Завершение площади

Продолжительность: 1 минута 9 секунд. 1:09

Анимация, изображающая процесс заполнения квадрата. ( Подробности , анимированная GIF-версия )

В элементарной алгебре завершение квадрата — это метод преобразования квадратичного многочлена вида

$$ax^{2}+bx+c$$

в форму

$$a(x-h)^{2}+k$$

для некоторых значений h и k .

Другими словами, завершение квадрата помещает идеальный квадратный трехчлен внутрь квадратного выражения.

Завершение квадрата используется в

• решение квадратных уравнений ,
• вывод квадратичной формулы ,
• построение графиков квадратичных функций ,
• оценка интегралов в исчислении, таких как интегралы Гаусса с линейным членом в показателе степени,
• нахождение преобразований Лапласа .

В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратичные многочлены.

История

Дополнительная информация: Алгебра § История.

Техника завершения квадрата была известна еще в Старовавилонской империи .

Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми , известный эрудит , написавший ранний алгебраический трактат «Аль-Джабр» , использовал технику завершения квадрата для решения квадратных уравнений.

Обзор

Предыстория

Формула элементарной алгебры для квадрата бинома : вычисления

$$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$$

Например:

$${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$$

В любом идеальном квадрате коэффициент при x в два раза больше числа p , а постоянный член равен p. ² .

Базовый пример

Рассмотрим следующий квадратичный многочлен :

$$x^{2}+10x+28.$$

Этот квадрат не является точным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:

$$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$$

Однако можно записать исходное квадратичное уравнение как сумму этого квадрата и константы:

$$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$$

Это называется завершением квадрата .

Общее описание

Учитывая любой монический квадратичный

$$x^{2}+bx+c,$$

можно составить квадрат, у которого первые два члена совпадают:

$$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$$

Этот квадрат отличается от исходного квадратного только значением константысрок. Поэтому мы можем написать

$$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$$

где $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$. Эта операция известна как завершение квадрата .Например:

$${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$$

Немонический случай

Дан квадратичный многочлен вида

$$ax^{2}+bx+c$$

можно исключить коэффициент a , а затем возвести в квадрат полученный монический полином .

Пример:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$$

Этот процесс факторизации коэффициента a можно дополнительно упростить, вынеся его только из первых двух членов. Целое число в конце полинома включать не обязательно.

Пример:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$$

Это позволяет записать любой квадратичный многочлен в виде

$$a(x-h)^{2}+k.$$

Формула

Скалярный случай

Результат заполнения квадрата можно записать в виде формулы. В общем случае имеется

$$ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,$$

с

$$h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$$

В частности, когда a = 1 , имеем

$$x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,$$

с

$$h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.$$

Решив уравнение $a(x-h)^{2}+k=0$ с точки зрения $x-h,$ и реорганизовав полученное выражение , получим квадратную формулу для корней квадратного уравнения :

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

Матричный случай

Матричный : случай выглядит очень похоже

$$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k$$

где ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ и ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$. Обратите внимание, что $A$ должен быть симметричным .

Если $A$ не симметрична, формулы для $h$ и $k$ необходимо обобщить до:

$$h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$$

Связь с графиком

Графики квадратичных функций, сдвинутые вправо на h = 0, 5, 10 и 15.

Графики квадратичных функций, смещенные вверх на k = 0, 5, 10 и 15.

Графики квадратичных функций сдвинуты вверх и вправо на 0, 5, 10 и 15.

В аналитической геометрии график параболу любой квадратичной функции представляет собой в плоскости xy . Дан квадратичный многочлен вида

$$a(x-h)^{2}+k$$

числа h и k можно интерпретировать как декартовы координаты вершины стационарной (или точки ) параболы. То есть h — координата x оси симметрии (т. е. ось симметрии имеет уравнение x = h ), а k — минимальное значение (или максимальное значение, если a < 0) квадратичной функции.

Один из способов убедиться в этом — заметить, что график функции f ( x ) = x ² — парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции f ( x − h ) = ( x − h ) ² — это парабола, сдвинутая вправо на h, вершина которой находится в точке ( h , 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции f ( x ) + k = x ² + k — это парабола, сдвинутая вверх на k, вершина которой находится в точке (0, k ) , как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтального и вертикального сдвигов дает f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + k — парабола, сдвинутая вправо на h и вверх на k, вершина которой находится в ( h , k ) , как показано на нижнем рисунке.

Решение квадратных уравнений

Заполнение квадрата можно использовать для решения любого квадратного уравнения . Например:

$$x^{2}+6x+5=0.$$

Первым шагом является завершение квадрата:

$$(x+3)^{2}-4=0.$$

Далее решаем квадрат члена:

$$(x+3)^{2}=4.$$

Тогда либо

$$x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,$$

и поэтому

$$x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.$$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда х ² имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является деление уравнения на этот коэффициент: пример см. в немоническом случае ниже.

