Треугольник Паскаля

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}$

Схема, показывающая первые восемь рядов треугольника Паскаля.

В математике представляет треугольник Паскаля собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов , которые играют решающую роль в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большей части западного мира он назван в честь французского математика Блеза Паскаля , хотя другие математики изучали его за столетия до него в Персии. Индия, Китай, Германия и Италия.

Ряды треугольника Паскаля нумеруются условно, начиная со строки $n=0$ вверху (0-я строка). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная с $k=0$ и обычно расположены в шахматном порядке относительно чисел в соседних строках. Треугольник можно построить следующим образом: в строке 0 (самая верхняя строка) имеется уникальная ненулевая запись 1. Каждая запись каждой последующей строки строится путем сложения числа выше и слева с числом выше и до справа, рассматривая пустые записи как 0. Например, начальный номер строки 1 (или любой другой строки) равен 1 (сумма 0 и 1), тогда как числа 1 и 3 в строке 3 складываются для получения числа 4 подряд 4.

Формула

В треугольнике Паскаля каждое число представляет собой сумму двух чисел, находящихся непосредственно над ним.

В $n$третий ряд треугольника Паскаля, $k$эта запись обозначается ${\tbinom {n}{k}}$, произносится как « н, выбирай к ». Например, самая верхняя запись: ${\tbinom {0}{0}}=1$. С такими обозначениями конструкцию предыдущего абзаца можно записать как

$${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$ для любого положительного целого числа $n$ и любое целое число $0\leq k\leq n$. Эта повторяемость биномиальных коэффициентов известна как правило Паскаля .

История

Треугольник Ян Хуэя , изображенный китайцами с помощью стержневых цифр , появляется в «Нефритовом зеркале четырех неизвестных» , математическом труде Чжу Шицзе , датированном 1303 годом.

Паскаля Версия треугольника

Последовательность чисел, образующая треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, в которой содержалась первая формулировка биномиальных коэффициентов и первое описание треугольника Паскаля. Позже это повторил Омар Хайям (1048–1131), другой персидский математик; таким образом, в Иране треугольник также называют треугольником Хайяма ( مثلث خیام ). Было известно несколько теорем, связанных с треугольником, в том числе биномиальная теорема . Хайям использовал метод нахождения n-й корней степени , основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на биномиальных коэффициентах.

Треугольник Паскаля был известен в Китае в начале XI века благодаря работам китайского математика Цзя Сяня (1010–1070). В 13 веке Ян Хуэй (1238–1298) определил треугольник, и он известен как треугольник Ян Хуэя ( 杨辉三角 ; 楊輝三角). в Китае

В Европе треугольник Паскаля впервые появился в «Арифметике» Иордана де Немора (13 век). Биномиальные коэффициенты были рассчитаны Герсонидом в начале 14 века, используя для них мультипликативную формулу. Петр Апиан (1495–1552) опубликовал полный треугольник на фронтисписе своей книги о деловых расчетах в 1527 году. Майкл Стифел опубликовал часть треугольника (со второго по средний столбец в каждой строке) в 1544 году, описав его как таблицу фигурных чисел . В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи , названным в честь итальянского алгебраиста Тартальи (1500–1577), опубликовавшего шесть рядов треугольника в 1556 году. Джероламо Кардано также опубликовал треугольник, а также аддитивные и мультипликативные правила его построения в 1570 году.

Паскаля треугольнике» арифметическом «Трактат об был опубликован посмертно в 1665 году. При этом Паскаль собрал несколько известных на тот момент результатов о треугольнике и использовал их для решения задач теории вероятностей . Позже треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708 г.), который назвал его таблицей М. Паскаля для комбинаций (по-французски: таблица г-на Паскаля для комбинаций), и Абрахамом де Муавром (1730 г.), который назвал его Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM ( латынь: Арифметический треугольник Паскаля), ставший основой современного западного названия.

Биномиальные разложения

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Треугольник Паскаля определяет коэффициенты, возникающие в биномиальных разложениях . Например, в расширении $$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},$$ коэффициенты — это элементы второй строки треугольника Паскаля: ${\tbinom {2}{0}}=1$, ${\tbinom {2}{1}}=2$, ${\tbinom {2}{2}}=1$.

