Идеальное число

В теории чисел идеальное число — это целое алгебраическое число , которое представляет идеал в кольце целых чисел числового поля ; идея была развита Эрнстом Куммером и привела к Ричардом Дедекиндом определению идеалов колец . Идеал в кольце целых чисел поля алгебраических чисел является главным , если он состоит из кратных одному элементу кольца, и неглавным в противном случае. По теореме о главном идеале любой неглавный идеал становится главным при расширении до идеала поля классов Гильберта . Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля класса Гильберта, представляющий собой идеальное число, такой, что исходный неглавный идеал равен совокупности всех кратных этого идеального числа элементами этого кольца целых чисел, которые лежат в кольце целых чисел исходного поля.

Пример

Например, пусть $y$ быть корнем $y^{2}+y+6=0$, то кольцо целых чисел поля $\mathbb {Q} (y)$ является $\mathbb {Z} [y]$, что означает все $a+b\cdot y$ с $a$ и $b$ целые числа образуют кольцо целых чисел. Примером неглавного идеала в этом кольце является множество всех $2a+y\cdot b$ где $a$ и $b$ являются целыми числами; куб этого идеала является главным, и фактически группа классов циклическая третьего порядка. Соответствующее поле класса получается присоединением элемента $w$ удовлетворяющий $w^{3}-w-1=0$ к $\mathbb {Q} (y)$, давая $\mathbb {Q} (y,w)$. Идеальное число для неглавного идеала $2a+y\cdot b$ является $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$. Поскольку это удовлетворяет уравнению $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$ это алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля класса, которые при умножении на $\iota$ дать результат в $\mathbb {Z} [y]$ имеют форму $a\cdot \alpha +y\cdot \beta$, где

$\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23$

и

$\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.$

Коэффициенты α и β также являются целыми алгебраическими числами, удовлетворяющими условию

$\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0$

и

$\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0$

соответственно. Умножение $a\cdot \alpha +b\cdot \beta$ по идеальному числу $\iota$ дает $2a+b\cdot y$, что является неглавным идеалом.

История

Куммер впервые опубликовал о неудаче уникальной факторизации в круговых полях в 1844 году в малоизвестном журнале; он был перепечатан в 1847 году в журнале Лиувилля . В последующих статьях 1846 и 1847 годов он опубликовал свою основную теорему — уникальную факторизацию на простые (действительные и идеальные) простые числа.

» Куммер пришел Широко распространено мнение, что к своим «идеальным комплексным числам благодаря интересу к Великой теореме Ферма ; часто рассказывают даже историю о том, что Куммер, как и Ламе , считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хензелем в 1910 году, и факты указывают на то, что она, вероятно, возникла из-за путаницы одного из источников Хенселя. Гарольд Эдвардс говорит, что мнение о том, что Куммера в основном интересовала Великая теорема Ферма, «безусловно ошибочно» (Эдвардс 1977, стр. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α для обозначения корня λ-й степени из единицы, а также его исследование факторизации простого числа. $p\equiv 1{\pmod {\lambda }}$ в «комплексные числа, состоящие из $\lambda$Все «корни единства» происходят непосредственно из статьи Якоби , посвященной высшим законам взаимности . Мемуары Куммера 1844 года были написаны в честь празднования юбилея Кенигсбергского университета и были задуманы как дань уважения Якоби. Хотя Куммер изучал труды Ферма В 1830-х годах и, вероятно, осознавал, что его теория будет иметь последствия для ее изучения, более вероятно, что предмет интереса Якоби (и Гаусса ) - высшие законы взаимности - имел для него большее значение, чем его собственная часть. доказательство Великой теоремы Ферма для правильных простых чисел как «диковинка теории чисел, а не главный вопрос», а также высший закон взаимности (который он сформулировал как гипотезу) как «главный предмет и вершина современной теории чисел». с другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Куммер все еще был воодушевлен успехом своей работы по взаимности и когда его работа над Великой теоремой Ферма выдыхалась, поэтому его, возможно, можно воспринимать с некоторым скептицизмом.

Распространение идей Куммера на общий случай было независимо осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение встретило огромные трудности и в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов . Кронекер справился с трудностями, разработав теорию форм (обобщение квадратичных форм ) и теорию делителей . Вклад Дедекинда станет основой теории колец и абстрактной алгебры , а вклад Кронекера станет основным инструментом в алгебраической геометрии .

Ссылки

• Николя Бурбаки , Элементы истории математики. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999 г.
• Гарольд М. Эдвардс , Великая теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Тексты для аспирантов по математике, том. 50, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1977.
• К. Г. Якоби. О комплексных простых числах, которые следует учитывать в теории остатков 5-й, 8-й и 12-й степеней, ежемесячно. . Академическая наука Берлин (1839) 89-91.
• Э. Э. Куммер, О комплексных числах, состоящих из корней из единицы и действительных целых чисел, Gratulationschrift der Univ. Бреслау цур Юбельфайер дер Унив. Кенигсберг, 1844 г.; перепечатано в журнале Jour. математики. 12 (1847) 185-212.
• Э. Е. Куммер, О разложении комплексных чисел, образованных из корней из единицы, на их простые множители, Жур. по математике (Крель) 35 (1847) 327–367.
• Джон Стиллвелл , введение в теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, Великобритания, 1996.

Внешние ссылки

• Идеальные числа . Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет уникальную факторизацию круговых целых чисел, в блоге «Великая теорема Ферма» .