Рационализация (математика)

В элементарной алгебре корневая рационализация — это процесс радикалов в знаменателе алгебраической дроби удаления .

Если знаменатель является мономом в некотором радикале, скажем $a{\sqrt[{n}]{x}}^{k},$ при k < n рационализация состоит в умножении числителя и знаменателя на ${\sqrt[{n}]{x}}^{n-k},$ и замена ${\sqrt[{n}]{x}}^{n}$ по x (это разрешено, поскольку по определению n-й корень степени из x — это число, в котором x является его n -й степенью). Если k ≥ n , пишут k = qn + r с 0 ≤ r < n ( евклидово деление ), и ${\sqrt[{n}]{x}}^{k}=x^{q}{\sqrt[{n}]{x}}^{r};$ затем поступают, как указано выше, умножая на ${\sqrt[{n}]{x}}^{n-r}.$

Если знаменатель линеен относительно некоторого квадратного корня, скажем $a+b{\sqrt {x}},$ рационализация состоит в умножении числителя и знаменателя на $a-b{\sqrt {x}},$ и разложив произведение в знаменателе.

Этот метод можно распространить на любой алгебраический знаменатель, умножив числитель и знаменатель на все алгебраические сопряжения знаменателя и разложив новый знаменатель до нормы старого знаменателя. Однако, за исключением особых случаев, полученные дроби могут иметь огромные числители и знаменатели, и поэтому данный прием обычно применяется только в указанных выше элементарных случаях.

мономиального квадратного корня и

Для фундаментального метода числитель и знаменатель необходимо умножить на один и тот же коэффициент.

Пример 1:

${\frac {10}{\sqrt {5}}}$

Чтобы рационализировать такое выражение , введем фактор ${\sqrt {5}}$:

${\frac {10}{\sqrt {5}}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}$

Квадратный корень исчезает из знаменателя, так как $\left({\sqrt {5}}\right)^{2}=5$ по определению квадратного корня:

${\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{5}},$

что является результатом рационализации.

Пример 2:

${\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}$

Чтобы рационализировать этот радикал, введем фактор ${\sqrt[{3}]{a}}^{2}$:

${\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}$

Кубический корень исчезает из знаменателя, потому что он возведен в куб; так

${\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{a}},$

что является результатом рационализации.

Работа с большим

Для знаменателя это:

${\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}\,$

Рационализация может быть достигнута путем умножения на сопряженное :

${\sqrt {2}}\mp {\sqrt {3}}\,$

и применяя разность тождества двух квадратов , что здесь даст −1. Чтобы получить такой результат, всю дробь следует умножить на

${\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}=1.$

Этот метод работает гораздо шире. Его можно легко адаптировать для удаления одного квадратного корня за раз, т. е. рационализировать

$x\pm {\sqrt {y}}\,$

путем умножения на

$x\mp {\sqrt {y}}$

Пример:

${\frac {3}{{\sqrt {3}}\pm {\sqrt {5}}}}$

Дробь необходимо умножить на частное, содержащее ${{\sqrt {3}}\mp {\sqrt {5}}}$.

${\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}$

Теперь можно приступить к удалению квадратных корней в знаменателе:

${\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{3-5}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{-2}}$

Пример 2:

Этот процесс также работает с комплексными числами с $i={\sqrt {-1}}$

${\frac {7}{1\pm {\sqrt {-5}}}}$

Дробь необходимо умножить на частное, содержащее ${1\mp {\sqrt {-5}}}$.

${\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}$

Обобщения

Рационализацию можно распространить на все алгебраические числа и алгебраические функции (как применение нормальных форм ). Например, чтобы рационализировать кубический корень , следует использовать два линейных коэффициента, включающих кубические корни из единицы , или, что то же самое, квадратичный коэффициент.

Ссылки

Этот материал содержится в классических текстах по алгебре. Например:

• Джордж Кристал , «Введение в алгебру: для использования в средних школах и технических колледжах» — это текст девятнадцатого века, первое издание 1889 года, в печати ( ISBN   1402159072 ); пример трехчлена с квадратными корнями находится на стр. 256, а общая теория рационализирующих факторов для ирративов находится на стр. 189–199.