В общем, биномиальная теорема утверждает, что когда бином типа $x+y$ возводится в положительную целую степень $n$, выражение расширяется как $$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},$$ где коэффициенты $a_{k}$ это именно числа в строке $n$ треугольника Паскаля: $$a_{k}={n \choose k}.$$

Вся левая диагональ треугольника Паскаля соответствует коэффициенту $x^{n}$ в этих биномиальных разложениях, а следующая левая диагональ соответствует коэффициенту при $x^{n-1}y$, и так далее.

Чтобы увидеть, как биномиальная теорема связана с простой конструкцией треугольника Паскаля, рассмотрим задачу вычисления коэффициентов разложения $(x+y)^{n+1}$ через соответствующие коэффициенты $(x+1)^{n}$, где мы расположились $y=1$ для простоты. Предположим тогда, что $$(x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.$$ Сейчас $$(x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.$$

${\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}$

Шестистрочный треугольник Паскаля как биномиальные коэффициенты

Эти две суммы можно переиндексировать с помощью $k=i+1$ и объединены для получения $${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+a_{n}x^{n+1}+a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{n+1}.\end{aligned}}$$

Таким образом, крайние левый и правый коэффициенты остаются равными 1, и для любого заданного $0<k<n+1$, коэффициент $x^{k}$ член в многочлене $(x+1)^{n+1}$ равно $a_{k-1}+a_{k}$, сумма $x^{k-1}$ и $x^{k}$ коэффициенты в предыдущей степени $(x+1)^{n}$. Это действительно правило сложения вниз для построения треугольника Паскаля.

Нетрудно превратить это рассуждение в доказательство (путем математической индукции ) биномиальной теоремы.

С $(a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}$, коэффициенты в разложении общего случая одинаковы.

Интересное следствие биномиальной теоремы получается, если положить обе переменные $x=y=1$, так что $$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.$$

Другими словами, сумма записей в $n$Четвертая строка треугольника Паскаля – это $n$степень 2. Это эквивалентно утверждению, что количество подмножеств $n$- набор элементов $2^{n}$, как можно видеть, наблюдая, что каждый из $n$ элементы могут быть независимо включены или исключены из данного подмножества.

Комбинации

Второе полезное применение треугольника Паскаля — вычисление комбинаций . Количество комбинаций $n$ взятые предметы $k$ одновременно, т.е. количество подмножеств $k$ элементы из числа $n$ элементы, можно найти по уравнению

$\mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.

Это равно входу $k$ в ряду $n$ Треугольник Паскаля. Вместо выполнения мультипликативных вычислений можно просто найти соответствующую запись в треугольнике (построенном путем сложения). Например, предположим, что необходимо нанять 3 рабочих из 7 кандидатов; тогда количество возможных вариантов найма равно 7, выберите 3, запись 3 в строке 7 приведенной выше таблицы, что ${\tbinom {7}{3}}=35$.

Связь с биномиальным распределением и свертками

При делении на $2^{n}$, $n$строка треугольника Паскаля становится биномиальным распределением в симметричном случае, когда $p={\tfrac {1}{2}}$. По центральной предельной теореме это распределение приближается к нормальному распределению как $n$ увеличивается. В этом также можно убедиться, применив формулу Стирлинга к факториалам, входящим в формулу комбинаций.

Это связано с операцией дискретной свертки двумя способами. Во-первых, полиномиальное умножение в точности соответствует дискретной свертке, так что повторная свертка последовательности $\{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}$ с самим собой соответствует принятию полномочий $x+1$, и, следовательно, к созданию строк треугольника. Во-вторых, повторная свертка функции распределения случайной величины с самой собой соответствует вычислению функции распределения для суммы n независимых копий этой переменной; это именно та ситуация, к которой применяется центральная предельная теорема и, следовательно, приводит к нормальному распределению в пределе. (Операция многократного взятия свертки чего-либо в себя называется силой свертки .)

Шаблоны и свойства

Треугольник Паскаля имеет множество свойств и содержит множество наборов чисел.

