k . Это обобщение во многом связано с Эрнстом Куммером , который также изобрел идеальные числа , которые были выражены в виде геометрических сущностей Феликсом Кляйном в 1893 году.

В 1850 году Виктор Александр Пюизо сделал ключевой шаг в различении полюсов и точек ветвления и ввел понятие существенных особых точек . ^{[ нужны разъяснения ]} В конечном итоге это привело к концепции расширенной комплексной плоскости .

простые числа

Простые числа изучались на протяжении всей письменной истории. ^{[ нужна цитата ]}Это положительные целые числа, которые делятся только на 1 и на себя. Евклид посвятил одну книгу «Начал» ; теории простых чисел в нем он доказал бесконечность простых чисел и основную теорему арифметики , а также представил алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

В 240 году до нашей эры Эратосфен использовал «Решето Эратосфена», чтобы быстро изолировать простые числа. Но дальнейшее развитие теории простых чисел в Европе относится к эпохе Возрождения и более поздним эпохам. ^{[ нужна цитата ]}

В 1796 году Адриен-Мари Лежандр выдвинул гипотезу о теореме о простых числах , описывающей асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера о том, что сумма обратных простых чисел расходится, и гипотезу Гольдбаха , которая утверждает, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел. Еще одна гипотеза, связанная с распределением простых чисел, - это гипотеза Римана , сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Теорема о простых числах была окончательно доказана Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Гипотезы Гольдбаха и Римана остаются недоказанными и не опровергнутыми. .

Основная классификация

Числа можно разделить на наборы , называемые наборами чисел или системами счисления , такие как натуральные числа и действительные числа . Основные системы счисления следующие:

Основные системы счисления
$\mathbb {N}$	Натуральные числа	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... или 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ или $\mathbb {N} _{1}$ иногда используются.
$\mathbb {Z}$	Целые числа	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	Рациональное число	a / b , где a и b — целые числа, а b не равно 0
$\mathbb {R}$	Вещественные числа	Предел сходящейся последовательности рациональных чисел
$\mathbb {C}$	Комплексные числа	a + bi , где a и b — действительные числа, а i — формальный квадратный корень из −1

Каждая из этих систем счисления является подмножеством следующей. Так, например, рациональное число также является действительным числом, а каждое действительное число также является комплексным числом. Это можно выразить символически как

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}

.

Более полный список наборов номеров показан на следующей диаграмме.

Системы счисления

Сложный

:\;\mathbb {C}

Настоящий

:\;\mathbb {R}

Рациональный

:\;\mathbb {Q}

Целое число

:\;\mathbb {Z}

Естественный

:\;\mathbb {N}

Ноль : 0

Один : 1

простые числа

Составные числа

Отрицательные целые числа

Доля

Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный бинарный)
Повторяющаяся десятичная дробь

иррациональный

Алгебраическая иррациональность

трансцендентный

Воображаемый

Натуральные числа

Наиболее знакомые числа — это натуральные числа (иногда называемые целыми числами или счетными числами): 1, 2, 3 и так далее. Традиционно последовательность натуральных чисел начиналась с 1 (0 у древних греков даже не считался числом ). Однако в 19 веке теоретики множеств и другие математики начали включать 0 ( мощность пустого множества , т.е. 0 элементов, где 0, таким образом, является наименьшим кардинальным числом ) в наборе натуральных чисел. ^[32]^[33]Сегодня разные математики используют этот термин для описания обоих наборов, включая 0 или нет. Математический символ множества всех натуральных чисел — N , также пишется $\mathbb {N}$ , и иногда $\mathbb {N} _{0}$ или $\mathbb {N} _{1}$ когда необходимо указать, должен ли набор начинаться с 0 или 1 соответственно.

В системе счисления с основанием 10 , которая сегодня почти повсеместно используется для математических операций, символы натуральных чисел записываются с использованием десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Система счисления или основание — это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которые система счисления использует для представления чисел (для десятичной системы основание системы счисления равно 10). В этой десятичной системе самая правая цифра натурального числа имеет разрядность 1, а разряд каждой второй цифры в десять раз превышает разрядность цифры справа от нее.

В теории множеств , которая способна выступать в качестве аксиоматического основания современной математики, ^[34]натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 можно представить как класс всех множеств, состоящих ровно из трех элементов. Альтернативно, в арифметике Пеано число 3 представлено как sss0, где s — функция «преемника» (т. е. 3 — третий преемник 0). Возможны многие различные представления; все, что нужно для формального представления числа 3, — это трижды вписать определенный символ или набор символов.

Целые числа

Отрицательное число положительного целого числа определяется как число, которое дает 0 при добавлении к соответствующему положительному целому числу. Отрицательные числа обычно записываются со знаком минус ( знак минус ). Например, отрицательное число 7 записывается как −7, а 7 + (−7) = 0 . Когда набор отрицательных чисел объединяется с набором натуральных чисел (включая 0), результат определяется как набор целых чисел , Z также пишется $\mathbb {Z}$ . Здесь буква Z происходит от немецкого Zahl «число». Множество целых чисел образует кольцо с операциями сложения и умножения. ^[35]

Натуральные числа образуют подмножество целых чисел. Поскольку не существует общего стандарта включения или отсутствия нуля в натуральные числа, натуральные числа без нуля обычно называются положительными целыми числами , а натуральные числа с нулем называются неотрицательными целыми числами .