Парабола

Чтобы узнать о других значениях, см. Парабола (значения) .

Часть параболы (синяя) с различными деталями (другие цвета). Полная парабола не имеет концов. В этой ориентации он бесконечно простирается влево, вправо и вверх.

Парабола принадлежит к семейству конических сечений .

В математике парабола — это плоская кривая , зеркально-симметричная и имеющая приблизительно U-образную форму. Он соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Одно из описаний параболы включает точку ( фокус ) и линию ( директрису ). Фокус не находится на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек в этой плоскости, равноудаленных от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — это коническое сечение , созданное пересечением прямой круговой конической поверхности и плоскости , параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности.

График ​ квадратичной функции $y=ax^{2}+bx+c$ (с $a\neq 0$) представляет собой параболу, ось которой параллельна оси y . И наоборот, каждая такая парабола является графиком квадратичной функции.

Линия, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть линия, разделяющая параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает свою ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, является «фокусным расстоянием». « Широкая прямая кишка » — это хорда параболы, параллельная директрисе и проходящая через фокус. Параболы могут открываться вверх, вниз, влево, вправо или в каком-либо другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .

Параболы обладают тем свойством, что, если они сделаны из материала, отражающего свет , то свет, идущий параллельно оси симметрии параболы и попадающий на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, в каком месте параболы происходит отражение. И наоборот, свет, исходящий от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же эффекты происходят со звуком и другими волнами . Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол.

Парабола имеет множество важных применений: от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет . Его часто используют в физике , технике и многих других областях.

История

Параболический компас, созданный Леонардо да Винчи.

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менехмом в IV веке до нашей эры. Он нашел способ решить задачу удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не отвечает требованиям построения циркуля и линейки .) Площадь, ограниченная параболой и отрезком, так называемый «отрезок параболы», был вычислен Архимедом методом исчерпания в в III веке до нашей эры в своей «Квадратуре параболы» . Название «парабола» связано с Аполлонием , открывшим многие свойства конических сечений. Оно означает «приложение», имея в виду понятие «применение площадей», которое имеет связь с этой кривой, как доказал Аполлоний. Свойство фокуса-директрисы параболы и других конических сечений принадлежит Паппусу .

Галилей показал, что траектория снаряда следует по параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.

Идея о том, что параболический рефлектор может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения телескопа-рефлектора . Конструкции были предложены в начале-середине 17 века многими математиками , в том числе Рене Декартом , Марином Мерсенном , и Джеймс Грегори . Когда Исаак Ньютон построил первый телескоп-рефлектор в 1668 году, он отказался от использования параболического зеркала из-за сложности изготовления, отдав предпочтение сферическому зеркалу . Параболические зеркала используются в большинстве современных телескопов-рефлекторов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках.

Определение как геометрическое место точек

Параболу можно определить геометрически как набор точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:

Парабола – это набор точек, такой, что для любой точки $P$ из набора расстояние $|PF|$ в фиксированную точку $F$, фокус , равен расстоянию $|Pl|$ на фиксированную линию $l$, директриса :

$$\{P:|PF|=|Pl|\}.$$

Середина $V$ перпендикуляра из фокуса $F$ на директрису $l$ называется вершиной , а линия $FV$ – ось симметрии параболы.

В декартовой системе координат

Ось симметрии параллельна Y оси

Парабола с осью, параллельной оси y ; p - полурасширенная прямая кишка

Если ввести декартовы координаты такие, что $F=(0,f),\ f>0,$ а директриса имеет уравнение $y=-f$, для точки получается $P=(x,y)$ от $|PF|^{2}=|Pl|^{2}$ уравнение $x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}$. Решение для $y$ урожайность

$$y={\frac {1}{4f}}x^{2}.$$

Эта парабола имеет U-образную форму ( открывается вверх ).

Горизонтальная хорда, проходящая через фокус (см. рисунок во вступительной части), называется широкой прямой кишкой ; половина ее — полурасширенная прямая кишка . Широкая прямая кишка параллельна директрисе. Полурасширенная прямая кишка обозначается буквой $p$. Из картинки получается

$$p=2f.$$

Аналогично определяется широкая прямая кишка и для двух других коник — эллипса и гиперболы. Широкая прямая кишка — это линия, проведенная через фокус конического сечения, параллельного директрисе, и заканчивающаяся в обе стороны кривой. В любом случае, $p$ - радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы - полурасширенная прямая кишка, $p$, — расстояние фокуса от директрисы. Использование параметра $p$, уравнение параболы можно переписать в виде

$$x^{2}=2py.$$

В более общем случае, если вершина $V=(v_{1},v_{2})$, фокус $F=(v_{1},v_{2}+f)$, и директриса $y=v_{2}-f$, получаем уравнение

$$y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.$$

Примечания :

1. В случае $f<0$ парабола имеет отверстие вниз.
2. Предположение о параллельности оси y позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. следующий раздел).
3. Если кто-то обменяет $x$ и $y$, получим уравнения вида $y^{2}=2px$. Эти параболы открываются влево (если $p<0$) или вправо (если $p>0$).

Общее положение

Парабола: общее положение

Если фокус $F=(f_{1},f_{2})$, и директриса $ax+by+c=0$, то получаем уравнение

$${\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}$$

(левая часть уравнения использует нормальную форму линии Гессе для расчета расстояния $|Pl|$).

О параметрическом уравнении параболы общего положения см. § Как аффинный образ единичной параболы .

параболы Неявное уравнение определяется неприводимым полиномом второй степени:

$$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,$$

такой, что $b^{2}-4ac=0,$ или, что то же самое, такой, что $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ — квадрат линейного многочлена .

Как график функции

Притчи $y=ax^{2}$

В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции.

$$f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.$$

Для $a>0$ параболы открываются вверх, и для $a<0$ открываются вниз (см. рисунок). Из приведенного выше раздела получается:

• внимания центре В $\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$,
• фокусное расстояние ${\frac {1}{4a}}$полурасширенная прямая кишка $p={\frac {1}{2a}}$,
• вершина ​ ​ $(0,0)$,
• директриса уравнение имеет $y=-{\frac {1}{4a}}$,
• касательная в точке $(x_{0},ax_{0}^{2})$ имеет уравнение $y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}$.

