Минимальный полином (теория поля)

В теории поля , разделе математики , минимальный многочлен элемента $α$ расширенного поля поля , имеющий коэффициенты — это, грубо говоря, многочлен наименьшей степени в меньшем поле, такой, что $α$ является корнем многочлена. Если минимальный полином $α$ существует, он уникален. Коэффициент члена высшей степени в многочлене должен быть равен 1.

Более формально минимальный полином определяется относительно расширения поля $E / F$ и элемента поля расширения $E / F$ . Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом $F [x]$ , кольца многочленов от переменной $x$ с коэффициентами из $F$ . Учитывая элемент $α$ из $E$ , пусть $J α$ будет набором всех многочленов $f (x)$ из $F [x]$ таких, что $f (α) = 0$ . Элемент $α$ называется корнем или нулем каждого многочлена из $J α$

Более конкретно, J _α является ядром гомоморфизма колец из F [ x ] в E , которое переводит многочлены g в их значение g ( α ) в элементе α . Поскольку это ядро кольцевого гомоморфизма, J _α является идеалом кольца многочленов F [ x ]: оно замкнуто относительно полиномиального сложения и вычитания (следовательно, содержит нулевой многочлен), а также относительно умножения на элементы F ( что является скалярным умножением , если F [ x ] рассматривается как векторное пространство над F ).

Нулевой полином, все коэффициенты которого равны 0, находится в каждом $J α,$ поскольку $0 α я = 0$ для всех $α$ и $i$ . Это делает нулевой полином бесполезным для классификации различных значений $α$ по типам, поэтому он исключается. существуют какие-либо ненулевые многочлены $Если в J α$ , т. е. если последний не является нулевым идеалом, то $α$ называется алгебраическим элементом над $F$ и существует унитарный многочлен наименьшей степени в $J α$ . Это минимальный полином от $α$ относительно $E / F$ . Оно единственно и неприводимо над $F$ . Если нулевой многочлен является единственным членом $Jα и$ , то $α$ называется трансцендентным элементом над $F$ не имеет минимального многочлена относительно $E / F$ .

Минимальные полиномы полезны для построения и анализа расширений полей. Когда $α$ является алгебраическим с минимальным многочленом $f (x)$ , наименьшее поле, содержащее как $F$ , так и $α$ , изоморфно фактор - кольцу $F [x]/⟨ f (x)⟩$ , где $⟨ f (x)⟩$ - идеал $F [x]$ порожденный $f (x)$ . Минимальные полиномы также используются для определения сопряженных элементов .

Определение [ править ]

Пусть E / F — расширение поля , α элемент E и F [ x ] — кольцо многочленов от x над F. — Элемент α имеет минимальный полином, когда α алгебраичен над F , то есть, когда f ( α ) = 0 для некоторого ненулевого многочлена f ( x ) в F [ x ]. Тогда минимальный полином от α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов из F [ x ], имеющих α в качестве корня.

Свойства [ править ]

В этом разделе пусть E / F — расширение поля над F , как указано выше, пусть α ∈ E — алгебраический элемент над F и пусть J _α — идеал полиномов, обращающихся в нуль на α .

Уникальность [ править ]

Минимальный многочлен f от α уникален.

Чтобы доказать это, предположим, что f и g — монические многочлены от J _α минимальной степени n > 0. Имеем, что r := f − g ∈ J _α (поскольку последний замкнут относительно сложения/вычитания) и что m := deg( r ) < n (поскольку многочлены являются унитарными одной и той же степени). Если r не равен нулю, то / cm ( _r обозначая cm _F ∈ r ненулевого коэффициента высшей степени в ) является унитарным полиномом степени m < n таким, что r / cm _для ∈ J _α (поскольку последний замкнут относительно умножения/деления на ненулевые элементы из F ), что противоречит нашему исходному предположению о минимальности n . Приходим к выводу, что 0 = r = f − g , т. е. f = g .

Неприводимость [ править ]

Минимальный многочлен f от α неприводим, т. е. его нельзя факторизовать как f = gh для двух многочленов g и h строго меньшей степени.