Каждый кадр представляет собой строку в треугольнике Паскаля. Каждый столбец пикселей представляет собой двоичное число с младшим битом внизу. Светлые пиксели обозначают 1, а темные 0.

Числа композиций n +1 упорядоченных разбиений образуют +1 на k треугольник Паскаля.

Строки

• Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предыдущей строки. Например, строка 0 (самая верхняя строка) имеет значение 1, строка 1 имеет значение 2, строка 2 имеет значение 4 и т. д. Это связано с тем, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один левый и один правый. Сумма элементов строки $n$ равно $2^{n}$.
• Взяв произведение элементов в каждой строке, последовательность произведений (последовательность A001142 в OEIS ) соотносится с основанием натурального логарифма e . В частности, определите последовательность $s_{n}$ для всех $n\geq 0$ следующее: $s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
  Тогда отношение произведений последовательных рядов равно $${\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}$$ и отношение этих отношений равно $${\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.$$ Правая часть приведенного выше уравнения принимает форму предельного определения $e$ $$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$$.
• $\pi$ можно найти в треугольнике Паскаля с помощью бесконечного ряда Нилаканты . $$\pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}$$
• Некоторые числа в треугольнике Паскаля соответствуют числам в треугольнике Лозанича .
• Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n . Например, 1 ² + 4 ² + 6 ² + 4 ² + 1 ² = 70 . В общем виде, $$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.$$
• В любом четном ряду $n=2m$, средний член минус термин на две точки слева равняется каталонскому числу , в частности $C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}$. Например, в строке 4, то есть 1, 4, 6, 4, 1, мы получаем 3-е каталонское число. $C_{3}=6-1=5$.
• В строке p , где p — простое число , все члены этой строки, кроме единиц, делятся на p . Это легко доказать с помощью мультипликативной формулы ${\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}$. Поскольку знаменатель $p!(p-k)!$ не может иметь простых делителей, равных p , поэтому p остается в числителе после целочисленного деления, делая всю запись кратной p .
• Четность : Чтобы подсчитать нечетные члены в строке n , преобразуйте n в двоичный формат . Пусть x — количество единиц в двоичном представлении. Тогда число нечетных членов будет равно 2 ^х . Эти числа являются значениями последовательности Гулда .
• Каждая запись во второй строке ^н − 1, n ≥ 0, нечетно.
• Полярность : когда элементы строки треугольника Паскаля поочередно складывают и вычитают, результат равен 0. Например, строка 6 равна 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, поэтому формула равна 1 - 6. + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0.

Диагонали

Вывод симплексных чисел из выровненного слева треугольника Паскаля

Диагонали треугольника Паскаля содержат фигурные числа симплексов:

• Диагонали, идущие по левому и правому краям, содержат только единицы.
• Диагонали рядом с реберными диагоналями содержат натуральные числа по порядку. Одномерные симплексные числа увеличиваются на 1 по мере того, как отрезки прямой продолжаются до следующего целого числа вдоль числовой прямой.
• Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит треугольные числа по порядку.
• Следующая пара диагоналей содержит по порядку тетраэдрические числа , а следующая пара дает числа пентатопов .

${\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}$

Симметрия треугольника подразумевает, что n ^й d-мерное число равно d ^й n -мерное число.

Альтернативная формула, не использующая рекурсию: $$P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},$$ где н ^{( д )} – это возрастающий факториал .

Геометрический смысл функции P _d таков: P _d (1) = 1 для всех d . Постройте d - мерный треугольник (3-мерный треугольник — тетраэдр ), поставив дополнительные точки ниже начальной точки, соответствующие P _d (1) = 1. Расположите эти точки способом, аналогичным расположению чисел в треугольнике Паскаля. . Чтобы найти P _d ( x ), имейте в общей сложности x точек, составляющих целевую форму. Тогда P _d ( x ) будет равно общему количеству точек в форме. 0-мерный треугольник — это точка, а 1-мерный треугольник — это просто линия, поэтому P ₀ ( x ) = 1 и P ₁ ( x ) = x , что является последовательностью натуральных чисел. Количество точек в каждом слое соответствует P _{d - 1} ( x ).