Для $a=1$ парабола - это единичная парабола с уравнением $y=x^{2}$.Его фокус $\left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)$, полуправая сторона $p={\tfrac {1}{2}}$, а директриса имеет уравнение $y=-{\tfrac {1}{4}}$.

Общая функция степени 2:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.$$

квадрата дает Завершение

$$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},$$

которое представляет собой уравнение параболы с

• ось $x=-{\frac {b}{2a}}$ (параллельно оси Y ),
• фокусное расстояние ${\frac {1}{4a}}$, полуправая сторона $p={\frac {1}{2a}}$,
• вершина ​ $V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$,
• фокус ​ $F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)$,
• директриса ​ $y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}$,
• точка параболы, пересекающая ось y , имеет координаты $(0,c)$,
• касательная уравнение в точке оси y имеет $y=bx+c$.

единичной

Когда парабола $\color {blue}{y=2x^{2}}$ равномерно масштабируется с коэффициентом 2, результатом является парабола $\color {red}{y=x^{2}}$

Два объекта в евклидовой плоскости подобны, если один можно преобразовать в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции жестких движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабирований .

Параболический ${\mathcal {P}}$ с вершиной $V=(v_{1},v_{2})$ можно преобразовать переводом $(x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})$ к одному с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в ту, у которой ось y является осью симметрии. Отсюда парабола ${\mathcal {P}}$ может быть преобразовано жестким движением в параболу с помощью уравнения $y=ax^{2},\ a\neq 0$. Такая парабола затем может быть преобразована с помощью равномерного масштабирования $(x,y)\to (ax,ay)$ в единичную параболу с уравнением $y=x^{2}$. Таким образом, любую параболу можно отобразить в единичную параболу по подобию.

треугольников . Для получения этого результата также можно использовать синтетический подход с использованием подобных

Общий результат состоит в том, что два конических сечения (обязательно одного типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. Следовательно, только круги (все имеют эксцентриситет 0) разделяют это свойство с параболами (все имеют эксцентриситет 1), а общие эллипсы и гиперболы - нет.

Есть и другие простые аффинные преобразования, отображающие параболу. $y=ax^{2}$ на единичную параболу, например $(x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)$. Но это отображение не является подобием, а лишь показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы ).

В качестве специального конического сечения

Карандаш коник с общей вершиной

Карандаш в качестве оси симметрии, одной вершиной в начале координат ( конических сечений с осью x 0, 0) и такой же полуширокой прямой кишкой. $p$ может быть представлено уравнением

$$y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,$$

с $e$ эксцентриситет ​ .

• Для $e=0$ коника — круг (соприкасающийся круг карандаша),
• для $0<e<1$ эллипс ​ ,
• для $e=1$ парабола с уравнением $y^{2}=2px,$
• для $e>1$ гипербола (см. рисунок).

В полярных координатах

Карандаш коник с общим фокусом

Если p > 0 , парабола с уравнением $y^{2}=2px$ (открытие вправо) имеет полярное представление

$$r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$$

где $r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$.

Его вершина $V=(0,0)$, и его фокус $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$.

Если сместить начало координат в фокус, т.е. $F=(0,0)$, получаем уравнение

$$r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$$

Замечание 1: что парабола является обратной кардиоидой Инвертирование этой полярной формы показывает , .

Замечание 2. Вторая полярная форма является частным случаем пучка коник с фокусом. $F=(0,0)$ (см. картинку):

$$r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}$$

( $e$ это эксцентриситет).

Коническое сечение и квадратичная форма

Схема, описание и определения

Конус с сечениями

Диаграмма представляет собой конус с осью AV . Точка А является ее вершиной . Наклонное поперечное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового сечения EPD является параболой.

Через вершину Р параболы проходит сечение, перпендикулярное оси конуса. Это поперечное сечение круглое, но при взгляде под углом кажется эллиптическим , как показано на схеме. Его центр — V, а PK — диаметр. Назовем его радиус r .

Другое перпендикулярное оси круглое сечение конуса находится дальше от вершины А, чем только что описанное. У него есть хорда DE , соединяющая точки пересечения параболы с окружностью. Другая хорда BC является биссектрисой DE и, следовательно , является диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке М.

Все отмеченные точки, кроме D и E, компланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Сюда входит точка F, которая не упомянута выше. Это определено и обсуждается ниже, в § Положение фокуса .

Назовем длину DM и EM x , а длину PM   y .

Вывод квадратного уравнения

Длины BM и CM составляют:

• ${\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta$ (треугольник БПМ равнобедренный , т.к. ${\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC$
• ${\overline {\mathrm {CM} }}=2r$ (PMCK — параллелограмм ).

Используя теорему о пересекающихся хордах для хорд BC и DE , получаем

$${\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.$$

Замена:

$$4ry\cos \theta =x^{2}.$$

Перестановка:

$$y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.$$

Для любого заданного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой выполнено горизонтальное сечение BECD. Последнее уравнение показывает взаимосвязь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с точкой начала координат P. Поскольку x в уравнении находится в квадрате, тот факт, что D и E находятся на противоположных сторонах оси y, неважен. Если горизонтальное сечение движется вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E движутся вдоль параболы, всегда сохраняя соотношение между x и y, показанное в уравнении. Таким образом, параболическая кривая является геометрическим местом точек, в которых уравнение удовлетворяется, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.

Фокусное расстояние

доказано В предыдущем разделе , что если парабола имеет вершину в начале координат и если она открывается в положительном направлении y , то ее уравнение имеет вид y = х ² / 4 f , где f — его фокусное расстояние. Сравнивая это с последним уравнением выше, мы видим, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .

Положение фокуса

На схеме выше точка V — это основание перпендикуляра из вершины параболы к оси конуса. Точка F является основанием перпендикуляра из точки V к плоскости параболы. По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF дополнителен к θ , а угол PVF дополнителен к углу VPF, поэтому угол PVF равен θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние F от вершины параболы равно r sin θ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, то есть расстоянию от вершины до фокуса. Таким образом, фокус и точка F находятся на одинаковом расстоянии от вершины вдоль одной и той же линии, что означает, что это одна и та же точка. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .

