Аналитическая геометрия

Эта статья о координатной геометрии. О геометрии аналитических многообразий см. Алгебраическая геометрия § Аналитическая геометрия .

См. Также: Уравнение § Аналитическая геометрия.

В математике , аналитическая геометрия также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , представляет собой изучение геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .

Аналитическая геометрия применяется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космической науке и космических полётах . Это основа большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .

Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями плоскостей, прямых линий и окружностей, часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучается евклидова плоскость (два измерения) и евклидово пространство. Как учат в школьных учебниках, аналитическую геометрию можно объяснить проще: она связана с определением и представлением геометрических фигур в числовом виде, а также с извлечением числовой информации из числовых определений и представлений фигур. То, что алгебру действительных чисел можно использовать для получения результатов о линейном континууме геометрии, зависит от аксиомы Кантора-Дедекинда .

История

Древняя Греция

Греческий решал задачи и доказывал теоремы , математик Менехм используя метод, очень похожий на использование координат, и иногда утверждалось, что он ввел аналитическую геометрию.

Аполлоний Пергский в «Об определенном разделе» рассматривал проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении на прямой точек, находящихся в пропорции к остальным. Аполлоний в «Кониках» развил метод, настолько похожий на аналитическую геометрию, что иногда полагают, что его работы опередили работы Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по сути ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, представляют собой абсциссы, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая являются ординатами. Далее он развил отношения между абсциссами и соответствующими ординатами, эквивалентные риторическим уравнениям (выраженным словами) кривых. Однако, хотя Аполлоний и близко подошел к разработке аналитической геометрии, сделать это ему не удалось, так как он не учитывал отрицательных величин и в каждом случае система координат накладывалась на данную кривую апостериорно, а не априорно . То есть уравнения определялись кривыми, а кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации.

Persia

Персидский математик XI века Омар Хайям видел тесную связь между геометрией и алгеброй и двигался в правильном направлении, когда помог сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй. с его геометрическим решением общих кубических уравнений , но решающий шаг был сделан позже, благодаря Декарту. Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга «Трактат о демонстрациях проблем алгебры» (1070 г.), в которой изложены принципы аналитической геометрии, является частью корпуса персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу. Благодаря его основательному геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии.

Западная Европа

Смотрите также: Рене Декарт § Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером Ферма . хотя Декарту иногда отдают исключительную заслугу. Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, назван в честь Декарта.

Декарт добился значительного прогресса в использовании этих методов в эссе под названием «Геометрия» (Геометрия) , одном из трех сопроводительных эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его « Рассуждением о методе правильного направления разума и поиска истины в науках» , обычно называется « Рассуждение о методе» . «Геометрия» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы послужили основой для исчисления в Европе. Первоначально работа не была принята хорошо, отчасти из-за множества пробелов в аргументах и ​​сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментариев ван Скутена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание.

Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Рукописная форма « Ad locos planos et Solidos isagoge » («Введение в плоскость и твердые места»), хотя и не была опубликована при его жизни, циркулировала в Париже в 1637 году, незадолго до публикации « Рассуждений » Декарта . Ясно написанное и хорошо принятое, «Введение» также заложило основу аналитической геометрии. Ключевое различие между трактовками Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. . В результате такого подхода Декарту пришлось иметь дело с более сложными уравнениями и разработать методы работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер впервые применил метод координат для систематического изучения пространственных кривых и поверхностей.

Основная статья: Системы координат

Иллюстрация декартовой координатной плоскости. Четыре точки отмечены и помечены их координатами: (2,3) зеленым, (-3,1) красным, (-1,5,-2,5) синим и начало координат (0,0) фиолетовым.

В аналитической геометрии плоскости задана система координат, в которой каждая точка имеет пару действительных координат. Точно так же евклидово пространство имеет координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Используются различные системы координат, но наиболее распространенными являются следующие:

Декартовы координаты (в плоскости или пространстве)

Основная статья: декартова система координат

Наиболее распространенной системой координат является декартова система координат , где каждая точка имеет координату x , представляющую ее горизонтальное положение, и координату y , представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются как упорядоченная пара ( x , y ). Эту систему также можно использовать для трехмерной геометрии, где каждая точка евклидова пространства представлена ​​упорядоченной тройкой координат ( x , y , z ).

Полярные координаты (в плоскости)

Основная статья: Полярные координаты

В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ​​расстоянием r от начала координат и углом θ , причем θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя это обозначение, точки обычно записываются как упорядоченная пара ( r , θ ). Можно осуществлять преобразование вперед и назад между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя эти формулы:

$$x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).$$

Эту систему можно обобщить на трехмерное пространство с помощью цилиндрических или сферических координат.