Иррациональные и сложные корни

В отличие от методов, включающих факторизацию уравнения, которая надежна только в том случае, если корни рациональны , завершение квадрата позволит найти корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональны или комплексны . Например, рассмотрим уравнение

$$x^{2}-10x+18=0.$$

Завершение квадрата дает

$$(x-5)^{2}-7=0,$$

так

$$(x-5)^{2}=7.$$

Тогда либо

$$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.$$

Более лаконичным языком:

$$x-5=\pm {\sqrt {7}},$$

так

$$x=5\pm {\sqrt {7}}.$$

Таким же образом можно обрабатывать уравнения с комплексными корнями. Например:

$${\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}$$

Немонический случай

Для уравнения, включающего немоническое квадратичное уравнение, первым шагом к его решению является деление на коэффициент при x ² . Например:

$${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}$$

Применение этой процедуры к общей форме квадратного уравнения приводит к квадратной формуле .

Другие приложения

Интеграция

Заполнение квадрата можно использовать для вычисления любого интеграла формы

$$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$$

используя основные интегралы

$$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$$

Например, рассмотрим интеграл

$$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$$

Завершение квадрата в знаменателе дает:

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$$

Теперь это можно оценить с помощью замены u = x + 3, что дает

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$$

Комплексные числа

Рассмотрим выражение

$$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$$

где z и b — комплексные числа , z ^* и б ^* являются сопряженными числами z комплексно - и b соответственно, а c — действительное число . Использование личности | ты | ² = его ^* мы можем переписать это как

$$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,$$

что, очевидно, является реальной величиной. Это потому, что

$${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$$

Другой пример: выражение

$$ax^{2}+by^{2}+c,$$

где a , b , c , x и y — действительные числа, при этом a > 0 и b > 0, могут быть выражены через квадрат абсолютного значения комплексного числа. Определять

$$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$$

Затем

$${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$$

так

$$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$$

Идемпотентная матрица

Матрица ​ M идемпотентна , если M ² = М. ​Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратичного метода решения уравнения

$$a^{2}+b^{2}=a,$$

показывает, что некоторые идемпотентные матрицы 2×2 параметризуются окружностью в плоскости ( a , b ):

Матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ будет идемпотентным при условии $a^{2}+b^{2}=a,$ который после завершения квадрата становится

$$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$$

В плоскости ( a , b ) это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2.

Геометрическая перспектива

Рассмотрим завершение квадрата для уравнения

$$x^{2}+bx=a.$$

Поскольку х ² представляет площадь квадрата со стороной длины x , а bx представляет площадь прямоугольника со сторонами b и x , процесс заполнения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки объединить x ² а прямоугольники bx в больший квадрат приводят к отсутствию угла. Срок ( б /2) ² К каждой стороне приведенного выше уравнения добавляется именно площадь недостающего угла, откуда и происходит терминология «завершение квадрата».

Вариант техники

Традиционно считается, что завершение квадрата состоит из добавления третьего члена v. ² к

$$u^{2}+2uv$$

чтобы получить квадрат. когда случаи к Есть также ,

$$u^{2}+v^{2}$$

чтобы получить квадрат.

Пример: сумма положительного числа и обратного ему числа

Написав

$${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$$

мы показываем, что сумма положительного числа x и обратного ему числа всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что дает установленную оценку; и здесь мы достигаем 2 как раз тогда, когда x равен 1, в результате чего квадрат исчезает.

Пример: факторизация простого полинома четвертой степени

Рассмотрим задачу факторизации многочлена

$$x^{4}+324.$$

Это

$$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$$

поэтому средний член равен 2( x ² )(18) = 36 х ² . Таким образом мы получаем

$${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$$

(последняя строка добавлена ​​просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степеней терминов).

Тот же аргумент показывает, что $x^{4}+4a^{4}$ всегда факторизуемо как

$$x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)$$

(Также известно как личность Софи Жермен ).

Завершение куба

«Завершение квадрата» состоит в том, чтобы отметить, что два первых члена квадратичного многочлена являются также первыми членами квадрата линейного многочлена , и использовать это для выражения квадратичного многочлена как суммы квадрата и константы.

Завершение куба — это аналогичный метод, который позволяет преобразовать кубический многочлен в кубический многочлен без члена второй степени.

Точнее, если

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

– многочлен от x такой, что $a\neq 0,$ два его первых члена — это два первых члена расширенной формы

$a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.$

Итак, замена переменной

$t=x+{\frac {b}{3a}}$

обеспечивает кубический полином в $t$ без члена второй степени , который называется депрессивной формой исходного многочлена.

Это преобразование обычно является первым шагом методов решения общего кубического уравнения.

В более общем смысле, аналогичное преобразование можно использовать для удаления членов степени. $n-1$ в полиномах степени $n$, которое называется преобразованием Чирнхауза .

Ссылки

• Алгебра 1, Гленко, ISBN   0-07-825083-8 , страницы 539–544.
• Алгебра 2, Саксонский, ISBN   0-939798-62-X , страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401.

Внешние ссылки

• Завершение квадрата в PlanetMath .