Эта дискуссия началась с определения параболы как конического сечения, но теперь привела к описанию ее как графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Они оба определяют кривые одинаковой формы.

со сферами

Парабола (красный): вид сбоку и вид сверху на конус со сферой Одуванчика.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью сфер Данделина . Он работает без вычислений и использует только элементарные геометрические соображения (см. вывод ниже).

Пересечение вертикального конуса плоскостью $\pi$, наклон которой от вертикали аналогичен образующей (она же образующая линия, линия, содержащая вершину и точку на поверхности конуса) $m_{0}$ конуса представляет собой параболу (красная кривая на диаграмме).

Эта образующая $m_{0}$ — единственная образующая конуса, параллельная плоскости $\pi$. В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой ( или вырожденной гиперболой , если две образующие находятся в пересекающейся плоскости). Если не существует образующей, параллельной пересекающей плоскости, то кривая пересечения будет эллипсом или кругом ( или точкой ).

Пусть самолет $\sigma$ быть плоскостью, которая содержит вертикальную ось конуса и линию $m_{0}$. Наклон самолета $\pi$ от вертикали то же самое, что и линия $m_{0}$ означает, что, если смотреть сбоку (т. е. с плоскости $\pi$ перпендикулярен плоскости $\sigma$), $m_{0}\parallel \pi$.

Чтобы доказать свойство направляющей параболы (см. § Определение как геометрическое место точек выше), используется сфера Одуванчика. $d$, представляющая собой сферу, касающуюся конуса по окружности $c$ и самолет $\pi$ в точку $F$. Плоскость, содержащая круг $c$ пересекается с плоскостью $\pi$ на линии $l$. имеется зеркальная симметрия. В системе, состоящей из плоскостей, $\pi$, сфера одуванчика $d$ и конус ( симметрии плоскость $\sigma$).

Поскольку плоскость, содержащая окружность $c$ перпендикулярен плоскости $\sigma$, и $\pi \perp \sigma$, линия их пересечения $l$ также должно быть перпендикулярно плоскости $\sigma$. Поскольку линия $m_{0}$ находится в самолете $\sigma$, $l\perp m_{0}$.

Оказывается, $F$ является фокусом параболы, а $l$ является директрисой параболы.

1. Позволять $P$ — произвольная точка кривой пересечения.
2. Образующая содержащая конуса, $P$ пересекает круг $c$ в точку $A$.
3. Линейные сегменты ${\overline {PF}}$ и ${\overline {PA}}$ касательны к сфере $d$, и, следовательно, имеют одинаковую длину.
4. Образующая $m_{0}$ пересекает круг $c$ в точку $D$. Линейные сегменты ${\overline {ZD}}$ и ${\overline {ZA}}$ касательны к сфере $d$, и, следовательно, имеют одинаковую длину.
5. Пусть линия $q$ быть линией, параллельной $m_{0}$ и проходя через точку $P$. С $m_{0}\parallel \pi$и точка $P$ находится в самолете $\pi$, линия $q$ должен быть в самолете $\pi$. С $m_{0}\perp l$, мы это знаем $q\perp l$ также.
6. Пусть точка $B$ быть основанием перпендикуляра из точки $P$ выровнять $l$, то есть, ${\overline {PB}}$ это отрезок линии $q$, и, следовательно, ${\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}$.
7. Из теоремы о пересечении и ${\overline {ZD}}={\overline {ZA}}$ мы знаем это ${\overline {PA}}={\overline {PB}}$. С ${\overline {PA}}={\overline {PF}}$, мы это знаем ${\overline {PF}}={\overline {PB}}$, что означает, что расстояние от $P$ в фокусе $F$ равно расстоянию от $P$ к директрисе $l$.

Доказательство

Отражательное свойство параболы

Свойство отражения гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, попадающий в нее и движущийся параллельно оси симметрии, отражается к фокусу. Это выведено из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.

Рассмотрим параболу y = x ² . Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.

Конструкция и определения

Точка E — произвольная точка параболы. Фокус — F, вершина — A (начало координат), а линия FA — ось симметрии. Линия EC параллельна оси симметрии, пересекает ось x в точке D и пересекает направляющую в точке C. Точка B является средней точкой отрезка FC .

Вычеты

Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C находится на направляющей, координаты y F и C равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. B – середина FC . Его координата x вдвое меньше координаты D, то есть x /2 . Наклон линии BE представляет собой частное отношение длин ED и BD , что составляет х ² / х /2 = 2 х . Но 2 x — это еще и наклон (первая производная) параболы в точке E. Следовательно, линия BE является касательной к параболе в точке E.

Расстояния EF и EC равны, поскольку E находится на параболе, F — в фокусе, а C — на директрисе. Следовательно, поскольку B является серединой FC , треугольники △FEB и △CEB конгруэнтны (три стороны), а это означает, что углы, отмеченные α , равны. (Угол над E является вертикальным противоположным углом ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии, будет отражен линией BE и пройдет вдоль линии EF , как показано красным на схеме (при условии, что линии каким-то образом отражают свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то такое же отражение будет производить бесконечно малая дуга параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает точки E, путешествуя параллельно оси симметрии параболы, отражается по параболе к ее фокусу.

Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано в левой части диаграммы. Это отражающее свойство.

Другие последствия

Есть и другие теоремы, которые можно вывести просто из приведенных выше рассуждений.

Свойство касательной пополам

Приведенное выше доказательство и прилагаемая диаграмма показывают, что касательная BE делит угол ∠FEC пополам. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между линиями, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно директрисе.

Пересечение касательной и перпендикуляра из фокуса

Перпендикулярно от фокуса к касательной

Поскольку треугольники △FBE и △CBE конгруэнтны, FB перпендикулярен касательной BE . Поскольку B находится на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, отсюда следует, что точка пересечения любой касательной к параболе и перпендикуляра, проведенного из фокуса к этой касательной, лежит на линии, касательной к параболе. парабола в ее вершине. См. анимированную диаграмму и кривая педали .