Цилиндрические координаты (в пространстве)

Основная статья: Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена ​​ее высотой z , радиусом r от оси z и углом θ, который составляет ее проекция на плоскость xy по отношению к горизонтальной оси.

Сферические координаты (в пространстве)

Основная статья: Сферическая система координат

В сферических координатах каждая точка пространства представлена ​​ее расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy составляет по отношению к горизонтальной оси, и углом φ , который она составляет по отношению к z оси . . В физике названия углов часто меняются местами.

Уравнения и кривые

Основные статьи: Множество решений и локус (математика)

В аналитической геометрии любое уравнение , включающее координаты, определяет подмножество плоскости, а именно набор решений для уравнения или локус . Например, уравнение y = x соответствует множеству всех точек плоскости, чьи координаты x и y равны. Эти точки образуют линию , и говорят, что y = x — уравнение этой линии. В общем, линейные уравнения, включающие x и y , определяют линии, квадратные уравнения определяют конические сечения , а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры.

Обычно одно уравнение соответствует кривой на плоскости. Это не всегда так: тривиальное уравнение x = x задает всю плоскость, а уравнение x ² + и ² = 0 указывает только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривую необходимо задать как пересечение двух поверхностей (см. ниже) или как систему параметрических уравнений . Уравнение х ² + и ² = р ² это уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.

Линии и плоскости

Основные статьи: Линия (геометрия) и Плоскость (геометрия)

Линии в декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах , могут быть описаны алгебраически с помощью линейных уравнений. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме наклона-пересечения :

$$y=mx+b$$

где:

• m — наклон или уклон линии.
• b — точка пересечения линии по оси Y.
• x — независимая переменная функции y = f ( x ).

Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального ей ( нормальный вектор ) для обозначения его «наклона».

Конкретно, пусть $\mathbf {r} _{0}$ быть вектором положения некоторой точки $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, и разреши $\mathbf {n} =(a,b,c)$быть ненулевым вектором. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из тех точек $P$, с вектором положения $\mathbf {r}$, такой, что вектор, взятый из $P_{0}$ к $P$ перпендикулярен $\mathbf {n}$. Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек. $\mathbf {r}$ такой, что

$$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$$

(Точка здесь означает скалярное произведение , а не скалярное умножение.) В расширенном виде это становится

$$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$$

что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. Это просто линейное уравнение :

$$ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$$

И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d являются константами и не все a , b и c равны нулю, то график уравнения

$$ax+by+cz+d=0,$$

— плоскость, имеющая вектор $\mathbf {n} =(a,b,c)$ как обычно. Это знакомое уравнение плоскости называется общей формой уравнения плоскости.

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому их часто описывают параметрическими уравнениями :

$$x=x_{0}+at$$

$$y=y_{0}+bt$$

$$z=z_{0}+ct$$

где:

• x , y и z — все функции независимой переменной t , которая варьируется в пределах действительных чисел.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
• a , b и c связаны с наклоном линии, так что вектор ( a , b , c ) параллелен линии.

Конические сечения

Основная статья: Коническое сечение

Гипербола и сопряженная с ней гипербола.

В декартовой системе координат график с двумя переменными всегда представляет собой квадратного уравнения коническое сечение – хотя оно может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}$$

Поскольку масштабирование всех шести констант дает одно и то же место нулей, можно рассматривать коники как точки в пятимерном проективном пространстве. $\mathbf {P} ^{5}.$

Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта

$$B^{2}-4AC.$$

Если коника невырождена, то:

• если $B^{2}-4AC<0$, уравнение представляет собой эллипс ;
  • если $A=C$ и $B=0$уравнение представляет собой круг , который является частным случаем эллипса;
• если $B^{2}-4AC=0$, уравнение представляет собой параболу ;
• если $B^{2}-4AC>0$, уравнение представляет собой гиперболу ;
  • если у нас тоже есть $A+C=0$, уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу .

Квадрикические поверхности

Основная статья: Квадрикическая поверхность

Квадрика как или квадрика поверхность — это 2 -мерная поверхность в 3-мерном пространстве, место нулей определяемая квадратичного многочлена . В координатах x ₁ , x ₂ , x ₃ общая квадрика определяется алгебраическим уравнением

$$\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.$$

К квадратичным поверхностям относятся эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .

