Парабола

Чтобы узнать о других значениях, см. Парабола (значения) .

Часть параболы (синяя) с различными деталями (другие цвета). Полная парабола не имеет концов. В этой ориентации он бесконечно простирается влево, вправо и вверх.

Парабола принадлежит к семейству конических сечений .

В математике парабола , — это плоская кривая зеркально -симметричная и имеющая приблизительно U-образную форму. Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Одно описание параболы включает точку ( фокус ) и линию ( директрису ). Фокус не находится на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек в этой плоскости, равноудаленных от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — это коническое сечение , созданное пересечением прямой круговой конической поверхности и плоскости , параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности.

График ​ квадратичной функции $y=ax^{2}+bx+c$ (с $a\neq 0$) представляет собой параболу, ось которой параллельна оси y . И наоборот, каждая такая парабола является графиком квадратичной функции.

Линия, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает свою ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, является «фокусным расстоянием». « Широкая прямая кишка » — это хорда параболы, параллельная директрисе и проходящая через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в каком-либо другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .

Параболы обладают тем свойством, что, если они сделаны из материала, отражающего свет , то свет, идущий параллельно оси симметрии параболы и попадающий на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, в каком месте параболы происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же самые эффекты происходят со звуком и другими волнами . Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.

Парабола имеет множество важных применений: от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Его часто используют в физике , технике и многих других областях.

История

Параболический компас, созданный Леонардо да Винчи.

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менехмом в IV веке до нашей эры. Он нашел способ решить задачу удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям построения циркуля и линейки .) Площадь, ограниченная параболой и отрезком, так называемый «отрезок параболы», был вычислен Архимедом методом исчерпания в в III веке до нашей эры в своей «Квадратуре параболы» . Название «парабола» связано с Аполлонием , открывшим многие свойства конических сечений. Оно означает «приложение», имея в виду понятие «применение площадей», которое имеет связь с этой кривой, как доказал Аполлоний. Свойство фокуса-директрисы параболы и других конических сечений принадлежит Паппусу .

Галилей показал, что траектория снаряда следует по параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.

Идея о том, что параболический рефлектор может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения телескопа- рефлектора . Конструкции были предложены в начале-середине 17 века многими математиками , в том числе Рене Декартом , Марином Мерсенном , и Джеймс Грегори . Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от использования параболического зеркала из-за сложности изготовления, отдав предпочтение сферическому зеркалу . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках.

Определение как геометрическое место точек

Параболу можно определить геометрически как совокупность точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:

Парабола – это набор точек, такой что для любой точки $P$ из набора расстояние $|PF|$ в фиксированную точку $F$, фокус , равен расстоянию $|Pl|$ на фиксированную линию $l$, директриса :

$$\{P:|PF|=|Pl|\}.$$

Середина $V$ перпендикуляра из фокуса $F$ на директрису $l$ называется вершиной , а линия $FV$ – ось симметрии параболы.

В декартовой системе координат

Ось симметрии параллельна Y оси

Парабола с осью, параллельной оси y ; p - полурасширенная прямая кишка

Если ввести декартовы координаты такие, что $F=(0,f),\ f>0,$ а директриса имеет уравнение $y=-f$, для точки получается $P=(x,y)$ от $|PF|^{2}=|Pl|^{2}$ уравнение $x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}$. Решение для $y$ урожайность

$$y={\frac {1}{4f}}x^{2}.$$

Эта парабола имеет U-образную форму ( открывается вверх ).

Горизонтальная хорда, проходящая через фокус (см. рисунок во вступительной части), называется широкой прямой кишкой ; половина ее — полурасширенная прямая кишка . Широкая прямая кишка параллельна директрисе. Полурасширенная прямая кишка обозначается буквой $p$. Из картинки получается

$$p=2f.$$

Аналогично определяется широкая прямая кишка и для двух других коник — эллипса и гиперболы. Широкая прямая кишка — это линия, проведенная через фокус конического сечения, параллельного директрисе, и заканчивающаяся в обе стороны кривой. В любом случае, $p$- радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы - полурасширенная прямая кишка, $p$, — расстояние фокуса от директрисы. Использование параметра $p$, уравнение параболы можно переписать в виде

$$x^{2}=2py.$$

В более общем случае, если вершина $V=(v_{1},v_{2})$, фокус $F=(v_{1},v_{2}+f)$, и директриса $y=v_{2}-f$, получаем уравнение

$$y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.$$

Примечания :

1. В случае $f<0$ парабола имеет отверстие вниз.
2. Предположение о параллельности оси y позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. следующий раздел).
3. Если кто-то обменяет $x$ и $y$, получим уравнения вида $y^{2}=2px$. Эти параболы открываются влево (если $p<0$) или вправо (если $p>0$).

Общее положение

Парабола: общее положение

Если фокус $F=(f_{1},f_{2})$, и директриса $ax+by+c=0$, то получаем уравнение

$${\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}$$

(левая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для расчета расстояния $|Pl|$).

О параметрическом уравнении параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы .

Неявное уравнение параболы определяется неприводимым полиномом второй степени:

$$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,$$

такой, что $b^{2}-4ac=0,$ или, что то же самое, такой, что $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ — квадрат линейного многочлена .

Как график функции

Притчи $y=ax^{2}$

В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции.

$$f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.$$

Для $a>0$ параболы открываются вверх, и для $a<0$открываются вниз (см. рисунок). Из приведенного выше раздела получается:

• внимания центре В $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$,
• фокусное расстояние ${\frac {1}{4a}}$полурасширенная прямая кишка $p={\frac {1}{2a}}$,
• вершина ​ ​ $(0,0)$,
• директриса имеет уравнение $y=-{\frac {1}{4a}}$,
• касательная в точке $(x_{0},ax_{0}^{2})$ имеет уравнение $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$.