света, падающего на

Если свет распространяется вдоль линии CE , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться прямо от фокуса по продолжению сегмент FE .

доказательства

Парабола и касательная

Приведенные выше доказательства свойств отражения и касательного деления пополам используют линию исчисления. Здесь представлено геометрическое доказательство.

На этой диаграмме F — фокус параболы, а T и U лежат в ее директрисе. P — произвольная точка параболы. PT перпендикулярен директрисе, а прямая MP делит угол пополам ∠FPT. Q — еще одна точка параболы, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP = PT и FQ = QU . Очевидно, QT > QU , поэтому QT > FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q находится ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится левее MP , то есть по ту же сторону от него, что и фокус. То же самое было бы верно, если бы Q располагался где-нибудь еще на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, кроме точки P, находится на стороне фокуса MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку она делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной пополам.

Логику последнего абзаца можно применить для модификации приведенного выше доказательства отражательного свойства. Это эффективно доказывает, что линия BE является касательной к параболе в точке E, если углы α равны. Отражающее свойство следует, как показано ранее.

Конструкция булавки и струны

Парабола: конструкция штыревой струны

Определение параболы по ее фокусу и директрисе можно использовать для ее рисования с помощью булавок и веревочек:

1. Выберите фокус $F$ и директриса $l$ параболы.
2. Возьмите треугольник из квадрата и приготовьте веревку длиной $|AB|$ (см. схему).
3. Закрепите один конец веревки в точке $A$ треугольника, а другой в фокус $F$.
4. Расположите треугольник так, чтобы второй край прямого угла мог свободно скользить по направляющей.
5. Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
6. Перемещая треугольник по директрисе, перо рисует дугу параболы, так как $|PF|=|PB|$ (см. определение параболы).

теоремой Паскаля

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой $Y_{\infty }$ на линии бесконечности $g_{\infty }$, который является касательной при $Y_{\infty }$. 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля являются свойствами коники, имеющей хотя бы одну касательную. Если рассматривать эту касательную как бесконечную линию, а ее точку контакта как бесконечную точку оси Y , можно получить три утверждения для параболы.

Следующие свойства параболы касаются только терминов соединять , пересекать , параллельных , которые являются инвариантами подобия . Итак, достаточно доказать любое свойство единичной параболы с уравнением $y=x^{2}$.

4-балльная собственность

4-точечное свойство параболы

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением $y=ax^{2}$.

Позволять $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})$ быть четырьмя точками параболы $y=ax^{2}$, и $Q_{2}$ пересечение секущей линии $P_{1}P_{4}$ с линией $x=x_{2},$ и пусть $Q_{1}$ быть пересечением секущей линии $P_{2}P_{3}$ с линией $x=x_{1}$ (см. картинку). Тогда секущая линия $P_{3}P_{4}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$.(Строки $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: простой расчет единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: Свойство параболы 4-х точек можно использовать для построения точки. $P_{4}$, пока $P_{1},P_{2},P_{3}$ и $Q_{2}$ даны.

Замечание: свойство 4-точечности параболы является аффинной версией 5-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 3 точки – 1 касательная

Свойство 3 точки – 1 касательная

Позволять $P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})$ три точки параболы с уравнением $y=ax^{2}$ и $Q_{2}$ пересечение секущей линии $P_{0}P_{1}$ с линией $x=x_{2}$ и $Q_{1}$ пересечение секущей линии $P_{0}P_{2}$ с линией $x=x_{1}$ (см. картинку). Тогда касательная в точке $P_{0}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$.(Строки $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: можно провести для единичной параболы. $y=x^{2}$. Краткий расчет показывает: линия $Q_{1}Q_{2}$ имеет уклон $2x_{0}$ что представляет собой наклон касательной в точке $P_{0}$.

Применение: Свойство параболы «3 точки-1-касательная» можно использовать для построения касательной в точке. $P_{0}$, пока $P_{1},P_{2},P_{0}$ даны.

Замечание: Свойство параболы «3 точки-1 касательная» является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Свойство 2 точки–2 касательные

Свойство 2 точки – 2 касательных

Позволять $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ две точки параболы с уравнением $y=ax^{2}$, и $Q_{2}$ пересечение касательной в точке $P_{1}$ с линией $x=x_{2}$, и $Q_{1}$ пересечение касательной в точке $P_{2}$ с линией $x=x_{1}$ (см. картинку). Тогда секанс $P_{1}P_{2}$ параллельно линии $Q_{1}Q_{2}$.(Строки $x=x_{1}$ и $x=x_{2}$ параллельны оси параболы.)

Доказательство: прямой расчет единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: Свойство 2-х точек–2-касательных можно использовать для построения касательной параболы в точке. $P_{2}$, если $P_{1},P_{2}$ и касательная в $P_{1}$ даны.

Замечание 1: Свойство параболы «2 точки–2 касания» является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля.

Замечание 2. Свойство 2 точек–2 касательных не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.

Направление оси

Построение направления оси

Приведенные выше утверждения предполагают знание направления оси параболы, чтобы построить точки. $Q_{1},Q_{2}$. Следующее свойство определяет точки $Q_{1},Q_{2}$ только двумя заданными точками и их касательными, и в результате линия $Q_{1}Q_{2}$ параллельна оси параболы.

Позволять

1. $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})$ две точки параболы $y=ax^{2}$, и $t_{1},t_{2}$ быть их касательными;
2. $Q_{1}$ быть пересечением касательных $t_{1},t_{2}$,
3. $Q_{2}$ быть пересечением параллельной прямой, $t_{1}$ через $P_{2}$ с параллельной линией $t_{2}$ через $P_{1}$ (см. картинку).

Тогда линия $Q_{1}Q_{2}$ параллельна оси параболы и имеет уравнение $x=(x_{1}+x_{2})/2.$

Доказательство: можно провести (как и свойства выше) для единичной параболы. $y=x^{2}$.

Применение: это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если заданы две точки и их касательные. Альтернативный способ — определить середины двух параллельных хорд, см. раздел о параллельных хордах .