Чтобы доказать это, сначала заметим, что любая факторизация f = gh подразумевает, что либо g ( α ) = 0, либо h ( α ) = 0, потому что f ( α ) = 0 и F — поле (следовательно, также область целостности ). Если бы и g, и h имели степень строго ниже f , это противоречило бы требованию минимальности f , поэтому f должно быть неприводимым.

Минимальный полином генерирует J _α [ править ]

Минимальный полином f от α порождает идеал J _α , т.е. каждый g в J _α может быть факторизован как g=fh для некоторого h' из F [ x ].

Чтобы доказать это, достаточно заметить, что F [ x ] — область главных идеалов , поскольку F — поле: это означает, что каждый идеал I в F [ x ], среди них J _α , порождается одним элементом f . За исключением нулевого идеала I = {0}, генератор f должен быть ненулевым и должен быть уникальным многочленом минимальной степени с точностью до множителя F (поскольку степень fg строго больше, чем степень f всякий раз, когда g имеет степень больше нуля). В частности, существует единственный унитарный генератор f и все генераторы должны быть неприводимыми. Когда I выбирается в качестве Jα _{алгебраического} для α, над F , тогда унитарный генератор f является минимальным многочленом от α .

Примеры [ править ]

поля Минимальный полином расширения Галуа

Учитывая расширение поля Галуа $L/K$ минимальный многочлен любого $\alpha \in L$ не в $K$ может быть вычислено как

$f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))$

если $\alpha$ не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку оно неприводимо, что можно вывести, посмотрев на корни $f'$ , это минимальный полином. Обратите внимание, что такую же формулу можно получить, заменив $G={\text{Gal}}(L/K)$ с $G/N$ где $N={\text{Stab}}(\alpha )$ представляет собой группу стабилизаторов $\alpha$ . Например, если $\alpha \in K$ тогда его стабилизатор $G$ , следовательно $(x-\alpha )$ является его минимальным полиномом.

Расширения квадратичных полей [ править ]

Q( √ 2 ) [ править ]

Если F = Q , E = R , α = √ 2 , то минимальный многочлен для α равен a ( x ) = x ² − 2. Базовое поле F важно, поскольку оно определяет возможности для коэффициентов a ( x ). Например, если мы возьмем F = R , то минимальный полином для α = √ 2 будет a ( x ) = x − √ 2 .

Q( √ d ) [ править ]

В общем случае для квадратичного расширения, заданного бесквадратным $d$ , вычисляя минимальный полином элемента $a+b{\sqrt {d\,}}$ можно найти с помощью теории Галуа. Затем

${\begin{aligned}f(x)&=(x-(a+b{\sqrt {d\,}}))(x-(a-b{\sqrt {d\,}}))\\&=x^{2}-2ax+(a^{2}-b^{2}d)\end{aligned}}$

в частности, это подразумевает $2a\in \mathbb {Z}$ и $a^{2}-b^{2}d\in \mathbb {Z}$ . Это можно использовать для определения ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d\,}}\!\!\!\;\;)}$ через ряд отношений с использованием модульной арифметики .

Расширения биквадратичных полей [ править ]

Если α = √ 2 + √ 3 , то минимальный полином в Q [ x ] равен a ( x ) = x ⁴ − 10 х ² + 1 знак равно ( Икс - √ 2 - √ 3 )( Икс + √ 2 - √ 3 )( Икс - √ 2 + √ 3 )( Икс + √ 2 + √ 3 ).

Обратите внимание, если $\alpha ={\sqrt {2}}$ тогда действие Галуа на ${\sqrt {3}}$ стабилизирует $\alpha$ . Следовательно, минимальный полином можно найти с помощью факторгруппы ${\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )/{\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )$ .

Корни единства [ править ]

Минимальные многочлены из Q [ x ] с корнями из единицы являются круговыми многочленами . Корни минимального многочлена 2cos(2pi/n) в два раза превышают действительную часть примитивных корней из единицы.

Полиномы Суиннертона-Дайера [ править ]

Минимальный полином в Q [ x ] суммы квадратных корней первых n простых чисел строится аналогично и называется полиномом Суиннертона-Дайера .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Минимальный полином алгебраического числа» . Математический мир .
Минимальный полином в PlanetMath .
Пинтер, Чарльз К. Книга абстрактной алгебры . Серия Дуврских книг по математике. Dover Publications, 2010, с. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5