Вычисление строки или диагонали самостоятельно

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Чтобы вычислить строку $n$ с элементами ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$, начните с ${\tbinom {n}{0}}=1$. Для каждого последующего элемента значение определяется путем умножения предыдущего значения на дробь с медленно меняющимися числителем и знаменателем:

${n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.$

Например, для вычисления строки 5 дроби имеют вид ${\tfrac {5}{1}}$,  ${\tfrac {4}{2}}$,  ${\tfrac {3}{3}}$,  ${\tfrac {2}{4}}$ и ${\tfrac {1}{5}}$, и, следовательно, элементы ${\tbinom {5}{0}}=1$,   ${\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5$,   ${\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10$и т. д. (Остальные элементы легче всего получить путем симметрии.)

Чтобы вычислить диагональ, содержащую элементы ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,$ начать снова с ${\tbinom {n}{0}}=1$ и получать последующие элементы умножением на определенные дроби:

${n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.$

Например, чтобы вычислить диагональ, начинающуюся с ${\tbinom {5}{0}}$, дроби ${\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots$, а элементы ${\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21$и т. д. По симметрии эти элементы равны ${\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}$, и т. д.

Последовательность Фибоначчи в треугольнике Паскаля

Общие закономерности и свойства

Приближение уровня 4 к треугольнику Серпинского, полученное путем закрашивания первых 32 строк треугольника Паскаля белым, если биномиальный коэффициент четный, и черным, если он нечетный.

• Узор, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень напоминает фрактал, известный как треугольник Серпинского . Это сходство становится все более точным по мере рассмотрения большего количества строк; в пределе, когда количество рядов приближается к бесконечности, результирующий узор представляет собой треугольник Серпинского с фиксированным периметром. В более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т. д.; это приводит к другим подобным закономерностям.

Поскольку доля черных чисел стремится к нулю с увеличением n , следствием этого является то, что доля нечетных биномиальных коэффициентов стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности.

			10
		10	20

Треугольник Паскаля, наложенный на сетку, дает количество различных путей к каждому квадрату, предполагая, что рассматриваются только движения вправо и вниз.

• В треугольной части сетки (как на изображениях ниже) количество кратчайших путей сетки от данного узла до верхнего узла треугольника является соответствующей записью в треугольнике Паскаля. На игровом поле Плинко , имеющем форму треугольника, это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов.

• Если строки треугольника Паскаля выровнены по левому краю, сумма диагональных полос (отмеченных цветом ниже) равна числам Фибоначчи .

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Построение как матричная экспонента

${\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}$

Биномиальная матрица как матричная экспонента. Все точки обозначают 0.

Смотрите также: матрица Паскаля

Благодаря простой конструкции с помощью факториалов, можно дать очень простое представление треугольника Паскаля в терминах матричной экспоненты : Треугольник Паскаля — это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4, ... на ее вершине. субдиагональ и ноль везде.

Построение алгебры Клиффорда с использованием симплексов

Маркировка элементов каждого n-симплекса соответствует базовым элементам алгебры Клиффорда, используемым в качестве форм в геометрической алгебре, а не матриц. Распознавание геометрических операций, таких как вращение, позволяет обнаружить алгебраические операции. Так же, как каждая строка n , начиная с 0, треугольника Паскаля соответствует (n-1) -симплексу, как описано ниже, она также определяет количество именованных базисных форм в n- мерной геометрической алгебре . Биномиальная теорема может быть использована для доказательства геометрической зависимости, обеспечиваемой треугольником Паскаля. Это же доказательство можно применить к симплексам, за исключением того, что первый столбец всех единиц следует игнорировать, тогда как в алгебре они соответствуют действительным числам. $\mathbb {R}$, с базисом 1.

Связь с геометрией многогранников

Треугольник Паскаля можно использовать в качестве таблицы поиска количества элементов (например, ребер и углов) внутри многогранника (например, треугольника, тетраэдра, квадрата или куба).

