Сопряженное (квадратные корни)

В математике сопряженное выражение вида $a+b{\sqrt {d}}$ является $a-b{\sqrt {d}},$ при условии, что ${\sqrt {d}}$ не появляется в $a$ и $b$ . Говорят также, что эти два выражения сопряжены.

В частности, два решения квадратного уравнения сопряжены по закону. $\pm$ в квадратичной формуле $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

Комплексное сопряжение — это особый случай, когда квадратный корень равен $i={\sqrt {-1}},$ единица мнимая .

Характеристики

Как $(a+b{\sqrt {d}})(a-b{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d$ и $(a+b{\sqrt {d}})+(a-b{\sqrt {d}})=2a,$ сумма и произведение сопряженных выражений больше не включают квадратный корень.

Это свойство используется для удаления квадратного корня из знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на сопряженное знаменателю (см. Рационализация ). Пример такого использования: ${\frac {a+b{\sqrt {d}}}{x+y{\sqrt {d}}}}={\frac {(a+b{\sqrt {d}})(x-y{\sqrt {d}})}{(x+y{\sqrt {d}})(x-y{\sqrt {d}})}}={\frac {ax-dby+(xb-ay){\sqrt {d}}}{x^{2}-y^{2}d}}.$ Следовательно: ${\frac {1}{a+b{\sqrt {d}}}}={\frac {a-b{\sqrt {d}}}{a^{2}-db^{2}}}.$

Следствием является то, что вычитание:

(a+b{\sqrt {d}})-(a-b{\sqrt {d}})=2b{\sqrt {d}},

оставляет только термин, содержащий корень.

См. также

Сопряженный элемент (теория поля) , обобщение на корни многочлена любой степени.