Для $a=1$ парабола - это единичная парабола с уравнением $y=x^{2}$. Его фокус $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$, полуправая сторона $p={\tfrac {1}{2}}$, а директриса имеет уравнение $y=-{\tfrac {1}{4}}$.

Общая функция степени 2:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.$$

Завершение квадрата дает

$$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},$$

которое представляет собой уравнение параболы с

• ось $x=-{\frac {b}{2a}}$ (параллельно оси Y ),
• фокусное расстояние ${\frac {1}{4a}}$, полуправая сторона $p={\frac {1}{2a}}$,
• вершина ​ $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$,
• фокус ​ $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$,
• директриса ​ $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$,
• точка параболы, пересекающая ось y , имеет координаты $(0,c)$,
• касательная в точке оси y имеет уравнение $y=bx+c$.

единичной

Когда парабола $\color {blue}{y=2x^{2}}$ равномерно масштабируется с коэффициентом 2, результатом является парабола $\color {red}{y=x^{2}}$

Два объекта в евклидовой плоскости подобны , если один можно преобразовать в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции жестких движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабирований .

Параболический ${\mathcal {P}}$ с вершиной $V=(v_{1},v_{2})$ можно преобразовать переводом $(x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})$к одному с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, у которой ось y является осью симметрии. Отсюда парабола ${\mathcal {P}}$ может быть преобразовано жестким движением в параболу с помощью уравнения $y=ax^{2},\ a\neq 0$. Такая парабола затем может быть преобразована с помощью равномерного масштабирования $(x,y)\to (ax,ay)$ в единичную параболу с уравнением $y=x^{2}$. Таким образом, любую параболу можно отобразить в единичную параболу по подобию.

треугольников . Для получения этого результата также можно использовать синтетический подход с использованием подобных

Общий результат состоит в том, что два конических сечения (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. Следовательно, только круги (все имеют эксцентриситет 0) разделяют это свойство с параболами (все имеют эксцентриситет 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.

Есть и другие простые аффинные преобразования, отображающие параболу. $y=ax^{2}$ на единичную параболу, например $(x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)$. Но это отображение не является подобием, а лишь показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы ).

В качестве специального конического сечения

Карандаш коник с общей вершиной

Карандаш . конических сечений с осью x в качестве оси симметрии, одной вершиной в начале координат (0, 0) и такой же полуширокой прямой кишкой $p$ может быть представлено уравнением

$$y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,$$

с $e$ эксцентриситет ​ .

• Для $e=0$ коника — круг (соприкасающийся круг карандаша),
• для $0<e<1$ эллипс ​ ,
• для $e=1$ парабола с уравнением $y^{2}=2px,$
• для $e>1$ гипербола (см. рисунок).

В полярных координатах

Карандаш коник с общим фокусом

Если p > 0 , парабола с уравнением $y^{2}=2px$ (открытие вправо) имеет полярное представление

$$r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$$

где $r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$.

Его вершина $V=(0,0)$, и его фокус $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$.

Если сместить начало координат в фокус, т.е. $F=(0,0)$, получаем уравнение

$$r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$$

Замечание 1: что парабола является обратной кардиоидой Инвертирование этой полярной формы показывает , .

Замечание 2. Вторая полярная форма является частным случаем пучка коник с фокусом. $F=(0,0)$ (см. картинку):

$$r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}$$

( $e$ это эксцентриситет).

Коническое сечение и квадратичная форма

Схема, описание и определения

Конус с сечениями

Диаграмма представляет собой конус с осью AV . Точка А является ее вершиной . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового сечения EPD является параболой.

Через вершину Р параболы проходит сечение, перпендикулярное оси конуса. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр — V, а PK — диаметр. Назовем его радиус r .

Другое перпендикулярное оси круглое сечение конуса находится дальше от вершины А, чем только что описанное. У него есть хорда DE , соединяющая точки пересечения параболы с окружностью. Другая хорда BC является биссектрисой DE и, следовательно , является диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке М.

Все отмеченные точки, кроме D и E, компланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упомянута выше. Это определено и обсуждается ниже, в § Положение фокуса .

Назовем длину DM и EM x , а длину PM   y .

Вывод квадратного уравнения

Длины BM и CM составляют:

• ${\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta$ (треугольник БПМ равнобедренный , т.к. ${\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC$
• ${\overline {\mathrm {CM} }}=2r$ (PMCK — параллелограмм ).

Используя теорему о пересекающихся хордах для хорд BC и DE , получаем

$${\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.$$

Замена:

$$4ry\cos \theta =x^{2}.$$

Перестановка:

$$y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.$$

Для любого заданного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с точкой начала координат P. Поскольку x в уравнении находится в квадрате, тот факт, что D и E находятся на противоположных сторонах оси y , неважен. Если горизонтальное сечение движется вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E движутся вдоль параболы, всегда сохраняя соотношение между x и y , показанное в уравнении. Таким образом, параболическая кривая является геометрическим местом точек, в которых уравнение удовлетворяется, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.

Фокусное расстояние

доказано В предыдущем разделе , что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении y , то ее уравнение имеет вид y = Икс ² / 4 f , где f — его фокусное расстояние. Сравнение этого значения с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .

Положение фокуса

На схеме выше точка V — это основание перпендикуляра из вершины параболы к оси конуса. Точка F является основанием перпендикуляра из точки V к плоскости параболы. По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF дополнителен к θ , а угол PVF дополнителен к углу VPF, поэтому угол PVF равен θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние F от вершины параболы равно r sin θ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Таким образом, фокус и точка F находятся на одинаковом расстоянии от вершины вдоль одной и той же линии, что означает, что это одна и та же точка. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .

Эта дискуссия началась с определения параболы как конического сечения, но теперь привела к описанию ее как графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Они оба определяют кривые одинаковой формы.