Количество элементов симплексов

Начнем с рассмотрения третьей линии треугольника Паскаля со значениями 1, 3, 3, 1. Двумерный треугольник имеет один двухмерный элемент (сам), три одномерных элемента (линии или ребра) и три 0-мерные элементы ( вершины или углы). Смысл последней цифры (1) объяснить сложнее (но см. ниже). Продолжая наш пример, тетраэдр имеет один трехмерный элемент (сам), четыре двумерных элемента (грани), шесть одномерных элементов (ребра) и четыре 0-мерных элемента (вершины). Добавляя еще раз последнюю 1, эти значения соответствуют 4-й строке треугольника (1, 4, 6, 4, 1). Линия 1 соответствует точке, а линия 2 соответствует отрезку линии (диаде). Этот шаблон продолжается в гипертетраэдрах сколь угодно больших размеров (известных как симплексы ).

Чтобы понять, почему существует этот шаблон, нужно сначала понять, что процесс построения n -симплекса из ( n − 1) -симплекса состоит из простого добавления к последнему новой вершины, расположенной так, что эта новая вершина лежит вне пространство исходного симплекса и соединив его со всеми исходными вершинами. В качестве примера рассмотрим случай построения тетраэдра из треугольника, последний из элементов которого нумеруется 3-й строкой треугольника Паскаля: 1 грань, 3 ребра и 3 вершины. Чтобы построить тетраэдр из треугольника, расположите новую вершину над плоскостью треугольника и соедините эту вершину со всеми тремя вершинами исходного треугольника.

Номер данного размерного элемента в тетраэдре теперь представляет собой сумму двух чисел: сначала номера этого элемента, найденного в исходном треугольнике, плюс количества новых элементов, каждый из которых построен на элементах на одно измерение меньше, чем в исходном треугольнике. оригинальный треугольник . Таким образом, в тетраэдре число ячеек (многогранных элементов) равно 0 + 1 = 1 ; количество граней 1 + 3 = 4 ; количество ребер 3 + 3 = 6 ; количество новых вершин равно 3 + 1 = 4 . Этот процесс суммирования количества элементов данного измерения с элементами одного измерения меньшего для получения числа первых, найденных в следующем более высоком симплексе, эквивалентен процессу суммирования двух соседних чисел в строке треугольника Паскаля для получения номер ниже. Таким образом, значение последнего числа (1) в строке треугольника Паскаля становится понятным как представление новой вершины, которая должна быть добавлена ​​к симплексу, представленному этой строкой, чтобы получить следующий более высокий симплекс, представленный следующей строкой. Эта новая вершина соединяется с каждым элементом исходного симплекса, образуя новый элемент одного более высокого измерения в новом симплексе, и это является источником шаблона, который оказался идентичен тому, который можно увидеть в треугольнике Паскаля.

Количество элементов гиперкубов

Аналогичная закономерность наблюдается и в отношении квадратов , в отличие от треугольников. Чтобы найти закономерность, необходимо построить аналог треугольника Паскаля, элементами которого являются коэффициенты при ( x + 2) ^{номер строки} , вместо ( x + 1) ^{номер строки} . Есть несколько способов сделать это. Проще начать со строки 0 = 1 и строки 1 = 1, 2. Приступайте к построению аналоговых треугольников по следующему правилу:

${n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.$

То есть выберите пару чисел по правилам треугольника Паскаля, но перед сложением удвойте то, что слева. Это приводит к:

${\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}$

Другой способ создания этого треугольника — начать с треугольника Паскаля и умножить каждую запись на 2. ^к , где k — позиция данного числа в строке. Например, 2-е значение в строке 4 треугольника Паскаля равно 6 (наклон 1 соответствует нулевой записи в каждой строке). Чтобы получить значение, которое находится в соответствующей позиции аналогового треугольника, умножьте 6 на 2. ^{номер позиции} = 6 × 2 ² знак равно 6 × 4 = 24 . Теперь, когда аналоговый треугольник построен, количество элементов любого измерения, составляющих куб произвольного размера (называемый гиперкубом ), можно прочитать из таблицы способом, аналогичным треугольнику Паскаля. Например, количество 2-мерных элементов в 2-мерном кубе (квадрате) равно единице, количество 1-мерных элементов (сторон или линий) — 4, а количество 0-мерных элементов (точек, или вершины) равно 4. Это соответствует второй строке таблицы (1, 4, 4). Куб имеет 1 куб, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, что соответствует следующей линии аналогового треугольника (1, 6, 12, 8). Эта закономерность продолжается бесконечно.

