Сопряженный элемент (теория поля)

В математике в частности в теории поля , сопряженные элементы или сопряжения алгебраического элемента $α$ над расширением поля $L / K$ являются корнями минимального полинома $pK алгебраические, α (x)$ от $α$ над $K.$ , Сопряженные элементы обычно называют сопряженными в контексте, где это не является двусмысленным. Обычно $α$ сам включается в набор сопряженных $α$ .

Эквивалентно, сопряжения $α$ являются образами $α$ при полевых автоморфизмах L $,$ которые оставляют фиксированными элементы $K$ . Эквивалентность двух определений является одной из отправных точек теории Галуа .

Понятие обобщает комплексное сопряжение , поскольку алгебраическое сопряжение над $\mathbb {R}$ комплексного числа — это само число и его комплексно-сопряженное число .

Пример [ править ]

Кубические корни числа один :

{\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}

Последние два корня являются сопряженными элементами из $Q [i \sqrt 3]$ с минимальным полиномом

\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.

Свойства [ править ]

Если K задано внутри замкнутого поля C , то сопряженные элементы можно взять внутри C. алгебраически Если такой C не указан, можно взять сопряжения в некотором относительно небольшом поле L . Наименьший возможный выбор для L взять поле расщепления над K из pK _{— это , α} , содержащее α . Если L — любое нормальное расширение K, содержащее α , то оно по определению уже содержит такое поле разложения.

Тогда, учитывая нормальное расширение L группы K с группой автоморфизмов Aut( L / K ) = G и содержащее α , любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряжен с α , поскольку автоморфизм g отправляет корни p к корням p . Наоборот, любое сопряженное β к α имеет этот вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Это следует из того, что K ( α ) K -изоморфно K ( β ) в силу неприводимости минимального полинома, и любой изоморфизм полей F и F ' , который отображает полином p в p ', может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' соответственно.

Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L языка K , которое содержит K ( α ), как набор элементов g ( α ) для g в Aut( L / K ). Количество повторов в этом списке каждого элемента — это отделимая степень [ L : K ( α )] _sep .

Теорема Кронекера утверждает, что если α — ненулевое целое алгебраическое число такое, что α и все его сопряженные числа в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α — корень из единицы . Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) наибольшего абсолютного значения сопряженного числа, которые подразумевают, что целое алгебраическое число является корнем из единицы.

Ссылки [ править ]

Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , 3-е изд., Wiley, 2004.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженные элементы» . Математический мир .