Примечание. Это свойство представляет собой аффинную версию теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники.

Поколение Штейнера

Парабола

Поколение Штейнера параболы

Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Коника Штейнера ):

Даны два карандаша $B(U),B(V)$ линий в двух точках $U,V$ (все строки, содержащие $U$ и $V$ соответственно) и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ из $B(U)$ на $B(V)$, точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе. $y=ax^{2}$:

• Рассмотрим карандаш в вершине $S(0,0)$ и набор строк $\Pi _{y}$ которые параллельны Y. оси
  1. Позволять $P=(x_{0},y_{0})$ быть точкой на параболе, а $A=(0,y_{0})$, $B=(x_{0},0)$.
  2. Отрезок линии ${\overline {BP}}$ делится на n равноотстоящих друг от друга сегментов и это деление проецируется (в направлении $BA$) на отрезок прямой ${\overline {AP}}$ (см. рисунок). Эта проекция порождает проективное отображение $\pi$ из карандаша $S$ на карандаш $\Pi _{y}$.
  3. Пересечение линии $SB_{i}$ а i -я параллель оси y является точкой параболы.

Доказательство: прямой расчет.

Примечание. Поколение Штейнера доступно также для эллипсов и гипербол .

Двойная парабола

Двойная парабола и кривая Безье степени 2 (справа: точка кривой и точки разделения $Q_{0},Q_{1}$ для параметра $t=0.4$)

Двойственная парабола состоит из множества касательных к обычной параболе.

Порождение Штейнера коники можно применить к порождению двойственной коники, изменяя значения точек и линий:

Пусть даны два множества точек на двух прямых. $u,v$и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ между этими множествами точек, то соединительные линии соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику.

Чтобы сгенерировать элементы двойной параболы, нужно начать с

1. три очка $P_{0},P_{1},P_{2}$ не на линии,
2. делит части строки ${\overline {P_{0}P_{1}}}$ и ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ каждый в $n$ равномерно расположенные сегменты линий и сложение чисел, как показано на рисунке.
3. Затем строки $P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc$ являются касательными параболы, следовательно, элементами двойственной параболы.
4. Парабола представляет собой кривую Безье степени 2 с контрольными точками $P_{0},P_{1},P_{2}$.

Доказательство . является следствием алгоритма де Кастельжо для кривой Безье степени 2

Вписанные углы и трехточечная форма

Вписанные углы параболы

Парабола с уравнением $y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ однозначно определяется тремя точками $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ с разными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов $a,b,c$ заключается в вставке координат точки в уравнение. В результате получается линейная система трех уравнений, которую можно решить методом исключения Гаусса или правилом Крамера , например, . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол.

В дальнейшем угол двух линий будет измеряться как разность наклонов линии относительно директрисы параболы. То есть для параболы уравнения $y=ax^{2}+bx+c,$ угол между двумя линиями уравнений $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}$ измеряется $m_{1}-m_{2}.$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей, существует теорема о вписанном угле для парабол :

Четыре очка $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,$ с разными координатами x (см. рисунок) находятся на параболе с уравнением $y=ax^{2}+bx+c$ тогда и только тогда, когда углы при $P_{3}$ и $P_{4}$ имеют ту же меру, как определено выше. То есть,

$${\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$$

(Доказательство: простой расчет: если точки лежат на параболе, можно преобразовать координаты, чтобы получить уравнение $y=ax^{2}$, то есть ${\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}$ если точки лежат на параболе.)

Следствием этого является то, что уравнение (в ${\color {green}x},{\color {red}y}$) параболы, определяемой 3 точками $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,$ с разными координатами x (если две координаты x равны, то не существует параболы с направляющей, параллельной оси x , проходящей через точки)

$${\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.$$

Умножая на знаменатели, которые зависят от ${\color {green}x},$ получается более стандартная форма

$$(x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.$$

-

Парабола: соотношение полюсов и полярностей

В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением $y=ax^{2}$. Уравнение касательной в точке $P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}$ является

$$y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.$$

Получается функция

$$(x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}$$

на множестве точек параболы на множество касательных.

Очевидно, эту функцию можно продолжить на множество всех точек $\mathbb {R} ^{2}$ к биекции между точками $\mathbb {R} ^{2}$ и строки с уравнениями $y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R}$. Обратное отображение

$${\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).$$

Это отношение называется полюсно-полярным отношением параболы , где точка является полюсом , а соответствующая линия — его полярой .

Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения параболы:

• Для точки (полюса) на параболе полярой является касательная в этой точке (см. рисунок: $P_{1},\ p_{1}$).
• Для шеста $P$ вне параболы точки пересечения ее поляры с параболой являются точками касания двух касательных, проходящих $P$ (см. картинку: $P_{2},\ p_{2}$).
• Для точки внутри параболы поляра не имеет общей точки с параболой (см. рисунок: $P_{3},\ p_{3}$ и $P_{4},\ p_{4}$).
• Точка пересечения двух полярных линий (например, $p_{3},p_{4}$) — полюс соединительной линии их полюсов (в примере: $P_{3},P_{4}$).
• Фокус и директриса параболы представляют собой полюс-полярную пару.

Примечание. Полюс-полярные связи существуют также для эллипсов и гипербол.

Свойства касательной

связанных с широкой прямой

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q и обозначим фокус как точку F, а его расстояние от точки Q как f . Пусть перпендикуляр к линии симметрии через фокус пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2 f и (2) касательная к параболе в точке T пересекает прямую симметрии под углом 45°.

Перпендикулярные касательные пересекаются по директрисе.

Ортоптическое свойство

Основная статья: Ортоптика (геометрия)

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по направляющей, перпендикулярны. Другими словами, в любой точке директрисы вся парабола образует прямой угол.

Теорема Ламберта

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда Ламберта теорема утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника.

Обращение Цукермана к теореме Ламберта гласит, что для данных трех линий, ограничивающих треугольник, если две из линий касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья линия также касается параболы.