Чтобы понять, почему существует такая закономерность, сначала осознайте, что построение n -куба из ( n − 1) -куба осуществляется путем простого дублирования исходной фигуры и смещения ее на некоторое расстояние (для обычного n -куба длина ребра ) ортогонально пространству исходной фигуры, затем соединяя каждую вершину новой фигуры с соответствующей вершиной оригинала. Этот первоначальный процесс дублирования является причиной того, что для перечисления размерных элементов n -куба необходимо удвоить первое из пары чисел в строке этого аналога треугольника Паскаля, прежде чем суммировать, чтобы получить число, указанное ниже. Таким образом, первоначальное удвоение дает количество «исходных» элементов, которые можно найти в следующем n -кубе большего размера, и, как и прежде, новые элементы строятся на основе элементов, имеющих на одно меньшее измерение (ребра на вершинах, грани на ребрах и т. д.). Опять же, последнее число строки представляет количество новых вершин, которые необходимо добавить для создания следующего n -куба большего размера.

В этом треугольнике сумма элементов строки m равна 3 ^м . Опять же, если использовать в качестве примера элементы строки 4: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , что равно $3^{4}=81$.

Подсчет вершин в кубе по расстоянию

Каждая строка треугольника Паскаля дает количество вершин на каждом расстоянии от фиксированной вершины в n -мерном кубе. Например, в трех измерениях третья строка (1 3 3 1) соответствует обычному трехмерному кубу : фиксируя вершину V , находится одна вершина на расстоянии 0 от V (то есть V сама ), три вершины на расстоянии расстояние 1, три вершины на расстоянии √ 2 и одна вершина на расстоянии √ 3 (вершина, противоположная V ). Вторая строка соответствует квадрату, а строки с большими номерами соответствуют гиперкубам в каждом измерении.

Преобразование Фурье sin( x ) ^{п +1} / х

Как говорилось ранее, коэффициенты при ( x + 1) ^н являются n-й строкой треугольника. Теперь коэффициенты при ( x − 1) ^н одинаковы, за исключением того, что знак меняется от +1 до -1 и обратно. После подходящей нормализации тот же набор чисел возникает в преобразовании Фурье sin( x ) ^{п +1} / х . Точнее: если n четное, возьмите действительную часть преобразования, а если n нечетное, возьмите мнимую часть . Тогда результатом является ступенчатая функция , значения которой (нормированные соответствующим образом) задаются n- й строкой треугольника с чередующимися знаками. Например, значения ступенчатой ​​функции, возникающие в результате:

${\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)$

составить 4-й ряд треугольника, чередуя знаки. Это обобщение следующего основного результата (часто используемого в электротехнике ):

${\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)$

— это функция товарного вагона . Соответствующая строка треугольника — это строка 0, состоящая только из цифры 1.

Если n соответствует 2 или 3 по модулю 4, то знаки начинаются с −1. Фактически, последовательность (нормализованных) первых членов соответствует степеням i , которые циклически вращаются вокруг пересечения осей с единичным кругом в комплексной плоскости: $$+i,-1,-i,+1,+i,\ldots$$

Расширения

Треугольник Паскаля можно продлить вверх, выше единицы в вершине, сохраняя аддитивные свойства, но сделать это можно несколькими способами.

К более высоким измерениям

Треугольник Паскаля имеет обобщения более высоких размерностей . Трехмерная версия известна как пирамида Паскаля или тетраэдр Паскаля , а общие версии известны как симплексы Паскаля .

К комплексным числам

Когда функция факториала определяется как $z!=\Gamma (z+1)$, треугольник Паскаля можно расширить за пределы целых чисел до $\mathbb {C}$, с $\Gamma (z+1)$ мероморфна всей плоскости комплексной .

