Циклотомное поле

В теории чисел круговое поле — числовое поле, присоединением комплексного корня полученное из единицы к $Q$ — полю рациональных чисел .

Циклотомные поля сыграли решающую роль в развитии современной алгебры и теории чисел из-за их связи с Великой теоремой Ферма . Именно в процессе своих глубоких исследований арифметики этих полей (для простых $n$ ) – а точнее, из-за невозможности однозначной факторизации в их кольцах целых чисел – Эрнст Куммер впервые ввёл понятие идеального числа и доказал свои знаменитые совпадения .

Определение

Для $n \geq 1$ пусть $ζ n = e 2π я / п € С$ ; это примитивный $корень n-й$ степени из единицы. Тогда $n-$ е круговое поле является расширением $Q (ζ n)$ поля $Q,$ порожденным $ζ n$ .

Характеристики

круговой $n$ -й полином

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})

неприводим Q. это минимальный многочлен от

ζ n

над

поэтому

,

ζ образом , сопряженные n $ζ в$ C $являются$ другими примитивными $корнями n-й$ степени из единицы: $Таким к n$ для $1 \leq k \leq n$ с $НОД(k, n) = 1$ .
Q Таким образом , степень ( $) n) равна$ [ $Q (ζ n) : Q] = deg Φ n = φ (n ζ$ , где $φ$ — полная функция Эйлера .
Корни х $ н - 1$ степени $ζ n$ , поэтому $Q (ζ n)$ — поле расщепления x $— н - 1$ (или $Φ(x)$ ) над $Q$ .
Следовательно, $Q (ζ n)$ является Галуа расширением $Q$ .
Группа Галуа $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ изоморфна естественно группе мультипликативной $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ , который состоит из обратимых вычетов по модулю $n$ , которые являются остатками $a mod n$ с $1 \leq a \leq n$ и $НОД(a, n) = 1$ . Изоморфизм каждый отправляет $\sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ по $модулю n такое$ , где $a$ — целое число , что $σ(ζ n) = ζ а н$ .
Кольцо целых чисел Q $(ζ n)$ — это $Z [ζ n]$ .
При $n > 2$ дискриминант n расширения $Q (ζ) / Q$ равен ^[1]

(-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.

В частности, $Q (ζ n)/ Q$ неразветвлено делящего выше любого простого числа, не $n$ .
Если $n$ — степень простого числа $p$ , то $Q (ζ n)/ Q$ полностью разветвлено выше $p$ .
Если $q$ — простое число, не делящее $n$ , то элемент Фробениуса $\operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ соответствует остатку $q$ в $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ .
Группа корней из единицы в $Q (ζ n)$ имеет порядок $n$ или $2 n$ в зависимости от того, $n .$ четно или нечетно
Группа единиц $Z [ζ n] \times$ является конечно порожденной абелевой группой ранга $φ (n)/2-1$ для любого $n > 2$ по теореме Дирихле о единице . В частности, $Z [ζ n] \times$ конечно только для $n \in {1, 2, 3, 4, 6$ }. группы Периодическая подгруппа Z $[ζ n] \times$ — группа корней из единицы в $Q (ζ n)$ , описанная в предыдущем пункте. Циклотомические единицы образуют явную конечного индекса подгруппу группы $Z [ζ n] \times$ .
Теорема Кронекера –Вебера что каждое конечное абелево расширение Q $утверждает ,$ в $C$ содержится в $Q (ζ n)$ для некоторого $n$ . Эквивалентно, объединение всех круговых полей $Q (ζ n)$ является максимальным абелевым расширением $Q аб$ из $Q.$

Связь с правильными многоугольниками

Гаусс сделал первые шаги в теории круговых полей в связи с проблемой построения правильного n $-$ угольника с помощью циркуля и линейки . Его удивительный результат, ускользнувший от его предшественников, заключался в том, что правильный 17-угольник таким образом можно было построить . В более общем смысле, для любого целого числа $n \geq 3$ следующие условия эквивалентны:

правильный $n$ -угольник конструктивен;
существует последовательность полей, начинающаяся с $Q$ и заканчивающаяся $Q (ζ n)$ , такая, что каждое является квадратичным расширением предыдущего поля;
$φ (n)$ — степень 2 ;
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ для некоторых целых чисел $a, r \geq 0$ и простых чисел Ферма $p_{1},\ldots ,p_{r}$ . (Простое число Ферма — это нечетное простое число $p$ такое, что $p - 1$ является степенью двойки. Известные простые числа Ферма — это 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , и вполне вероятно, что других нет.)

