Минимальный полином 2cos(2pi/n)

В теории чисел действительные части корней из единицы связаны друг с другом посредством минимального многочлена $2\cos(2\pi /n).$ Корни минимального многочлена в два раза превышают действительную часть корней из единицы, где действительная часть корня из единицы равна всего лишь $\cos \left(2k\pi /n\right)$ с $k$ взаимно простой с $n.$

Формальное определение

Для целого числа $n\geq 1$, минимальный полином $\Psi _{n}(x)$ из $2\cos(2\pi /n)$ - ненулевой монический многочлен наименьшей степени, для которого $\Psi _{n}\!\left(2\cos(2\pi /n)\right)=0$.

Для каждого n полином $\Psi _{n}(x)$ является унитарным, имеет целые коэффициенты и неприводимо к целым и рациональным числам . его корни реальны ; Все это настоящие цифры $2\cos \left(2k\pi /n\right)$ с $k$ взаимно простой с $n$ и либо $1\leq k<n$ или $k=n=1.$ Эти корни в два раза превышают действительные части примитивных степени корней n-й из единицы . Количество целых чисел $k$ относительно простой для $n$ задается функцией Эйлера $\varphi (n);$ следует, степень что $\Psi _{n}(x)$ является $1$ для $n=1,2$ и $\varphi (n)/2$ для $n\geq 3.$

Первые два полинома $\Psi _{1}(x)=x-2$ и $\Psi _{2}(x)=x+2.$

Полиномы $\Psi _{n}(x)$ являются типичными примерами неприводимых многочленов, все корни которых действительны и которые имеют циклическую группу Галуа .

Примеры

Первые несколько полиномов $\Psi _{n}(x)$ являются

${\begin{aligned}\Psi _{1}(x)&=x-2\\\Psi _{2}(x)&=x+2\\\Psi _{3}(x)&=x+1\\\Psi _{4}(x)&=x\\\Psi _{5}(x)&=x^{2}+x-1\\\Psi _{6}(x)&=x-1\\\Psi _{7}(x)&=x^{3}+x^{2}-2x-1\\\Psi _{8}(x)&=x^{2}-2\\\Psi _{9}(x)&=x^{3}-3x+1\\\Psi _{10}(x)&=x^{2}-x-1\\\Psi _{11}(x)&=x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1\\\Psi _{12}(x)&=x^{2}-3\\\Psi _{13}(x)&=x^{6}+x^{5}-5x^{4}-4x^{3}+6x^{2}+3x-1\\\Psi _{14}(x)&=x^{3}-x^{2}-2x+1\\\Psi _{15}(x)&=x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1\\\Psi _{16}(x)&=x^{4}-4x^{2}+2\\\Psi _{17}(x)&=x^{8}+x^{7}-7x^{6}-6x^{5}+15x^{4}+10x^{3}-10x^{2}-4x+1\\\Psi _{18}(x)&=x^{3}-3x-1\\\Psi _{19}(x)&=x^{9}+x^{8}-8x^{7}-7x^{6}+21x^{5}+15x^{4}-20x^{3}-10x^{2}+5x+1\\\Psi _{20}(x)&=x^{4}-5x^{2}+5\end{aligned}}$

Явная форма, если n нечетно

Если $n$ — нечетное простое число, многочлен $\Psi _{n}(x)$ может быть записано через биномиальные коэффициенты, идущие по «зигзагообразному пути» через треугольник Паскаля :

положить $n=2m+1$ и

${\begin{aligned}\chi _{n}(x):&={\binom {m}{0}}x^{m}+{\binom {m-1}{0}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{1}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{1}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{2}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{2}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\binom {m-\lfloor (k+1)/2\rfloor }{\lfloor k/2\rfloor }}x^{m-k}\\&={\binom {m}{m}}x^{m}+{\binom {m-1}{m-1}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{m-2}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{m-3}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{m-4}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{m-5}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor (m-k)/2\rfloor }{\binom {\lfloor (m+k)/2\rfloor }{k}}x^{k},\end{aligned}}$

тогда у нас есть $\Psi _{p}(x)=\chi _{p}(x)$ для простых чисел $p$.

