Перевод осей

В математике перевод осей в двух измерениях — это отображение из xy декартовой системы координат в декартову систему координат x'y' , в которой ось x' находится параллельна на оси x и расстоянии k единиц, а y ' ось параллельна оси y и находится на расстоянии h на единицу. Это означает, что начало координат O' новой системы координат имеет координаты ( h , k ) в исходной системе. Положительные направления x' и y' считаются такими же, как положительные направления x и y . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x' , y' ) относительно новой системы, где

$x=x'+h$      и      $y=y'+k$ ( 1 )

или эквивалентно

$x'=x-h$      и      $y'=y-k.$ ( 2 )

В новой системе координат будет казаться, что точка P сдвинута в противоположном направлении. Например, если система xy перенесена на расстояние h вправо и на расстояние k вверх, то будет казаться, что P была перенесена на расстояние h влево и на расстояние k вниз в системе x'y' . Аналогично определяется перевод осей в более чем два измерения. Перенос осей является жестким преобразованием , а не линейным отображением . (См. Аффинное преобразование .)

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых методами аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном положении относительно рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол фокусы обычно располагаются на одной из осей и располагаются симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. д.) расположена неудобно относительно осей, следует изменить систему координат, чтобы разместить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат .

Решение многих задач можно упростить, переведя оси координат для получения новых осей, параллельных исходным.

Перевод конических сечений

Основная статья: Коническое сечение

Путем замены координат уравнение конического сечения можно привести к стандартному виду , с которым обычно легче работать. Для наиболее общего уравнения второй степени, которое принимает вид

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ( $A$, $B$ и $C$ не все ноль); ( 3 )

всегда можно выполнить поворот осей так, чтобы в новой системе уравнение приняло вид

$Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$      ( $A$ и $C$ не оба нуля); ( 4 )

то есть исключение члена xy . Далее, перевод осей может свести уравнение вида ( 3 ) к уравнению той же формы, но с новыми переменными ( x' , y' ) в качестве координат и с D и E , равными нулю (за некоторыми исключениями). (например, параболы). Основным инструментом в этом процессе является «завершение квадрата». В последующих примерах предполагается, что вращение осей уже выполнено.

Пример 1

Учитывая уравнение

$9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,$

используя перевод осей, определите, является ли геометрическое положение уравнения параболой, эллипсом или гиперболой. Определите фокусы (или фокус), вершины (или вершину) и эксцентриситет .

Решение: Чтобы завершить квадрат по x и y , запишите уравнение в виде

$9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.$

Заполните квадраты и получите

$9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100$

$\Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.$

Определять

$x'=x+1$      и      $y'=y-2.$

То есть перевод в уравнениях ( 2 ) производится с помощью $h=-1,k=2.$ Уравнение в новой системе координат имеет вид

$9x'^{2}+25y'^{2}=225.$ ( 5 )

Разделите уравнение ( 5 ) на 225, чтобы получить

${\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,$

который можно узнать как эллипс с $a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.$ В системе x'y' мы имеем: центр $(0,0)$; вершины $(\pm 5,0)$; очаги $(\pm 4,0).$

В системе xy воспользуемся соотношениями $x=x'-1,y=y'+2$ чтобы получить: центр $(-1,2)$; вершины $(4,2),(-6,2)$; очаги $(3,2),(-5,2)$; эксцентричность ${\tfrac {4}{5}}.$

Обобщение на несколько измерений

Для xyz трехмерной декартовой системы координат предположим, что введена вторая декартова система координат с осями x' , y' и z', расположенными так, что ось x' параллельна оси x и на единицу h от нее, ось y’ параллельна оси y и на k единиц от нее, а ось z’ параллельна оси z и на l единиц от нее. Точка P в пространстве будет иметь координаты в обеих системах. Если его координаты ( x , y , z ) в исходной системе и ( x' , y' , z' ) во второй системе, уравнения

$x'=x-h,\qquad y'=y-k,\qquad z'=z-l$ ( 6 )

держать. Уравнения ( 6 ) определяют перемещение осей в трех измерениях, где ( h , k , l ) — координаты xyz нового начала координат. Аналогично определяется перевод осей в любое конечное число измерений.

Перевод квадратичных поверхностей

Основная статья: Квадрикическая поверхность

В трехмерном пространстве наиболее общее уравнение второй степени по x , y и z имеет вид

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,$ ( 7 )

где количества $A,B,C,\ldots ,J$ являются положительными или отрицательными числами или нулем. Все точки пространства, удовлетворяющие такому уравнению, лежат на поверхности . Любому уравнению второй степени, не сводящемуся к цилиндру, плоскости, прямой или точке, соответствует поверхность, называемая квадрикой.

Как и в случае с плоскоаналитической геометрией, метод переноса осей можно использовать для упрощения уравнений второй степени, тем самым выявляя природу некоторых квадратичных поверхностей. Основным инструментом в этом процессе является «завершение квадрата».

Пример 2

Используйте перевод координат для определения квадричной поверхности.

$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.$

Решение: Запишите уравнение в виде

$x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.$

Заполните квадрат, чтобы получить

$(x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}.$

Ввести перевод координат

$x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.$

Уравнение поверхности принимает вид

$x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},$

которое можно узнать как уравнение эллипсоида .

См. также

• Перевод (геометрия)

Ссылки

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-84819-0
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN   76087042