Факты, связанные с хордами и дугами

Фокусное расстояние рассчитывается по параметрам хорды

Предположим, хорда пересекает параболу, перпендикулярную ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы равна с , а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно d . Фокусное расстояние f параболы определяется выражением

$$f={\frac {c^{2}}{16d}}.$$

Доказательство

Предположим, используется система декартовых координат, в которой вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии — это ось y . Парабола открывается вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы имеет вид 4 fy = x ² , где f — фокусное расстояние. На положительном конце хорды x = с / 2 и у знак равно d . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять приведенному выше уравнению. Следовательно, путем замены $4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}$. Из этого, $f={\tfrac {c^{2}}{16d}}$.

Область, заключенная между параболой и хордой

Парабола (пурпурный) и линия (нижний голубой), включая хорду (синий). Область, заключенная между ними, выделена розовым цветом. Сама хорда заканчивается в точках пересечения прямой с параболой.

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. схему), составляет две трети площади окружающего ее параллелограмма. Одна сторона параллелограмма является хордой, а противоположная сторона — касательной к параболе. Наклон других параллельных сторон не имеет отношения к местности. Часто, как здесь, их рисуют параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.

Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была выведена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмма. См. Квадратуру параболы .

Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, а расстояние по перпендикуляру от вершины параболы до хорды равно h , параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами b и h . Следовательно, площадь A параболического сегмента, окруженного параболой и хордой, равна

$$A={\frac {2}{3}}bh.$$

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника: 1/2 /. ч

В целом площадь ограждения можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью математических вычислений или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Искомая точка — это место пересечения этой линии с параболой. Затем по формуле, приведенной в разделе Расстояние от точки до прямой , вычислите расстояние по перпендикуляру от этой точки до хорды. Умножьте это значение на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить требуемую замкнутую площадь.

Следствие относительно средних и конечных точек аккордов

Середины параллельных хорд

Следствием вышеизложенного является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, все их средние точки лежат на линии, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проведены через конечные точки любой из этих хорд, две касательные пересекаются на одной и той же линии, параллельной оси симметрии (см. Направление оси параболы ).

Длина дуги

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f и если p — расстояние по перпендикуляру от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы, оканчивающихся в X, можно вычислить по f и p следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах.

$${\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}$$

Эта величина s представляет собой длину дуги между X и вершиной параболы.

Длина дуги между X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна 2 с .

Перпендикулярному расстоянию p можно присвоить положительный или отрицательный знак, чтобы указать, на какой стороне оси симметрии X находится. Изменение знака p меняет местами знаки h и s, не меняя их абсолютных значений. Если эти величины подписаны, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда показывается разницей между их значениями s . Расчет можно упростить, если использовать свойства логарифмов:

$$s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.$$

Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .

Этот расчет можно использовать для параболы любой ориентации. Это не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .

Геометрическая конструкция для нахождения площади сектора

S — фокус, а V — главная вершина параболы VG. Нарисуйте VX перпендикулярно SV.

Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Нарисуйте перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости продленный, в точке T. В точке B нарисуйте перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.

Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, равен ∆VBQ/3, также $BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}$.

Площадь параболического сектора $SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}$.

Поскольку треугольники TSB и QBJ подобны,

$$VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.$$

Следовательно, площадь параболического сектора $SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}$ и может быть найден по длине VJ, как указано выше.

Окружность, проходящая через S, V и B, также проходит через J.

И наоборот, если необходимо найти точку B на параболе VG так, чтобы площадь сектора SVB была равна заданному значению, определите точку J на ​​VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ диаметра, центр круга находится в его середине и лежит на биссектрисе SV, на расстоянии половины VJ от SV. Искомая точка B — это место пересечения этой окружности с параболой.

Если тело следует по траектории параболы за счет обратной квадратичной силы, направленной к S, то площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере движения точки B вперед. Отсюда следует, что J движется с постоянной скоростью вдоль VX, тогда как B движется по параболе.

Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна 3 v /4 .

Конструкцию можно просто расширить, включив в нее случай, когда ни один из радиусов не совпадает с осью SV, следующим образом. Пусть A — неподвижная точка на VG между V и B, а точка H — пересечение на VX с перпендикуляром к SA в точке A. Из вышесказанного следует, что площадь параболического сектора $SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}$.

И наоборот, если требуется найти точку B для определенной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как и раньше. Ньютона Согласно книге 1, предложению 16, следствию 6 «Начал» , скорость тела, движущегося по параболе с силой, направленной к фокусу, обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна ${\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v$, а точка J движется с постоянной скоростью ${\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}$.

Вышеупомянутая конструкция была разработана Исааком Ньютоном и ее можно найти в первой книге Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica как предложение 30.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине

Фокусное расстояние параболы равно половине ее радиуса кривизны в вершине.

Доказательство

• 
  Изображение перевернуто. АВ — ось х . С – происхождение. О — центр. А есть ( х , у ) . ОА = ОС = р . ПА = х . КП = y . ОП знак равно ( р - y ) . Другие точки и линии для этой цели не имеют значения.
• 
  Радиус кривизны в вершине в два раза больше фокусного расстояния. Измерения, показанные на диаграмме выше, выражены в единицах широкой прямой кишки, что в четыре раза превышает фокусное расстояние.
• 

Рассмотрим точку ( x , y ) на окружности радиуса R с центром в точке (0, R ) . Окружность проходит через начало координат. Если точка находится недалеко от начала координат, теорема Пифагора показывает, что

$${\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}$$

Но если ( x , y ) находится очень близко к началу координат, поскольку ось x является касательной к окружности, y очень мала по сравнению с x , поэтому y ² пренебрежимо мал по сравнению с другими условиями. Поэтому чрезвычайно близок к происхождению

$$x^{2}=2Ry.$$

( 1 )

Сравните это с параболой

$$x^{2}=4fy,$$

( 2 )

вершина которого находится в начале координат, открывается вверх и имеет фокусное расстояние f (см. предыдущие разделы этой статьи).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если R = 2 f . Следовательно, это условие совпадения окружности и параболы в начале координат и очень близко к ним. Радиус кривизны в начале координат, который является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.

Следствие

Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точку на полпути между центром и поверхностью сферы.