Расстояние и угол

Основные статьи: Расстояние и угол

Формула расстояния на плоскости следует из теоремы Пифагора.

В аналитической геометрии такие геометрические понятия, как расстояние и угол , определяются с помощью формул . Эти определения разработаны так, чтобы соответствовать базовой евклидовой геометрии . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) определяется по формуле

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$$

которую можно рассматривать как вариант теоремы Пифагора . Аналогично угол, образуемый линией с горизонтом, можно определить по формуле

$$\theta =\arctan(m),$$

где m – наклон линии.

В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:

$$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$$

а угол между двумя векторами определяется скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется выражением

$$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,$$

где θ — угол между A и B. ​

Трансформации

а) y = f(x) = |x|       б) y = f(x+3)       c) y = f(x)-3       d) y = 1/2 f(x)

К родительской функции применяются преобразования, чтобы превратить ее в новую функцию со схожими характеристиками.

График $R(x,y)$ изменяется стандартными преобразованиями следующим образом:

• Изменение $x$ к $x-h$ перемещает график вправо $h$ единицы измерения.
• Изменение $y$ к $y-k$ перемещает график вверх $k$ единицы измерения.
• Изменение $x$ к $x/b$ растягивает график по горизонтали в раз $b$. (подумайте о $x$ как бы расширенный)
• Изменение $y$ к $y/a$ растягивает график по вертикали.
• Изменение $x$ к $x\cos A+y\sin A$ и изменение $y$ к $-x\sin A+y\cos A$ поворачивает график на угол $A$.

Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, поскольку преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Перекос — это пример преобразования, которое обычно не учитывается. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье Википедии об аффинных преобразованиях .

Например, родительская функция $y=1/x$имеет горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимает первый и третий квадрант, а все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоту и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем, если $y=f(x)$, то его можно преобразовать в $y=af(b(x-k))+h$. В новой преобразованной функции $a$ коэффициент, который растягивает функцию по вертикали, если она больше 1, или сжимает функцию по вертикали, если она меньше 1, а для отрицательных значений $a$ значения, функция отражается в $x$-ось. $b$ value сжимает график функции по горизонтали, если оно больше 1, и растягивает функцию по горизонтали, если меньше 1, и тому подобное $a$, отражает функцию в $y$-ось, когда она отрицательная. $k$ и $h$ ценности представляют собой переводы, $h$, вертикальные и $k$горизонтальный. Позитивный $h$ и $k$ значения означают, что функция переводится к положительному концу своей оси, а отрицательные значения означают перемещение к отрицательному концу.

Преобразования можно применять к любому геометрическому уравнению независимо от того, представляет ли оно функцию или нет. Преобразования можно рассматривать как отдельные транзакции или в комбинациях.

Предположим, что $R(x,y)$ это отношение в $xy$самолет. Например,

$$x^{2}+y^{2}-1=0$$

это отношение, описывающее единичный круг.

Нахождение пересечений геометрических объектов

Основная статья: Пересечение (геометрия)

Для двух геометрических объектов P и Q, представленных соотношениями $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ пересечение - это совокупность всех точек $(x,y)$ которые находятся в обоих отношениях.

Например, $P$ может быть круг с радиусом 1 и центром $(0,0)$: $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ и $Q$ может быть круг с радиусом 1 и центром $(1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}$. Пересечение этих двух кругов представляет собой совокупность точек, которые делают оба уравнения верными. Имеет ли смысл $(0,0)$сделать оба уравнения верными? С использованием $(0,0)$ для $(x,y)$, уравнение для $Q$ становится $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ или $(-1)^{2}=1$ это правда, так что $(0,0)$ находится в отношении $Q$. С другой стороны, все еще используя $(0,0)$ для $(x,y)$ уравнение для $P$ становится $0^{2}+0^{2}=1$ или $0=1$ что неверно. $(0,0)$ не в $P$ так это не на перекрёстке.

Пересечение $P$ и $Q$ можно найти, решив одновременные уравнения:

$$x^{2}+y^{2}=1$$

$$(x-1)^{2}+y^{2}=1.$$

Традиционные методы поиска пересечений включают замену и исключение.