доказательство со

Парабола (красный): вид сбоку и вид сверху на конус со сферой Одуванчика.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью сфер Данделина . Он работает без вычислений и использует только элементарные геометрические соображения (см. вывод ниже).

Пересечение вертикального конуса плоскостью $\pi$, наклон которой от вертикали такой же, как образующая (она же образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) $m_{0}$ конуса представляет собой параболу (красная кривая на диаграмме).

Эта образующая $m_{0}$ — единственная образующая конуса, параллельная плоскости $\pi$. В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой ( или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если не существует образующей, параллельной пересекающей плоскости, то кривая пересечения будет эллипсом или кругом (или точкой ).

Пусть самолет $\sigma$ быть плоскостью, которая содержит вертикальную ось конуса и линию $m_{0}$. Наклон самолета $\pi$ от вертикали то же самое, что и линия $m_{0}$ означает, что, если смотреть сбоку (т. е. с плоскости $\pi$ перпендикулярен плоскости $\sigma$), $m_{0}\parallel \pi$.

Чтобы доказать свойство направляющей параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Одуванчика. $d$, представляющая собой сферу, касающуюся конуса по окружности $c$ и самолет $\pi$ в точку $F$. Плоскость, содержащая круг $c$ пересекается с плоскостью $\pi$ на линии $l$. имеется зеркальная симметрия. В системе, состоящей из плоскостей, $\pi$, сфера одуванчика $d$ конус ( плоскость симметрии и $\sigma$).

Поскольку плоскость, содержащая окружность $c$ перпендикулярен плоскости $\sigma$, и $\pi \perp \sigma$, линия их пересечения $l$ также должно быть перпендикулярно плоскости $\sigma$. Поскольку линия $m_{0}$ находится в самолете $\sigma$, $l\perp m_{0}$.

Оказывается, что $F$ является фокусом параболы, а $l$ является директрисой параболы.

1. Позволять $P$ — произвольная точка кривой пересечения.
2. Образующая содержащая конуса, $P$ пересекает круг $c$ в точку $A$.
3. Линейные сегменты ${\overline {PF}}$ и ${\overline {PA}}$ касательны к сфере $d$, и, следовательно, имеют одинаковую длину.
4. Образующая $m_{0}$ пересекает круг $c$ в точку $D$. Линейные сегменты ${\overline {ZD}}$ и ${\overline {ZA}}$ касательны к сфере $d$, и, следовательно, имеют одинаковую длину.
5. Пусть линия $q$ быть линией, параллельной $m_{0}$ и проходя через точку $P$. С $m_{0}\parallel \pi$и точка $P$ находится в самолете $\pi$, линия $q$ должен быть в самолете $\pi$. С $m_{0}\perp l$, мы знаем это $q\perp l$ также.
6. Пусть точка $B$ быть основанием перпендикуляра из точки $P$ ровняться $l$, то есть, ${\overline {PB}}$ это отрезок линии $q$, и поэтому ${\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}$.
7. Из теоремы о пересечении и ${\overline {ZD}}={\overline {ZA}}$ мы знаем это ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$. С ${\overline {PA}}={\overline {PF}}$, мы знаем это ${\overline {PF}}={\overline {PB}}$, что означает, что расстояние от $P$ в фокусе $F$ равно расстоянию от $P$ к директрисе $l$.

светоотражающих

Отражательное свойство параболы

Свойство отражения гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, попадающий в нее и двигаясь параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это выведено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.

Рассмотрим параболу y = x ² . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.

Конструкция и определения

Точка E — произвольная точка параболы. Фокус — F, вершина — A (начало координат), а линия FA — ось симметрии. Линия EC параллельна оси симметрии, пересекает ось x в точке D и пересекает направляющую в точке C. Точка B является средней точкой отрезка FC .

Вычеты

Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C находится на направляющей, координаты y F и C равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. B – середина FC . Его координата x вдвое меньше координаты D, то есть x /2 . Наклон линии BE представляет собой частное отношение длин ED и BD , что составляет Икс ² / х /2 = 2 х . Но 2 x — это еще и наклон (первая производная) параболы в точке E. Следовательно, линия BE является касательной к параболе в точке E.

Расстояния EF и EC равны, поскольку E находится на параболе, F — в фокусе, а C — на директрисе. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △FEB и △CEB конгруэнтны (три стороны), а это означает, что углы, отмеченные буквой α , равны. (Угол над E является вертикальным противоположным углом ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии, будет отражен линией BE и пройдет вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом отражают свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то такое же отражение будет производить бесконечно малая дуга параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии параболы, отражается по параболе к ее фокусу.

Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.

Другие последствия

Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенных выше рассуждений.

Свойство касательной пополам

Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно директрисе.

Пересечение касательной и перпендикуляра из фокуса

Перпендикулярно от фокуса к касательной

Поскольку треугольники △FBE и △CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения любой касательной к параболе и перпендикуляра, проведенного из фокуса к этой касательной, лежит на линии, касательной к параболе. парабола в ее вершине. См. анимированную диаграмму и кривая педали .

Отражение света, падающего на выпуклую сторону

Если свет движется вдоль линии CE , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса по продолжению сегмент FE .

Альтернативные

Парабола и касательная

Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательного деления пополам используют ряд математических вычислений. Здесь представлено геометрическое доказательство.

На этой диаграмме F — фокус параболы, а T и U лежат в ее директрисе. P — произвольная точка параболы. PT перпендикулярен директрисе, а прямая MP делит угол пополам ∠FPT. Q — еще одна точка параболы, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP = PT и FQ = QU . Очевидно, QT > QU , поэтому QT > FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q находится ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится левее MP , то есть по ту же сторону от него, что и фокус. То же самое было бы верно, если бы Q располагался где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку она делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной пополам.