Если $n$ нечетный, но не простой, тот же многочлен $\chi _{n}(x)$, как и следовало ожидать, приводима и соответствует структуре круговых многочленов $\Phi _{d}(x)$ отражается формулой $\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1$, оказывается просто произведением всех $\Psi _{d}(x)$ для делителей $d>1$ из $n$, включая $n$ сам:

$\prod _{d\mid n \atop d>1}\Psi _{d}(x)=\chi _{n}(x).$

Это означает, что $\Psi _{d}(x)$ именно являются неприводимыми факторами $\chi _{n}(x)$, что позволяет легко получить $\Psi _{d}(x)$ для любого странного $d$, зная его степень ${\frac {1}{2}}\varphi (d)$. Например,

${\begin{aligned}\chi _{15}(x)&=x^{7}+x^{6}-6x^{5}-5x^{4}+10x^{3}+6x^{2}-4x-1\\&=(x+1)(x^{2}+x-1)(x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1)\\&=\Psi _{3}(x)\cdot \Psi _{5}(x)\cdot \Psi _{15}(x).\end{aligned}}$

Явная форма, если n четно

Из приведенной ниже формулы с использованием полиномов Чебышева и формулы произведения для нечетных $n$ выше, мы можем получить даже для $n$

$\prod _{d\mid n \atop d>1}\Psi _{d}(x)={\Big (}\chi _{n+1}(x)+\chi _{n-1}(x){\Big )}.$

Независимо от этого, если $n=2^{k}$ является четной простой степенью, мы имеем для $k\geq 2$ рекурсия (см. OEIS : A158982 )

$\Psi _{2^{k+1}}(x)=(\Psi _{2^{k}}(x))^{2}-2$,

начиная с $\Psi _{4}(x)=x$.

Корни

Корни $\Psi _{n}(x)$ даны $2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)$, где $1\leq k<{\frac {n}{2}}$ и $\gcd(k,n)=1$. С $\Psi _{n}(x)$ моник, у нас есть

$\Psi _{n}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}1\leq k<{\frac {n}{2}}\\\gcd(k,n)=1\end{array}}\left(x-2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right).$

Объединив этот результат с тем, что функция $\cos(x)$ четно что , мы находим, $2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)$ является целым алгебраическим числом для любого положительного целого числа $n$ и любое целое число $k$.

Связь с круговыми полиномами

Для положительного целого числа $n$, позволять $\zeta _{n}=\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)i$, примитив $n$-й корень из единицы. Тогда минимальный полином $\zeta _{n}$ дается $n$-й круговой многочлен $\Phi _{n}(x)$. С $\zeta _{n}^{-1}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)-\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)i$, отношение между $2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$ и $\zeta _{n}$ дается $2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}$. Это соотношение можно отобразить в следующем тождестве, доказанном Лемером, которое справедливо для любого ненулевого комплексного числа $z$:

$\Psi _{n}\left(z+z^{-1}\right)=z^{-{\frac {\varphi (n)}{2}}}\Phi _{n}(z)$

Связь с полиномами Чебышева

В 1993 году Уоткинс и Зейтлин установили следующую связь между $\Psi _{n}(x)$ и полиномы Чебышева первого рода.

Если $n=2s+1$ странно тогда ,

$\prod _{d\mid n}\Psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s}(x)),$

и если $n=2s$ четно тогда ,

$\prod _{d\mid n}\Psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s-1}(x)).$

Если $n$ это сила $2$, у нас есть, кроме того, непосредственно

$\Psi _{2^{k+1}}(2x)=2T_{2^{k-1}}(x).$

Абсолютное значение постоянного коэффициента

Абсолютное значение постоянного коэффициента $\Psi _{n}(x)$ можно определить следующим образом:

$|\Psi _{n}(0)|={\begin{cases}0&{\text{if}}\ n=4,\\2&{\text{if}}\ n=2^{k},k\geq 0,k\neq 2,\\p&{\text{if}}\ n=4p^{k},k\geq 1,p>2\ {\text{prime,}}\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Сгенерированное поле алгебраических чисел

Поле алгебраических чисел $K_{n}=\mathbb {Q} \left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)$ — максимальное вещественное подполе кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$. Если ${\mathcal {O}}_{K_{n}}$ обозначает кольцо целых чисел $K_{n}$, затем ${\mathcal {O}}_{K_{n}}=\mathbb {Z} \left[\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right]$. Другими словами, набор $\left\{1,\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1},\ldots ,\left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)^{{\frac {\varphi (n)}{2}}-1}\right\}$ является неотъемлемой основой ${\mathcal {O}}_{K_{n}}$. Ввиду этого дискриминант поля алгебраических чисел $K_{n}$ равен дискриминанту многочлена $\Psi _{n}(x)$, то есть

$D_{K_{n}}={\begin{cases}2^{(m-1)2^{m-2}-1}&{\text{if}}\ n=2^{m},m>2,\\p^{(mp^{m}-(m+1)p^{m-1}-1)/2}&{\text{if}}\ n=p^{m}\ {\text{or}}\ 2p^{m},p>2\ {\text{prime}},\\\left(\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{e_{i}-1/(p_{i}-1)}\right)^{\frac {\varphi (n)}{2}}&{\text{if}}\ \omega (n)>1,k\neq 2p^{m}.\end{cases}}$