Замена: Решите первое уравнение для $y$ с точки зрения $x$ а затем подставьте выражение для $y$ во второе уравнение:

$$x^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=1-x^{2}.$$

Затем мы заменяем это значение на $y^{2}$ в другое уравнение и приступайте к решению $x$:

$$(x-1)^{2}+(1-x^{2})=1$$

$$x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1$$

$$-2x=-1$$

$$x=1/2.$$

Далее мы помещаем это значение $x$ в любом из исходных уравнений и найдите $y$:

$$(1/2)^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=3/4$$

$$y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$$

Итак, наше пересечение имеет две точки:

$$\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$$

Устранение : добавьте (или вычтите) кратное одно уравнение к другому уравнению, чтобы исключить одну из переменных. В нашем текущем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим $(x-1)^{2}-x^{2}=0$. $y^{2}$ в первом уравнении вычитается из $y^{2}$ во втором уравнении не оставляя $y$срок. Переменная $y$был устранен. Затем решаем оставшееся уравнение относительно $x$, так же, как и в методе подстановки:

$$x^{2}-2x+1-x^{2}=0$$

$$-2x=-1$$

$$x=1/2.$$

Затем мы помещаем это значение $x$ в любом из исходных уравнений и найдите $y$:

$$(1/2)^{2}+y^{2}=1$$

$$y^{2}=3/4$$

$$y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.$$

Итак, наше пересечение имеет две точки:

$$\left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).$$

Для конических сечений на пересечении может находиться до 4 точек.

Поиск перехватов

Основные статьи: x-перехват и y-перехват

Одним из широко изучаемых типов пересечений является пересечение геометрического объекта с $x$ и $y$ координатные оси.

Пересечение геометрического объекта и $y$-ось называется $y$-перехват объекта. Пересечение геометрического объекта и $x$-ось называется $x$-перехват объекта.

Для линии $y=mx+b$, параметр $b$ указывает точку, где линия пересекает $y$ось. В зависимости от контекста либо $b$ или точка $(0,b)$ называется $y$-перехват.

Геометрическая ось

Ось в геометрии — это линия, перпендикулярная любой линии, объекту или поверхности.

Также для этого может использоваться общеупотребительное употребление в качестве: нормальной (перпендикулярной) линии, иначе в технике - осевой линии .

В геометрии нормаль — это объект , например линия или вектор, перпендикулярный данному объекту. Например, в двумерном случае нормальной линией к кривой в данной точке является линия, перпендикулярная касательной к кривой в данной точке.

В трехмерном случае нормаль к поверхности или просто нормаль к поверхности в точке P — это вектор касательной , перпендикулярный плоскости к этой поверхности в P. точке Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия , нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , вектор нормали и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности .

Сферические и нелинейные плоскости и их касательные

Касательная — это линейная аппроксимация сферической или другой изогнутой или скрученной линии функции.

Касательные линии и плоскости

Основная статья: Тангенс

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке — это прямая линия , которая «просто касается» кривой в этой точке. Неформально это линия, проходящая через пару бесконечно близких точек кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если линия проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) где f ' — производная f ​ . Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n -мерном евклидовом пространстве .

Когда она проходит через точку, где касательная линия и кривая встречаются, называемую точкой касания , касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является лучшим приближением прямой линии к кривой в этой точке. точка.

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной — одно из наиболее фундаментальных понятий дифференциальной геометрии , получившее широкое обобщение; см. Касательное пространство .

См. также

• Прикладная геометрия
• Перекрестное произведение
• Вращение осей
• Перевод осей
• Векторное пространство

Ссылки

Книги

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Dover Publications, ISBN  978-0486438320
• Каджори, Флориан (1999), История математики , AMS, ISBN  978-0821821022
• Джон Кейси (1885) Аналитическая геометрия точечных, прямых, круговых и конических сечений , ссылка из Интернет-архива .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение (2-е изд.) , Чтение: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN  0-321-01618-1
• Михаил Постников (1982) Лекции по геометрии, семестр I Аналитическая геометрия, через Интернет-архив.
• Струик, ди-джей (1969), Справочник по математике, 1200–1800 , издательство Гарвардского университета, ISBN  978-0674823556

Статьи

• Бисселл, Кристофер К. (1987), «Декартова геометрия: вклад Голландии», The Mathematical Intelligencer , 9 (4): 38–44, doi : 10.1007/BF03023730
• Бойер, Карл Б. (1944), «Аналитическая геометрия: открытие Ферма и Декарта», учитель математики , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951/MT.37.3.0099
• Бойер, Карл Б. (1965), «Иоганн Худде и пространственные координаты», Учитель математики , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951/MT.58.1.0033
• Кулидж, Дж. Л. (1948), «Начало аналитической геометрии в трех измерениях», American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740 , JSTOR   2305740
• Пекл Дж. Ньютон и аналитическая геометрия

Внешние ссылки

• Координируйте темы геометрии с помощью интерактивной анимации.