Небольшие примеры

$n = 3$ и $n = 6$ : уравнения $\zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ и $\zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ покажите, что $Q (ζ 3) = Q (ζ 6) = Q (\sqrt -3)$ , что является квадратичным расширением $Q$ . Соответственно, правильный 3-угольник и правильный 6-угольник конструктивны.
$n = 4$ : Аналогично, $ζ 4 = i$ , поэтому $Q (ζ 4) = Q (i)$ и правильный 4-угольник можно построить.
$n = 5$ : поле $Q (ζ 5)$ не является квадратичным расширением $Q$ , но оно является квадратичным расширением квадратичного расширения $Q (\sqrt 5)$ , поэтому правильный 5-угольник можно построить.

Связь с Великой теоремой Ферма

Естественный подход к доказательству Великой теоремы Ферма — факторизовать бином $x н + и н$ ,где $n$ — нечетное простое число, входящее в одну часть уравнения Ферма.

x^{n}+y^{n}=z^{n}

следующее:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)

Здесь $x$ и $y$ — обычные целые числа, тогда как множители — целые алгебраические числа в круговом поле $Q (ζ n)$ . Если выполняется уникальная факторизация в круговых целых числах $Z [ζ n]$ , то ее можно использовать, чтобы исключить существование нетривиальных решений уравнения Ферма.

Несколько попыток решить Великую теорему Ферма предпринимались в этом направлении, и как доказательство Ферма для $n = 4$ , так и доказательство Эйлера для $n = 3$ можно переформулировать в этих терминах. Полный список $n,$ для которых $Z [ζ n]$ имеет уникальную факторизацию, равен ^[2]

С 1 по 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Куммер нашел способ справиться с ошибкой уникальной факторизации. Он ввел замену простых чисел в круговых целых числах $Z [ζ n]$ , измерил неспособность однозначной факторизации через номер класса $h n$ и доказал, что если $h p$ не делится на простое число $p$ (такие $p$ называются регулярными простыми числами ) то теорема Ферма верна для показателя $n = p$ . Более того, он дал критерий определения того, какие простые числа являются правильными, и установил теорему Ферма для всех простых чисел $p$ меньше 100, за исключением неправильных простых чисел 37 , 59 и 67 . Работа Куммера о сравнениях чисел классов круговых полей была обобщена в двадцатом веке Ивасавой в теории Ивасавы , а также Куботой и Леопольдтом в их теории p -адических дзета-функций .

Список номеров классов круговых полей

(последовательность A061653 в OEIS ), или OEIS : A055513 или OEIS : A000927 для $h$ -часть (для простого n )

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65: 64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

См. также

Ссылки

^ Вашингтон, 1997 , Предложение 2.7.
^ Вашингтон, 1997 , Теорема 11.1.

Источники

Брайан Бёрч , «Циклотомические поля и расширения Куммера», в книге Дж. В. Касселса и А. Фрелиха (редактор), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава III, стр. 45–93.
Дэниел А. Маркус, Числовые поля , первое издание, Springer-Verlag, 1977 г.
Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в циклотомные поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1934-7 , ISBN. 0-387-94762-0 , МР 1421575
Серж Ланг , Циклотомные поля I и II , Объединенное второе издание. С приложением Карла Рубина . Тексты для выпускников по математике , 121. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Дальнейшее чтение

Коутс, Джон ; Суджата, Р. (2006). Циклотомные поля и дзета-значения . Монографии Спрингера по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-33068-2 . Збл 1100.11002 .
Вайсштейн, Эрик В. «Циклотомное поле» . Математический мир .
«Циклотомное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
О кольце целых вещественных круговых полей. Кодзи Ямагата и Масакадзу Ямагиси: Учебник, Японская академия, 92. Сера (2016)

[FOOTNOTEWashington1997Proposition_2.7-1] Вашингтон, 1997 , Предложение 2.7.

[FOOTNOTEWashington1997Theorem_11.1-2] Вашингтон, 1997 , Теорема 11.1.

[1]

[2]