Логику последнего абзаца можно применить для модификации приведенного выше доказательства отражательного свойства. Это эффективно доказывает, что линия BE является касательной к параболе в точке E, если углы α равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.

Конструкция булавки и струны

Парабола: конструкция штыревой струны

Определение параболы по ее фокусу и директрисе можно использовать для ее рисования с помощью булавок и веревочек:

1. Выберите фокус $F$ и директриса $l$ параболы.
2. Возьмите треугольник из квадрата и приготовьте веревку длиной $|AB|$ (см. схему).
3. Закрепите один конец веревки в точке $A$ треугольника, а другой в фокус $F$.
4. Расположите треугольник так, чтобы второй край прямого угла мог свободно скользить по направляющей.
5. Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
6. Перемещая треугольник по директрисе, перо рисует дугу параболы, так как $|PF|=|PB|$ (см. определение параболы).

Паскаля

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой $Y_{\infty }$ на линии бесконечности $g_{\infty }$, который является касательной при $Y_{\infty }$. 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля являются свойствами коники, имеющей хотя бы одну касательную. Если рассматривать эту касательную как бесконечную линию, а ее точку контакта как бесконечную точку оси Y , можно получить три утверждения для параболы.

Следующие свойства параболы касаются только терминов соединять , пересекать , параллельных , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы с уравнением $y=x^{2}$.

4-балльная собственность

4-точечное свойство параболы

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением $y=ax^{2}$.

Позволять $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})$ быть четырьмя точками параболы $y=ax^{2}$, и $Q_{2}$ пересечение секущей линии $P_{1}P_{4}$ с линией $x=x_{2},$ и разреши $Q_{1}$ быть пересечением секущей линии $P_{2}P_{3}$ с линией $x=x_{1}$(см. картинку). Тогда секущая линия $P_{3}P_{4}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$. (Линии $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: простой расчет единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: Свойство параболы 4-х точек можно использовать для построения точки. $P_{4}$, пока $P_{1},P_{2},P_{3}$ и $Q_{2}$ дано.

Замечание: свойство 4-точечности параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 3 точки – 1 касательная

Свойство 3 точки – 1 касательная

Позволять $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})$ три точки параболы с уравнением $y=ax^{2}$ и $Q_{2}$ пересечение секущей линии $P_{0}P_{1}$ с линией $x=x_{2}$ и $Q_{1}$ пересечение секущей линии $P_{0}P_{2}$ с линией $x=x_{1}$(см. картинку). Тогда касательная в точке $P_{0}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$. (Линии $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: можно провести для единичной параболы. $y=x^{2}$. Краткий расчет показывает: линия $Q_{1}Q_{2}$ имеет уклон $2x_{0}$ что представляет собой наклон касательной в точке $P_{0}$.

Применение: Свойство параболы «3 точки-1-касательная» можно использовать для построения касательной в точке. $P_{0}$, пока $P_{1},P_{2},P_{0}$ дано.

Примечание. Свойство параболы «3 точки-1 касательная» является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 2 точки–2 касательные

Свойство 2 точки – 2 касательных

Позволять $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ две точки параболы с уравнением $y=ax^{2}$, и $Q_{2}$ пересечение касательной в точке $P_{1}$ с линией $x=x_{2}$, и $Q_{1}$ пересечение касательной в точке $P_{2}$ с линией $x=x_{1}$(см. картинку). Тогда секанс $P_{1}P_{2}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$. (Линии $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: прямой расчет единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: Свойство 2-х точек–2-касательных можно использовать для построения касательной параболы в точке. $P_{2}$, если $P_{1},P_{2}$ и касательная в $P_{1}$ дано.

Замечание 1: Свойство параболы «2 точки–2 касания» является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Замечание 2. Свойство «2 точки–2 касательные» не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с двумя точками и двумя касательными, но не связано с теоремой Паскаля.

Направление оси

Построение направления оси

Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы, чтобы построить точки. $Q_{1},Q_{2}$. Следующее свойство определяет точки $Q_{1},Q_{2}$ только двумя заданными точками и их касательными, и в результате линия $Q_{1}Q_{2}$ параллельна оси параболы.

Позволять

1. $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ две точки параболы $y=ax^{2}$, и $t_{1},t_{2}$ быть их касательными;
2. $Q_{1}$ быть пересечением касательных $t_{1},t_{2}$,
3. $Q_{2}$ быть пересечением параллельной прямой, $t_{1}$ через $P_{2}$ с параллельной линией $t_{2}$ через $P_{1}$ (см. картинку).

Тогда линия $Q_{1}Q_{2}$ параллельна оси параболы и имеет уравнение $x=(x_{1}+x_{2})/2.$

Доказательство: можно провести (как и свойства выше) для единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ — определить середины двух параллельных хорд, см. раздел о параллельных хордах .

Примечание. Это свойство представляет собой аффинную версию теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники.

Поколение Штейнера

Притча

Поколение Штейнера параболы

Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Коника Штейнера ):

Даны два карандаша $B(U),B(V)$ линий в двух точках $U,V$ (все строки, содержащие $U$ и $V$ соответственно) и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ из $B(U)$ на $B(V)$, точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе. $y=ax^{2}$:

• Рассмотрим карандаш в вершине $S(0,0)$ и набор строк $\Pi _{y}$ которые параллельны Y. оси
  1. Позволять $P=(x_{0},y_{0})$ быть точкой на параболе, а $A=(0,y_{0})$, $B=(x_{0},0)$.
  2. Отрезок линии ${\overline {BP}}$ делится на n равноотстоящих друг от друга сегментов и это деление проецируется (в направлении $BA$) на отрезок прямой ${\overline {AP}}$(см. рисунок). Эта проекция порождает проективное отображение $\pi$ из карандаша $S$ на карандаш $\Pi _{y}$.
  3. Пересечение линии $SB_{i}$ а i -я параллель оси y является точкой параболы.