К произвольным базам

Исаак Ньютон однажды заметил, что первые пять рядов треугольника Паскаля, если их читать как цифры целого числа, представляют собой соответствующие степени одиннадцати. Он без доказательств утверждал, что последующие строки также порождают степени одиннадцати. В 1964 году Роберт Л. Мортон представил более обобщенный аргумент, согласно которому каждая строка $n$ можно прочитать как систему счисления $a$ цифра, где $\lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}$ — гипотетическая конечная строка или предел треугольника, а строки — его частичные произведения. Он доказал записи строки $n$, если интерпретировать непосредственно как числовое значение, соответствуют биномиальному разложению $(a+1)^{n}=11_{a}^{n}$. С тех пор были разработаны более строгие доказательства. Чтобы лучше понять принцип этой интерпретации, следует вспомнить некоторые вещи о биномах:

• Система счисления $a$ цифра в позиционном обозначении (например, $14641_{a}$) – одномерный полином от переменной $a$, где степень переменной $i$й семестр (начиная с $i=0$) является $i$. Например, $14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}$.
• Строка соответствует биномиальному разложению $(a+b)^{n}$. Переменная $b$ можно исключить из расширения, установив $b=1$. Расширение теперь символизирует расширенную форму системы счисления. $a$ цифра, как показано выше . Таким образом, когда записи строки объединяются и читаются в системе счисления $a$ они образуют числовой эквивалент $(a+1)^{n}=11_{a}^{n}$. Если $c=a+1$ для $c<0$, то теорема справедлива для $a=\{c-1,-(c+1)\}\;\mathrm {mod} \;2c$ с нечетными значениями $n$ получение продуктов отрицательного ряда.

Установив систему счисления строки (переменная $a$) равно одному и десяти, строка $n$ становится продуктом $11_{1}^{n}=2^{n}$ и $11_{10}^{n}=11^{n}$, соответственно. Для иллюстрации рассмотрим $a=n$, что дает произведение строки $n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}$. Числовое представление $11_{n}^{n}$ формируется путем объединения записей строки $n$. Двенадцатая строка обозначает продукт:

$11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}$

с составными цифрами (разделенными знаком «:») в системе счисления двенадцать. Цифры из $k=n-1$ через $k=1$ являются составными, поскольку эти записи строк вычисляют значения, большие или равные двенадцати. Нормализовать ​ цифру, просто перенесите префикс первой составной записи, то есть удалите префикс коэффициента ${n \choose n-1}$ от самой левой цифры до самой правой цифры, но исключая ее, и используйте арифметику по основанию двенадцать, чтобы суммировать удаленный префикс с записью, находящейся непосредственно слева от него, затем повторите этот процесс, продолжая влево, пока не будет достигнута самая левая запись. В этом конкретном примере нормализованная строка заканчивается на $01$ для всех $n$. Самая левая цифра это $2$ для $n>2$, который получается переносом $1$ из $10_{n}$ при входе $k=1$. Отсюда следует, что длина нормированного значения $11_{n}^{n}$ равна длине строки, $n+1$. Неотъемлемая часть $1.1_{n}^{n}$ содержит ровно одну цифру, потому что $n$ (количество знаков слева от десятичной дроби) на единицу меньше длины строки. Ниже приведено нормализованное значение $1.1_{1234}^{1234}$. Сложные цифры остаются в значении, поскольку они являются системой счисления. $1234$ остатки, представленные в десятичной системе счисления:

$1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}$

См. также

• Бобовая машина , «Квинконс» Фрэнсиса Гальтона.
• Треугольник колокола
• Треугольник Бернулли
• Биномиальное расширение
• Клеточные автоматы
• Треугольник Эйлера
• Треугольник Флойда
• Биномиальный коэффициент Гаусса
• Идентичность хоккейной клюшки
• Гармонический треугольник Лейбница
• Кратность элементов в треугольнике Паскаля (гипотеза Сингмастера)
• Матрица Паскаля
• Пирамида Паскаля
• Симплекс Паскаля
• Протонный ЯМР , одно применение треугольника Паскаля
• Теорема о звезде Давида
• Трехчленное расширение
• Трехчленный треугольник
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Внешние ссылки

• «Треугольник Паскаля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля» . Математический мир .
• Старая методическая диаграмма семи умножающих квадратов (из Ссу Юань Ю Цзянь Чу Ши-Цье, 1303 г., изображающая первые девять рядов треугольника Паскаля)
• Трактат Паскаля об арифметическом треугольнике (изображения страниц трактата Паскаля, 1654 г.; краткое содержание )