Сборный многоугольник

В математике — конструируемый многоугольник это правильный многоугольник , который можно построить с помощью циркуля и линейки . Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а правильный семиугольник — нет. Существует бесконечно много многоугольников, которые можно построить, но только 31 из них с нечетным числом известен сторон.

Условия конструктивности [ править ]

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами. ^[1]^{:с. xi} и они знали, как построить правильный многоугольник, у которого число сторон в два раза больше, чем у данного правильного многоугольника. ^[1]^{: стр. 49–50.} В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольников (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо . ^[2] но так и не опубликовал свое доказательство.

Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля : правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является произведением степени 2 и любое количество различных простых чисел Ферма . Здесь степень 2 — это число вида $2^{m}$ , где m ≥ 0 — целое число. Простое число Ферма — это простое число вида $2^{(2^{m})}+1$ , где m ≥ 0 — целое число. Количество задействованных простых чисел Ферма может быть равно 0, и в этом случае n является степенью 2.

Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистой теории чисел , в доказательстве используется тот факт, что правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус $\cos(2\pi /n)$ является конструктивным числом , то есть может быть записано с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней . Эквивалентно, правильный n -угольник является конструктивным, если любой корень кругового n- го многочлена является конструктивным.

Гаусса теории результаты Подробные

Переформулируя теорему Гаусса – Ванцеля:

Правильный n -угольник можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n = 2. ^кp ₁ p ₂ ... p _t где k и t — неотрицательные целые числа , а pi _числа (когда t > 0) — различные простые числа Ферма.

Пять известных простых чисел Ферма :

F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257 и F ₄ = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 непустое подмножество пяти известных простых чисел Ферма, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

двадцать восемь чисел Ферма, F5 _от до F32 _{Следующие} , известны как составные . ^[3]

Таким образом, правильный n -угольник можно построить, если

n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (последовательность A003401 в OEIS ),

в то время как правильный n -угольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, если

п = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 7, ... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля [ править ]

Поскольку известно пять простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, являющееся произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный правильный нечетный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611 , 327685, 983055, 1114129, 334. 2387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как Джон Конвей прокомментировал в «Книге чисел» , эти числа, записанные в двоичном формате , равны первым 32 строкам по модулю -2 треугольника Паскаля минус верхняя строка, которая соответствует моногону . (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского .) После этого этот шаблон нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют в конструируемые многоугольники. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если есть q простые числа Ферма, то существует 2 ^д−1 нечетных правильных конструктивных многоугольников.

Общая теория [ править ]

В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были уточнены. несложно показать На основе аналитической геометрии , что конструируемые длины должны быть получены из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений . ^[4] С точки зрения теории поля , такие длины должны содержаться в расширении поля, порожденном башней квадратичных расширений . Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В частном случае правильного n -угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины

потому что 2

п

н ,

которое является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическим числом . Это число лежит в n - м круговом поле — и фактически в его подполе , которое представляет собой вполне вещественное поле и рациональное векторное пространство размерности вещественном

½ φ( n ),

где φ( n ) — функция тотента Эйлера . Результат Ванцеля сводится к вычислению, показывающему, что φ( n ) является степенью 2 именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, то, когда группа Галуа является 2-группой, отсюда следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8, ...

которые вложены каждый в следующий ( композиционный ряд , в терминологии теории групп легко доказать по индукции ), что в данном случае абелевой группы . Следовательно, внутри кругового поля есть подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать с помощью теории гауссовского периода . Например, для n = 17 существует период, представляющий собой сумму восьми корней из единицы , период, являющийся суммой четырех корней из единицы, и период, представляющий собой сумму двух, то есть

потому что 2

п

17 .

Каждое из них является корнем квадратного уравнения , выраженного в предыдущем. Более того, эти уравнения имеют действительные, а не комплексные корни, поэтому их в принципе можно решить с помощью геометрической конструкции: это потому, что вся работа происходит внутри вполне реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «нижними» периодами с помощью вполне осуществимого алгоритма.

Конструкции циркуля и линейки [ править ]

конструкции циркуля и линейки Для всех известных конструктивных многоугольников известны . Если n = pq с p = 2 или p и q взаимно простые , n -угольник может быть построен из p -угольника и q -угольника.

Если p = 2, нарисуйте q -угольник и разделите один из его центральных углов пополам. Отсюда 2 q -угольник. можно построить
Если p > 2, впишите p -угольник и q -угольник в один круг так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно просты, существуют целые числа a и b такие, что ap + bq = 1. Тогда 2 a π/ q + 2 b π/ p = 2π/ pq . Отсюда pq -угольник. можно построить

Таким образом, достаточно найти конструкцию циркуля и линейки для n -угольников, где n — простое число Ферма.