Доказательство: прямой расчет.

Примечание. Поколение Штейнера доступно также для эллипсов и гипербол .

Двойная парабола

Двойная парабола и кривая Безье степени 2 (справа: точка кривой и точки разделения $Q_{0},Q_{1}$ для параметра $t=0.4$)

Двойственная парабола состоит из множества касательных к обычной параболе.

Порождение Штейнера коники можно применить к порождению двойственной коники, изменяя значения точек и линий:

Пусть даны два множества точек на двух прямых. $u,v$и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ между этими множествами точек, то соединительные линии соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику.

Чтобы сгенерировать элементы двойной параболы, нужно начать с

1. три очка $P_{0},P_{1},P_{2}$ не на линии,
2. делит части строки ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ и ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ каждый в $n$ равномерно расположенные сегменты линий и сложение чисел, как показано на рисунке.
3. Затем строки $P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc$ являются касательными параболы, следовательно, элементами двойственной параболы.
4. Парабола представляет собой кривую Безье степени 2 с контрольными точками $P_{0},P_{1},P_{2}$.

Доказательство является следствием алгоритма де Кастельжо для кривой Безье степени 2.

Вписанные углы и трехточечная форма

Вписанные углы параболы

Парабола с уравнением $y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ однозначно определяется тремя точками $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$с разными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов $a,b,c$заключается в вставке координат точки в уравнение. В результате получается линейная система трех уравнений, которую можно решить, методом исключения Гаусса или правилом Крамера например, . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол.

В дальнейшем угол двух линий будет измеряться как разность наклонов линии относительно директрисы параболы. То есть для параболы уравнения $y=ax^{2}+bx+c,$ угол между двумя линиями уравнений $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}$ измеряется $m_{1}-m_{2}.$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей, существует теорема о вписанном угле для парабол :

Четыре очка $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,$ с разными координатами x (см. рисунок) находятся на параболе с уравнением $y=ax^{2}+bx+c$ тогда и только тогда, когда углы при $P_{3}$ и $P_{4}$имеют ту же меру, как определено выше. То есть,

$${\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$$

(Доказательство: простой расчет: если точки лежат на параболе, можно преобразовать координаты, чтобы получить уравнение $y=ax^{2}$, то есть ${\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}$ если точки лежат на параболе.)

Следствием этого является то, что уравнение (в ${\color {green}x},{\color {red}y}$) параболы, определяемой 3 точками $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,$ с разными x координатами (если две координаты x равны, то не существует параболы с направляющей, параллельной оси x , проходящей через точки)

$${\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$$

Умножая на знаменатели, которые зависят от ${\color {green}x},$ получается более стандартная форма

$$(x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$$

Полюс

Парабола: соотношение полюсов и полярностей

В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением $y=ax^{2}$. Уравнение касательной в точке $P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}$ является

$$y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.$$

Получается функция

$$(x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}$$

на множестве точек параболы на множество касательных.

Очевидно, эту функцию можно продолжить на множество всех точек $\mathbb {R} ^{2}$ к биекции между точками $\mathbb {R} ^{2}$ и строки с уравнениями $y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R}$. Обратное отображение

$${\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).$$

Это отношение называется полюсно-полярным отношением параболы , где точка является полюсом , а соответствующая линия — его полярой .

Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения параболы:

• Для точки (полюса) на параболе полярой является касательная в этой точке (см. рисунок: $P_{1},\ p_{1}$).
• Для шеста $P$ вне параболы точки пересечения ее поляры с параболой являются точками касания двух касательных, проходящих $P$ (см. картинку: $P_{2},\ p_{2}$).
• Для точки внутри параболы поляра не имеет общей точки с параболой (см. рисунок: $P_{3},\ p_{3}$ и $P_{4},\ p_{4}$).
• Точка пересечения двух полярных линий (например, $p_{3},p_{4}$) — полюс соединительной линии их полюсов (в примере: $P_{3},P_{4}$).
• Фокус и директриса параболы представляют собой полюс-полярную пару.

Примечание. Полюс-полярные отношения существуют также для эллипсов и гипербол.

Свойства касательной

широкой прямой

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q и обозначает фокус как точку F, а его расстояние от точки Q как f . Пусть перпендикуляр к линии симметрии через фокус пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2 f и (2) касательная к параболе в точке T пересекает прямую симметрии под углом 45°.

Перпендикулярные касательные пересекаются по директрисе.

Ортоптическое свойство

Основная статья: Ортоптика (геометрия)

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по направляющей, перпендикулярны. Другими словами, в любой точке директрисы вся парабола образует прямой угол.

Теорема Ламберта

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда Ламберта теорема утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника.

Обращение Цукермана к теореме Ламберта гласит, что для трех линий, ограничивающих треугольник, если две из линий касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья линия также касается параболы.

Факты, связанные с хордами и дугами

Фокусное расстояние рассчитывается по параметрам хорды

Предположим, хорда пересекает параболу, перпендикулярную ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы равна с, а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно d . Фокусное расстояние f параболы определяется выражением

$$f={\frac {c^{2}}{16d}}.$$

Доказательство

Предположим, используется система декартовых координат, в которой вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии — ось y . Парабола открывается вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы имеет вид 4 fy = x ² , где f — фокусное расстояние. На положительном конце хорды x = с / 2 и у знак равно d . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять приведенному выше уравнению. Следовательно, путем замены $4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}$. Из этого, $f={\tfrac {c^{2}}{16d}}$.

Область, заключенная между параболой и хордой

Парабола (пурпурный) и линия (нижний голубой), включая хорду (синий). Область, заключенная между ними, выделена розовым цветом. Сама хорда заканчивается в точках пересечения прямой с параболой.

