Комплексное сопряжение

Геометрическое представление ( диаграмма Аргана ) $z$ и его сопряженное ${\overline {z}}$ в комплексной плоскости. Комплексно-сопряженное соединение находится путем отражения $z$ через действительную ось.

В математике комплексно -сопряженным комплексным числом называется число, имеющее равные действительную и мнимую части, равные по величине, но противоположные по знаку . То есть, если $a$ и $b$ действительные числа, то комплексно-сопряженное число $a+bi$ является $a-bi.$ Комплексное сопряжение $z$ часто обозначается как ${\overline {z}}$ или $z^{*}$.

В полярной форме , если $r$ и $\varphi$ действительные числа, то сопряженное число $re^{i\varphi }$ является $re^{-i\varphi }.$ Это можно показать с помощью формулы Эйлера .

Произведение комплексного числа и его сопряженного числа является действительным числом: $a^{2}+b^{2}$ (или $r^{2}$ в полярных координатах ).

Если корень одномерного многочлена с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексно-сопряженный элемент также является корнем .

Обозначения

Комплексно-сопряженное комплексное число $z$ написано как ${\overline {z}}$ или $z^{*}.$ Первое обозначение, , которое можно рассматривать винкулум, позволяет избежать путаницы с обозначением сопряженного транспонирования матрицы как обобщение комплексно-сопряженного. Второй вариант предпочтителен в физике , где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, а также в электротехнике и вычислительной технике , где обозначение столбца можно спутать с символом логического отрицания («НЕ») булевой алгебры , в то время как столбец обозначения более распространены в чистой математике .

Если комплексное число представлено в виде $2\times 2$ матрица , обозначения идентичны, а комплексно-сопряженное соответствует матрице транспонирования , представляющей собой переворот по диагонали.

Свойства

Следующие свойства применимы ко всем комплексным числам. $z$ и $w,$ если не указано иное и может быть подтверждено письменной $z$ и $w$ в форме $a+bi.$

Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по отношению к сложению, вычитанию, умножению и делению:

$${\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}$$

Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю, то есть если число действительное. Другими словами, действительные числа — единственные фиксированные точки сопряжения.

Сопряжение не меняет модуль комплексного числа: $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$

Сопряжение – это инволюция , то есть сопряжение сопряженного комплексного числа. $z$ является $z.$ В символах, ${\overline {\overline {z}}}=z.$

Произведение комплексного числа на сопряженное ему равно квадрату модуля числа:

$$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.$$

Это позволяет легко вычислить мультипликативное обратное комплексному числу, заданному в прямоугольных координатах:

$$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.$$

Сопряжение коммутативно при композиции с возведением в степень до целых степеней, с показательной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:

$${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z}$$

$$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$$

$$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}$$

Если $p$ представляет собой полином с действительными коэффициентами и $p(z)=0,$ затем $p\left({\overline {z}}\right)=0$ также. Таким образом, невещественные корни вещественных многочленов встречаются в комплексно-сопряженных парах ( см. Теорема о комплексно-сопряженных корнях ).

В общем, если $\varphi$ - голоморфная функция , ограничение которой на действительные числа вещественнозначно, и $\varphi (z)$ и $\varphi ({\overline {z}})$ определены, то

$$\varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!$$

Карта $\sigma (z)={\overline {z}}$ от $\mathbb {C}$ к $\mathbb {C}$ является гомеоморфизмом (где топология на $\mathbb {C}$ считается стандартной топологией) и антилинейной , если считать $\mathbb {C}$ как комплексное векторное пространство над собой. Несмотря на то, что эта функция выглядит хорошо , она не голоморфна ; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Он биективен и совместим с арифметическими операциями и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Поскольку действительные числа остаются фиксированными, он является элементом группы Галуа . расширения поля $\mathbb {C} /\mathbb {R} .$ Эта группа Галуа состоит только из двух элементов: $\sigma$ и личность на $\mathbb {C} .$ Таким образом, единственные два полевых автоморфизма $\mathbb {C}$ которые оставляют действительные числа фиксированными, - это тождественная карта и комплексное сопряжение.

Использовать как переменную

Однажды комплексное число $z=x+yi$ или $z=re^{i\theta }$ задано, его сопряженное достаточно для воспроизведения частей $z$-переменная:

• Реальная часть: $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Мнимая часть: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Модуль (или абсолютное значение) : $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Аргумент : $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ так $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$

Более того, ${\overline {z}}$ может использоваться для указания линий на плоскости: набор

$$\left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}$$

– это линия, проходящая через начало координат и перпендикулярная ${r},$ поскольку реальная часть $z\cdot {\overline {r}}$ равен нулю только тогда, когда косинус угла между $z$ и ${r}$ равен нулю. Аналогично для фиксированной комплексной единицы $u=e^{ib},$ уравнение

$${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}$$

определяет линию через $z_{0}$ параллельно линии, проходящей через 0 и $u.$

Эти варианты использования конъюгата $z$ как переменная, проиллюстрированы в Фрэнка Морли книге «Обратная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.

Обобщения

Другие плоские вещественные алгебры с единицей, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с использованием комплексного сопряжения.

Для матриц комплексных чисел ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ где ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ представляет собой поэлементное сопряжение $\mathbf {A} .$ Сравните это со свойством ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ где ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ представляет собой транспонирование сопряженное ${\textstyle \mathbf {A} .}$

Сопряженное транспонирование (или сопряжение) комплексных матриц обобщает комплексное сопряжение. Еще более общим является понятие сопряженного оператора (возможно, бесконечномерных) для операторов в комплексных гильбертовых пространствах . Все это относится к *-операциям С*-алгебр .

Можно также определить сопряжение для кватернионов и расщепленных кватернионов : сопряжение ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ является ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

Все эти обобщения мультипликативны только в том случае, если множители поменяны местами:

$${\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.$$

Поскольку умножение плоских вещественных алгебр коммутативно , то это обращение там не требуется.

Существует также абстрактное понятие сопряжения векторных пространств. ${\textstyle V}$ над комплексными числами . В этом контексте любое антилинейное отображение ${\textstyle \varphi :V\to V}$ это удовлетворяет

1. $\varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,$ где $\varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi$ и $\operatorname {id} _{V}$ это карта идентичности на $V,$
2. $\varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)$ для всех $v\in V,z\in \mathbb {C} ,$ и
3. $\varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,$ для всех $v_{1},v_{2}\in V,$

называется комплексным сопряжением или вещественной структурой . По мере инволюции $\varphi$ антилинейна , она не может быть картой идентичности на $V.$

Конечно, ${\textstyle \varphi }$ это ${\textstyle \mathbb {R} }$-линейное преобразование ${\textstyle V,}$ если заметить, что каждое комплексное пространство $V$ имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов , что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров вещественностью. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальную структуру в комплексном векторном пространстве. $V.$

Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования комплексных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах не существует канонического понятия комплексного сопряжения.

См. также

• Абсолютный квадрат – произведение числа само по себе. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Комплексно-сопряженная линия – Работа в сложной геометрии.
• Комплексно-сопряженное представление
• Комплексно-сопряженное векторное пространство - концепция математики. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Композиционная алгебра - тип алгебр, возможно, неассоциативный.
• Сопряжение (квадратные корни) – Изменение знака квадратного корня.
• Эрмитова функция – тип комплексной функции
• Производные Виртингера – концепция комплексного анализа

Библиография

• Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг, 1988. ISBN   0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3).