Конструкция равностороннего треугольника проста и известна с древности ; см. Равносторонний треугольник .
Конструкции правильного пятиугольника были описаны как Евклидом ( «Элементы» , ок. 300 г. до н.э.), так и Птолемеем ( «Альмагест» , ок. 150 г. н.э.).
Хотя Гаусс доказал , что правильный 17-угольник можно построить, на самом деле он не показал , как это сделать. Первая конструкция принадлежит Эрхингеру, через несколько лет после работы Гаусса.
Первые явные конструкции правильного 257-угольника были даны Магнусом Георгом Паукером (1822 г.). ^[5] и Фридрих Юлиус Ришело (1832). ^[6]
Конструкцию правильного 65537-угольника впервые предложил Иоганн Густав Гермес (1894 г.). Конструкция очень сложная; Гермес потратил 10 лет на завершение 200-страничной рукописи. ^[7]

Галерея [ править ]

Слева направо конструкции 15-угольника , 17-угольника , 257-угольника и 65537-угольника . Показан только первый этап строительства 65537-угольника; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены полностью.

Другие конструкции [ править ]

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к циркуля и линейки конструкциям . Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Например, в так называемых конструкциях neusis используется отмеченная линейка. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ где r, s, k ≥ 0 и где pi _— различные простые числа Пьерпона, большие 3 (простые числа вида $2^{t}3^{u}+1).$ ^[8]^{: Тэм. 2} Эти многоугольники являются в точности правильными многоугольниками, которые можно построить с помощью конического сечения , и правильными многоугольниками, которые можно построить с помощью складывания бумаги . Первые числа сторон этих многоугольников равны:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 8, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 5, 288, 291, 292, 296, ... (последовательность A122254 в OEIS )

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Смелый, Бенджамин. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
^ Гаусс, Карл Фридрих (1966). Арифметические исследования . Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. стр. 458–460 . Проверено 25 января 2023 г.
^ Простые факторы k · 2n + 1 чисел Ферма Fm и полный статус факторинга Уилфрида Келлера.
^ Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, номер домена : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9 .
^ Магнус Георг Паукер (1822 г.). «Геометрическое искажение правильного семнадцатиугольника и двухсот пятидесяти семиугольника в круге» . Ежегодные переговоры Курляндского общества литературы и искусства (на немецком языке). 2 : 160-219.
^ Фридрих Юлиус Ришело (1832). «Об алгебраическом разрешении уравнения x ²⁵⁷ углом пополам на 257 равных частей 358. = 1 , или о делении раз doi : 10.1515/crll.1832.9.337 . S2CID 199545940 окружности повторенным семь
^ Иоганн Густав Гермес (1894). «О делении круга на 65537 равных частей» . Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 3 . Геттинген: 170–186.
^ Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискайдекагон». Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 .

Внешние ссылки [ править ]

Дуэйн В. ДеТемпл (1991). «Круги Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций». Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–108. дои : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . МР 1089454 .
Кристиан Готлиб (1999). «Простая и понятная конструкция правильного 257-угольника». Математический интеллект . 21 (1): 31–37. дои : 10.1007/BF03024829 . МР 1665155 . S2CID 123567824 .
Формулы правильных многоугольников . Спросите доктора математики. Часто задаваемые вопросы.
Карл Шик: Мягкие простые числа и 257-угольник: аналитическое решение 257-угольника. Цюрих: К. Шик, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 .
65537-гон, точное построение 1-й стороны , с использованием Квадратрисы Гиппия и ГеоГебры в качестве дополнительных вспомогательных средств, с кратким описанием (на немецком языке)

[Bold-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Смелый, Бенджамин. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).

[2] Гаусс, Карл Фридрих (1966). Арифметические исследования . Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. стр. 458–460 . Проверено 25 января 2023 г.

[3] Простые факторы k · 2n + 1 чисел Ферма Fm и полный статус факторинга Уилфрида Келлера.

[4] Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, номер домена : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9 .

[5] Магнус Георг Паукер (1822 г.). «Геометрическое искажение правильного семнадцатиугольника и двухсот пятидесяти семиугольника в круге» . Ежегодные переговоры Курляндского общества литературы и искусства (на немецком языке). 2 : 160-219.

[6] Фридрих Юлиус Ришело (1832). «Об алгебраическом разрешении уравнения x ²⁵⁷ углом пополам на 257 равных частей 358. = 1 , или о делении раз doi : 10.1515/crll.1832.9.337 . S2CID 199545940 окружности повторенным семь

[7] Иоганн Густав Гермес (1894). «О делении круга на 65537 равных частей» . Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 3 . Геттинген: 170–186.

[Gleason-8] Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискайдекагон». Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]