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. схему), составляет две трети площади окружающего ее параллелограмма. Одна сторона параллелограмма — хорда, а противоположная — касательная к параболе. Наклон других параллельных сторон не имеет отношения к местности. Часто, как здесь, их рисуют параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.

Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была выведена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмма. См. Квадратуру параболы .

Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, а расстояние по перпендикуляру от вершины параболы до хорды равно h , параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами b и h . Следовательно, площадь A параболического сегмента, окруженного параболой и хордой, равна

$$A={\frac {2}{3}}bh.$$

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника: 1/2 /. ч

В целом площадь ограждения можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью математических вычислений или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Искомая точка — это место пересечения этой линии с параболой. Затем по формуле, приведенной в разделе Расстояние от точки до прямой , вычислите расстояние по перпендикуляру от этой точки до хорды. Умножьте это значение на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить требуемую замкнутую площадь.

Следствие относительно средних и конечных точек аккордов

Середины параллельных хорд

Следствием из вышеизложенного является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, все их средние точки лежат на линии, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проведены через конечные точки любой из этих хорд, две касательные пересекаются на одной и той же линии, параллельной оси симметрии (см. Направление оси параболы ).

Длина дуги

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f и если p — расстояние по перпендикуляру от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы, оканчивающихся в X, можно вычислить по f и p следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах.

$${\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}$$

Эта величина s представляет собой длину дуги между X и вершиной параболы.

Длина дуги между X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна 2 с .

Перпендикулярному расстоянию p можно присвоить положительный или отрицательный знак, чтобы указать, на какой стороне оси симметрии X находится. Изменение знака p меняет местами знаки h и s , не меняя их абсолютных значений. Если эти величины подписаны, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда показывается разницей между их значениями s . Расчет можно упростить, если использовать свойства логарифмов:

$$s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.$$

Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .

Этот расчет можно использовать для параболы любой ориентации. Это не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .

Геометрическое построение для нахождения площади сектора

S — фокус, а V — главная вершина параболы VG. Нарисуйте VX перпендикулярно SV.

Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Нарисуйте перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости продленный, в точке T. В точке B нарисуйте перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.

Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, равен ∆VBQ/3, также $BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}$.

Площадь параболического сектора $SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}$.

Поскольку треугольники TSB и QBJ подобны,

$$VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.$$

Следовательно, площадь параболического сектора $SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}$ и может быть найден по длине VJ, как указано выше.

Окружность, проходящая через S, V и B, также проходит через J.

И наоборот, если необходимо найти точку B на параболе VG так, чтобы площадь сектора SVB была равна заданному значению, определите точку J на ​​VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ диаметра, центр круга находится в его середине и лежит на биссектрисе SV, на расстоянии половины VJ от SV. Искомая точка B — это место пересечения этой окружности с параболой.

Если тело следует по траектории параболы под действием обратной квадратичной силы, направленной к S, то площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере движения точки B вперед. Отсюда следует, что J движется с постоянной скоростью вдоль VX, тогда как B движется по параболе.

Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна 3 v /4 .

Конструкцию можно просто расширить, включив в нее случай, когда ни один из радиусов не совпадает с осью SV, следующим образом. Пусть A — неподвижная точка на VG между V и B, а точка H — пересечение на VX с перпендикуляром к SA в точке A. Из вышесказанного следует, что площадь параболического сектора $SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}$.

И наоборот, если требуется найти точку B для определенной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как и раньше. Ньютона Согласно книге 1, предложению 16, следствию 6 «Начал» , скорость тела, движущегося по параболе с силой, направленной к фокусу, обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна ${\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v$, а точка J движется с постоянной скоростью ${\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}$.

Вышеупомянутая конструкция была разработана Исааком Ньютоном и ее можно найти в первой книге Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica как предложение.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине

Фокусное расстояние параболы равно половине ее радиуса кривизны в вершине.

Доказательство

• 
  Изображение перевернуто. АВ — ось х . С – происхождение. О — центр. А есть ( х , у ) . ОА = ОС = р . ПА = х . КП = y . ОП знак равно ( р - y ) . Другие точки и линии для этой цели не имеют значения.
• 
  Радиус кривизны в вершине в два раза больше фокусного расстояния. Измерения, показанные на диаграмме выше, выражены в единицах широкой прямой кишки, что в четыре раза превышает фокусное расстояние.
• 

Рассмотрим точку ( x , y ) на окружности радиуса R с центром в точке (0, R ) . Окружность проходит через начало координат. Если точка находится недалеко от начала координат, теорема Пифагора показывает, что

$${\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}$$

Но если ( x , y ) находится очень близко к началу координат, поскольку ось x является касательной к окружности, y очень мала по сравнению с x , поэтому y ² пренебрежимо мал по сравнению с другими условиями. Поэтому чрезвычайно близок к происхождению

$$x^{2}=2Ry.$$

( 1 )

Сравните это с параболой

$$x^{2}=4fy,$$

( 2 )

вершина которого находится в начале координат, открывается вверх и имеет фокусное расстояние f (см. предыдущие разделы этой статьи).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если R = 2 f . Следовательно, это условие совпадения окружности и параболы в начале координат и очень близко к ним. Радиус кривизны в начале координат, который является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.

Следствие

Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точку на полпути между центром и поверхностью сферы.

единичной

Парабола как аффинный образ единичной параболы

Другое определение параболы использует аффинные преобразования :

Любая парабола является аффинным образом единичной параболы с уравнением $y=x^{2}$.

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, где $A$ является регулярной матрицей ( определитель не равен 0), а ${\vec {f}}_{0}$— произвольный вектор. Если ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ – векторы-столбцы матрицы $A$, единичная парабола $(t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R}$ отображается на параболе

$${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},$$

где

• ${\vec {f}}_{0}$ является точкой параболы,
• ${\vec {f}}_{1}$ является касательным вектором в точке ${\vec {f}}_{0}$,
• ${\vec {f}}_{2}$ параллельна оси параболы (оси симметрии, проходящей через вершину).