изображение единичной

Парабола как аффинный образ единичной параболы

Другое определение параболы использует аффинные преобразования :

Любая парабола является аффинным образом единичной параболы с уравнением $y=x^{2}$.

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, где $A$ является регулярной матрицей ( определитель не равен 0), а ${\vec {f}}_{0}$ — произвольный вектор. Если ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ – векторы-столбцы матрицы $A$, единичная парабола $(t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R}$ отображается на параболе

$${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},$$

где

• ${\vec {f}}_{0}$ является точкой параболы,
• ${\vec {f}}_{1}$ является касательным вектором в точке ${\vec {f}}_{0}$,
• ${\vec {f}}_{2}$ параллельна оси параболы (оси симметрии, проходящей через вершину).

Вершина

В общем, два вектора ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ не перпендикулярны и ${\vec {f}}_{0}$ является не вершиной, если только аффинное преобразование не является подобием .

Касательный вектор в точке ${\vec {p}}(t)$ является ${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}$. В вершине касательный вектор ортогонален ${\vec {f}}_{2}$. Следовательно, параметр $t_{0}$ вершины является решением уравнения

$${\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,$$

который

$$t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},$$

и вершина ​

$${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$$

Фокусное расстояние и фокус

Фокусное расстояние можно определить путем подходящего преобразования параметров (которое не меняет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние

$$f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.$$

Следовательно, фокус параболы равен

$$F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.$$

Неявное представление

Решение параметрического представления для $\;t,t^{2}\;$ по правилу Крамера и используя $\;t\cdot t-t^{2}=0\;$, получаем неявное представление

$$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.$$

Парабола в космосе

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы даже в пространстве, если это допускается. ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ быть векторами в пространстве.

Как

Квадратичная кривая Безье и ее контрольные точки

Квадратичная кривая Безье – это кривая ${\vec {c}}(t)$ определяется тремя точками $P_{0}:{\vec {p}}_{0}$, $P_{1}:{\vec {p}}_{1}$ и $P_{2}:{\vec {p}}_{2}$, называемые его контрольными точками :

$${\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}$$

Эта кривая представляет собой дугу параболы (см . § Как аффинный образ единичной параболы ).

Численное интегрирование

Правило Симпсона: график функции заменяется дугой параболы.

В одном методе численного интегрирования график функции заменяют дугами парабол и интегрируют дуги парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).$$

Этот метод называется правилом Симпсона .

Как плоское сечение квадрики

Следующие квадрики содержат параболы как плоские сечения:

• эллиптический конус ,
• параболический цилиндр ,
• эллиптический параболоид ,
• гиперболический параболоид,
• гиперболоид , однолистный
• гиперболоид из двух листов.

• 
  Эллиптический конус
• 
  Параболический цилиндр
• 
  Эллиптический параболоид
• 
  Гиперболический параболоид
• 
  Гиперболоид одного листа
• 
  Гиперболоид из двух листов

Как трисектриса

Угловая трисекция с параболой

Параболу можно использовать как трисектрису , то есть она позволяет точно трисекционировать произвольный угол с помощью линейки и циркуля. Это не противоречит невозможности трисекции угла только с помощью конструкций циркуля и линейки , поскольку использование парабол не допускается в классических правилах для конструкций циркуля и линейки.

Разделить пополам $\angle AOB$, помести ногу $OB$ по оси x так, что вершина $O$ находится в начале системы координат. Система координат также содержит параболу $y=2x^{2}$. Единичная окружность радиусом 1 вокруг начала координат пересекает другую катет угла. $OA$, и из этой точки пересечения проведем перпендикуляр на ось y . Параллельность оси Y , проходящая через середину этого перпендикуляра и касательную к единичной окружности в $(0,1)$ пересекаться в $C$. Круг вокруг $C$ с радиусом $OC$ пересекает параболу в точке $P_{1}$. Перпендикуляр из $P_{1}$ на ось x пересекает единичную окружность в точке $P_{2}$, и $\angle P_{2}OB$ составляет ровно треть $\angle AOB$.

В правильности этой конструкции можно убедиться, показав, что x координата $P_{1}$ является $\cos(\alpha )$. Решение системы уравнений, заданной окружностью вокруг $C$ и парабола приводит к кубическому уравнению $4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0$. Формула тройного угла $\cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )$ затем показывает, что $\cos(\alpha )$ действительно является решением этого кубического уравнения.

Это трисекция восходит к Рене Декарту , который описал его в своей книге «Геометрия» (1637).

Обобщения

Если заменить действительные числа произвольным полем , многие геометрические свойства параболы $y=x^{2}$ все еще действительны:

1. Линия пересекается не более чем в двух точках.
2. В любой момент $(x_{0},x_{0}^{2})$ линия $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$ является касательной.

Принципиально новые явления возникают, если поле имеет характеристику 2 (т. е. $1+1=0$): все касательные параллельны.

В алгебраической геометрии парабола обобщается рациональными нормальными кривыми , имеющими координаты ( x , x ² , х ³ , ..., х ^н ) ; стандартная парабола — это случай n = 2 , а случай n = 3 известен как скрученная кубика . Дальнейшее обобщение даёт многообразие Веронезе , когда имеется более одной входной переменной.

В теории квадратичных форм парабола — это график квадратичной формы x. ² (или другие масштабы), а эллиптический параболоид является графиком положительно определенной квадратичной формы x ² + и ² (или масштабирования), а гиперболический параболоид — это график неопределенной квадратичной формы x ² − и ² . Обобщения на большее количество переменных приводят к появлению дополнительных таких объектов.

Кривые y = x ^п для других значений p традиционно называются высшими параболами и первоначально трактовались неявно, в форме x ^п = этот ^д для p и q оба целые положительные числа, и в этом виде они считаются алгебраическими кривыми. Они соответствуют явной формуле y = x ^{п / к} для положительной дробной степени x . Отрицательные дробные степени соответствуют неявному уравнению x ^п и ^д = k и традиционно называются высшими гиперболами . Аналитически x также можно возвести в иррациональную степень (для положительных значений x ); аналитические свойства аналогичны возведению x в рациональную степень, но полученная кривая больше не является алгебраической и не может быть проанализирована с помощью алгебраической геометрии.