Вершина

В общем, два вектора ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ не перпендикулярны и ${\vec {f}}_{0}$ является не вершиной, если только аффинное преобразование не является подобием .

Касательный вектор в точке ${\vec {p}}(t)$ является ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}$. В вершине касательный вектор ортогонален ${\vec {f}}_{2}$. Следовательно, параметр $t_{0}$ вершины является решением уравнения

$${\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,$$

который

$$t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},$$

и вершина ​

$${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$$

Фокусное расстояние и фокус

Фокусное расстояние можно определить путем подходящего преобразования параметров (которое не меняет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние

$$f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.$$

Следовательно, фокус параболы равен

$$F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$$

Неявное представление

Решение параметрического представления для $\;t,t^{2}\;$ по правилу Крамера и используя $\;t\cdot t-t^{2}=0\;$, получаем неявное представление

$$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.$$

Парабола в космосе

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы даже в пространстве, если это допускается. ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ быть векторами в пространстве.

Квадратичная кривая Безье Эйса

Квадратичная кривая Безье и ее контрольные точки

Квадратичная кривая Безье – это кривая ${\vec {c}}(t)$ определяется тремя точками $P_{0}:{\vec {p}}_{0}$, $P_{1}:{\vec {p}}_{1}$ и $P_{2}:{\vec {p}}_{2}$, называемые его контрольными точками :

$${\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}$$

Эта кривая представляет собой дугу параболы (см. § Как аффинный образ единичной параболы ).

Численное интегрирование

Правило Симпсона: график функции заменяется дугой параболы.

В одном методе численного интегрирования график функции заменяют дугами парабол и интегрируют дуги парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).$$

Этот метод называется правилом Симпсона .

Как плоское сечение квадрики

Следующие квадрики содержат параболы как плоские сечения:

• эллиптический конус ,
• параболический цилиндр ,
• эллиптический параболоид ,
• гиперболический параболоид,
• гиперболоид , однолистный
• гиперболоид из двух листов.

• 
  Эллиптический конус
• 
  Параболический цилиндр
• 
  Эллиптический параболоид
• 
  Гиперболический параболоид
• 
  Гиперболоид одного листа
• 
  Гиперболоид из двух листов

Как трисектриса

Угловая трисекция с параболой

Параболу можно использовать как трисектрису , то есть она позволяет точно трисекционировать произвольный угол с помощью линейки и циркуля. Это не противоречит невозможности трисекции угла только с помощью конструкций циркуля и линейки , поскольку использование парабол не допускается в классических правилах для конструкций циркуля и линейки.

Разделить пополам $\angle AOB$, помести ногу $OB$ по оси x так, что вершина $O$находится в начале системы координат. Система координат также содержит параболу $y=2x^{2}$. Единичная окружность радиусом 1 вокруг начала координат пересекает другую катет угла. $OA$, и из этой точки пересечения проведем перпендикуляр на ось y . Параллельность оси Y , проходящая через середину этого перпендикуляра и касательную к единичной окружности в $(0,1)$ пересекаться в $C$. Круг вокруг $C$ с радиусом $OC$ пересекает параболу в точке $P_{1}$. Перпендикуляр из $P_{1}$ на ось x пересекает единичную окружность в точке $P_{2}$, и $\angle P_{2}OB$ составляет ровно треть $\angle AOB$.

В правильности этой конструкции можно убедиться, показав, что x координата $P_{1}$ является $\cos(\alpha )$. Решение системы уравнений, заданной окружностью вокруг $C$ и парабола приводит к кубическому уравнению $4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0$. Формула тройного угла $\cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )$ затем показывает, что $\cos(\alpha )$ действительно является решением этого кубического уравнения.

Это трисекция восходит к Рене Декарту , который описал его в своей книге «Геометрия» (1637).

Обобщения

Если заменить действительные числа произвольным полем , многие геометрические свойства параболы $y=x^{2}$ все еще действительны:

1. Линия пересекается не более чем в двух точках.
2. В любой момент $(x_{0},x_{0}^{2})$ линия $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$ является касательной.

Принципиально новые явления возникают, если поле имеет характеристику 2 (т. е. $1+1=0$): все касательные параллельны.

В алгебраической геометрии парабола обобщается рациональными нормальными кривыми , имеющими координаты ( x , x ² , Икс ³ , ..., Икс ^н ) ; стандартная парабола — это случай n = 2 , а случай n = 3 известен как скрученная кубика . Дальнейшее обобщение даёт многообразие Веронезе , когда имеется более одной входной переменной.

В теории квадратичных форм парабола — это график квадратичной формы x. ² (или другие масштабы), а эллиптический параболоид является графиком положительно определенной квадратичной формы x ² + и ² (или масштабирования), а гиперболический параболоид — это график неопределенной квадратичной формы x ² − и ² . Обобщения на большее количество переменных приводят к появлению дополнительных таких объектов.

Кривые y = x ^п для других значений p традиционно называются высшими параболами и первоначально трактовались неявно, в форме x ^п = этот ^д для p и q оба целые положительные числа, и в этом виде они считаются алгебраическими кривыми. Они соответствуют явной формуле y = x ^{п / к} для положительной дробной степени x . Отрицательные дробные степени соответствуют неявному уравнению x ^п и ^д = k и традиционно называются высшими гиперболами . Аналитически x также можно возвести в иррациональную степень (для положительных значений x ); аналитические свойства аналогичны возведению x в рациональную степень, но полученная кривая больше не является алгебраической и не может быть проанализирована с помощью алгебраической геометрии.

В физическом мире

В природе аппроксимации парабол и параболоидов встречаются во многих разнообразных ситуациях. Самый известный пример параболы в истории физики — траектория частицы или тела, движущегося под действием однородного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяч, летящий по воздуху без учета трения воздуха ).

Параболическая траектория снарядов была открыта экспериментально в начале 17 века Галилеем , проводившим опыты с шарами, катящимися по наклонным плоскостям. Позже он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках» . Для объектов, протяженных в пространстве, таких как ныряльщик, прыгающий с трамплина, сам объект при вращении совершает сложное движение, но центр массы объекта все же движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда представляет собой приближение параболы. Наличие сопротивления воздуха, например, всегда искажает форму, хотя на малых скоростях форма является хорошим приближением параболы. На более высоких скоростях, например в баллистике, форма сильно искажается и не напоминает параболу.

Другая гипотетическая ситуация, в которой могли возникнуть параболы, согласно теориям физики, описанным в 17 и 18 веках сэром Исааком Ньютоном , — это орбиты двух тел , например, траектория небольшого планетоида или другого объекта под воздействием гравитация Солнца . Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы . Параболическая орбита представляет собой вырожденный промежуточный случай между этими двумя типами идеальной орбиты. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания объекта, вокруг которого он вращается; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью меньше или больше скорости убегания соответственно. Длиннопериодические кометы движутся со скоростью, близкой к скорости убегания Солнца, когда они движутся через внутреннюю Солнечную систему, поэтому их траектории почти параболичны.

Приближения парабол встречаются и в форме основных тросов на простом подвесном мосту . Кривая цепей подвесного моста всегда представляет собой промежуточную кривую между параболой и цепной линией , но на практике кривая обычно ближе к параболе, поскольку вес груза (то есть дороги) намного больше, чем вес тросов. сами по себе, а в расчетах используется полиномиальная формула параболы второй степени. Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтального подвешенного настила) трос, имеющий в противном случае контактную форму, деформируется в сторону параболы (см. Цепная линия § Кривая подвесного моста ). В отличие от неупругой цепи свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины принимает форму параболы. Тросы подвесного моста в идеале находятся исключительно в натяжении, без необходимости нести на себе другие силы, например, изгиб. Точно так же конструкции параболических арок находятся исключительно на сжатии.

Параболоиды возникают также в нескольких физических ситуациях. Самый известный пример — параболический отражатель , который представляет собой зеркало или подобное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общей фокусной точке или, наоборот, коллимирует свет от точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического рефлектора, возможно, был открыт в III веке до нашей эры геометром Архимедом , который, согласно сомнительной легенде, построил параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи и поджигая палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в 17 веке. Сегодня параболоидные отражатели можно часто наблюдать по всему миру в приемных и передающих антеннах микроволновых и спутниковых антенн.

В параболических микрофонах параболический отражатель используется для фокусировки звука на микрофоне, что обеспечивает его направленность.

Параболоиды наблюдаются также на поверхности жидкости, заключенной в сосуд и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам емкости, образуя параболическую поверхность. На этом принципе основан телескоп с жидкостным зеркалом .

Летательные аппараты , используемые для создания состояния невесомости в целях экспериментов, такие как » НАСА « Рвотная комета , следуют по вертикально-параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы проследить курс объекта в свободном падении , что производит тот же эффект, что и ноль. гравитация для большинства целей.

Галерея

• 
  , Прыгающий мяч снятый стробоскопической вспышкой со скоростью 25 изображений в секунду. Мяч становится существенно несферичным после каждого отскока, особенно после первого. Это, наряду с вращением и сопротивлением воздуха , приводит к небольшому отклонению вытянутой кривой от ожидаемой идеальной параболы.
• 
  Параболические траектории воды в фонтане.
• 
  Путь (красный) кометы Когоутека , проходящей через внутреннюю часть Солнечной системы, демонстрирует ее почти параболическую форму. Синяя орбита — это орбита Земли.
• 
  Несущие тросы подвесных мостов следуют по кривой, промежуточной между параболой и цепной линией .
• 
  Радужный мост через реку Ниагара , соединяющий Канаду (слева) и США (справа). Параболическая арка сжимается и выдерживает вес дороги.
• 
  Параболические арки, используемые в архитектуре
• 
  Параболическая форма, образованная вращающейся поверхностью жидкости. Две жидкости разной плотности полностью заполняют узкое пространство между двумя листами прозрачного пластика. Зазор между листами закрывается снизу, по бокам и сверху. Вся сборка вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. (См. Вращающаяся печь )
• 
  Солнечная плита с параболическим отражателем
• 
  Параболическая антенна
• 
  Параболический микрофон с оптически прозрачным пластиковым отражателем, использовавшийся на матче американского футбола.
• 
  Массив параболических желобов для сбора солнечной энергии
• 
  Прожектор Эдисона , установленный на тележке. Свет имел параболический отражатель.
• 
  Физик Стивен Хокинг в самолете, летящем по параболической траектории для имитации невесомости.

См. также

• Вырожденная коническая
• Купол § Параболоидный купол
• Параболическое уравнение в частных производных
• Квадратное уравнение
• Квадратичная функция
• Универсальная параболическая константа
• Конфокальные конические сечения § Конфокальные параболы

Дальнейшее чтение

• Локвуд, Э.Х. (1961). Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Парабола» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Парабола» . Математический мир .
• Интерактивный фокус параболы, просмотр оси симметрии, директрисы, стандартных и вершинных форм.
• Треугольник Архимеда и квадратура параболы при разрезании узла
• Две касательные к параболе при разрезании узла
• Парабола как огибающая прямых линий при разрезании узла
• Параболическое зеркало в кратчайшие сроки
• Три касательные параболы при разрезании узла
• Фокальные свойства параболы в момент разрезания узла
• Парабола как конверт II в готовом виде
• Сходство параболы с эскизами динамической геометрии , интерактивным эскизом динамической геометрии.
• Франс ван Скутен: Математические упражнения , 1659 г.