В физическом мире

В природе аппроксимации парабол и параболоидов встречаются во многих разнообразных ситуациях. Самый известный пример параболы в истории физики — траектория частицы или тела, движущегося под действием однородного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяч, летящий по воздуху, пренебрегая трением воздуха ).

Параболическая траектория снарядов была открыта экспериментально в начале 17 века Галилеем , проводившим опыты с шарами, катящимися по наклонным плоскостям. Позже он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках» . Для объектов, протяженных в пространстве, таких как ныряльщик, прыгающий с трамплина, сам объект при вращении совершает сложное движение, но центр массы объекта все же движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда представляет собой приближение параболы. Наличие сопротивления воздуха, например, всегда искажает форму, хотя на малых скоростях форма является хорошим приближением параболы. На более высоких скоростях, например в баллистике, форма сильно искажается и не напоминает параболу.

Другая гипотетическая ситуация, в которой могли бы возникнуть параболы, согласно теориям физики, описанным в 17 и 18 веках сэром Исааком Ньютоном , — это орбиты двух тел , например, траектория небольшого планетоида или другого объекта под воздействием гравитация Солнца . Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы . Параболическая орбита представляет собой вырожденный промежуточный случай между этими двумя типами идеальной орбиты. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания объекта, вокруг которого он вращается; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью меньше или больше скорости убегания соответственно. Длиннопериодические кометы движутся со скоростью, близкой к скорости убегания Солнца, когда они движутся через внутреннюю часть Солнечной системы, поэтому их траектории почти параболичны.

Приближения парабол встречаются и в форме основных тросов на простом подвесном мосту . Кривая цепей подвесного моста всегда является промежуточной кривой между параболой и цепной линией , но на практике кривая обычно ближе к параболе, поскольку вес груза (то есть дороги) намного больше, чем вес тросов. сами по себе, а в расчетах используется полиномиальная формула параболы второй степени. Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтального подвешенного настила) трос, имеющий в противном случае контактную форму, деформируется в сторону параболы (см. Цепная линия § Кривая подвесного моста ). В отличие от неупругой цепи свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины принимает форму параболы. Тросы подвесного моста в идеале находятся исключительно в натяжении, без необходимости нести на себе другие силы, например, изгиб. Точно так же конструкции параболических арок находятся исключительно на сжатии.

Параболоиды возникают также в нескольких физических ситуациях. Самый известный пример — параболический отражатель , который представляет собой зеркало или подобное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общей фокусной точке или, наоборот, коллимирует свет от точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического рефлектора, возможно, был открыт в III веке до нашей эры геометром Архимедом , который, согласно сомнительной легенде, построил параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи и поджигая палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в 17 веке. Сегодня параболоидные отражатели можно часто наблюдать по всему миру в микроволновых приемных и передающих антеннах и спутниковых антенн.

В параболических микрофонах параболический отражатель используется для фокусировки звука на микрофоне, что обеспечивает его направленность.

Параболоиды наблюдаются также на поверхности жидкости, заключенной в сосуд и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам емкости, образуя параболическую поверхность. На этом принципе основан телескоп с жидкостным зеркалом .

Летательные аппараты, используемые для создания состояния невесомости в целях экспериментов, такие как » НАСА « Рвотная комета , следуют по вертикально-параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы проследить курс объекта в свободном падении , что производит тот же эффект, что и ноль. гравитация для большинства целей.

Галерея

• 
  , Прыгающий мяч снятый с помощью стробоскопической вспышки со скоростью 25 изображений в секунду. Мяч становится существенно несферичным после каждого отскока, особенно после первого. Это, наряду с вращением и сопротивлением воздуха , приводит к небольшому отклонению вытянутой кривой от ожидаемой идеальной параболы.
• 
  Параболические траектории воды в фонтане.
• 
  Путь (красный) кометы Когоутека , проходящей через внутреннюю часть Солнечной системы, демонстрирует ее почти параболическую форму. Синяя орбита — это орбита Земли.
• 
  Несущие тросы подвесных мостов следуют по кривой, промежуточной между параболой и цепной линией .
• 
  Радужный мост через реку Ниагара , соединяющий Канаду (слева) и США (справа). Параболическая арка сжимается и выдерживает вес дороги.
• 
  Параболические арки, используемые в архитектуре
• 
  Параболическая форма, образованная вращающейся поверхностью жидкости. Две жидкости разной плотности полностью заполняют узкое пространство между двумя листами прозрачного пластика. Зазор между листами закрывается снизу, по бокам и сверху. Вся сборка вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. (См. Вращающаяся печь )
• 
  Солнечная плита с параболическим отражателем
• 
  Параболическая антенна
• 
  Параболический микрофон с оптически прозрачным пластиковым отражателем, использовавшийся на матче американского футбола.
• 
  Массив параболических желобов для сбора солнечной энергии
• 
  Прожектор Эдисона , установленный на тележке. Свет имел параболический отражатель.
• 
  Физик Стивен Хокинг в самолете, летящем по параболической траектории для имитации невесомости.

См. также

• Вырожденная коническая
• Купол § Параболоидный купол
• Параболическое уравнение в частных производных
• Квадратное уравнение
• Квадратичная функция
• Универсальная параболическая константа
• Конфокальные конические сечения § Конфокальные параболы

Дальнейшее чтение

• Локвуд, Э.Х. (1961). Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Парабола» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Парабола» . Математический мир .
• Интерактивный фокус с перетаскиванием параболы, просмотр оси симметрии, директрисы, стандартных и вершинных форм.
• Треугольник Архимеда и квадратура параболы при разрезании узла
• Две касательные к параболе при разрезании узла
• Парабола как огибающая прямых линий при разрезании узла
• Параболическое зеркало в кратчайшие сроки
• Три касательные параболы при разрезании узла
• Фокальные свойства параболы в момент разрезания узла
• Парабола как конверт II в готовом виде
• Сходство параболы с эскизами динамической геометрии , интерактивным эскизом динамической геометрии.
• Франс ван Скутен: Математические упражнения , 1659 г.