Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Иллюстрации в нефритовом зеркале четырех неизвестных

Треугольник Цзя Сянь

Нефритовое Зеркало Четырех Неизвестных , Сиюань Юйцзянь ( 四元玉典 ), также известный как Нефритовое Зеркало Четырех Истоков , — математическая монография 1303 года, написанная математиком династии Юань Чжу Шицзе . Чжу продвинул китайскую алгебру с этим произведением Magnum .

Книга состоит из введения и трех книг, в общей сложности 288 задач. Первые четыре задачи введения иллюстрируют его метод четырех неизвестных. Он показал, как преобразовать задачу, сформулированную устно, в систему полиномиальных уравнений (до 14-го порядка), используя до четырех неизвестных: 天 Небо, 地 Земля, 人 Человек, 物 Материя, а затем как свести систему к одно полиномиальное уравнение с одним неизвестным путем последовательного исключения неизвестных. Затем он решил уравнение высокого порядка, предложенное династии Южная Сун математиком Цинь Цзюшао методом «Лин лонг кай фан», опубликованным в «Сюсю Цзиучжан» (« Математический трактат в девяти разделах ») в 1247 году (более чем за 570 лет до появления английского математика Уильяма Хорнера ). метод с использованием синтетического деления). Для этого он использует треугольник Паскаля , который он называет схемой древнего метода, впервые открытого Цзя Сянем до 1050 года.

Чжу также решил проблемы с квадратными и кубическими корнями, решив квадратные и кубические уравнения, и улучшил понимание рядов и прогрессий, классифицируя их в соответствии с коэффициентами треугольника Паскаля. Он также показал, как решать системы линейных уравнений , приводя матрицу их коэффициентов к диагональному виду . Его методы на много столетий предшествовали Блезу Паскалю , Уильяму Хорнеру и современным матричным методам. В предисловии к книге описывается, как Чжу в течение 20 лет путешествовал по Китаю в качестве учителя математики.

Нефритовое зеркало четырех неизвестных состоит из четырех книг с 24 классами и 288 задачами, в которых 232 задачи посвящены Тянь юань шу , 36 задач связаны с переменной с двумя переменными, 13 задач с тремя переменными и 7 задач с четырьмя переменными.

Введение

Квадрат суммы четырех величин прямоугольного треугольника

Четыре величины: x , y , z , w могут быть представлены следующей диаграммой.

х

и слишком В

С

Площадь которого:

a: основание «го» b «гу» вертикаль c гипотеня «сиань»

Унитарные туманности

В этом разделе речь идет о Тянь юань шу или проблемах одного неизвестного.

Вопрос: Если произведение хуанфаня и чжи цзи равно 24 шагам, а сумма вертикали и гипотенузы равна 9 шагам, каково значение основания?

Ответ: 3 шага.

Установите унитарный Тиан в качестве базы (то есть пусть базой будет неизвестная величина x )

Так как произведение Хуанфана и Чжи Цзи = 24

в котором

Хуанфань определяется как: $(a+b-c)$

Чжиджи : $ab$

поэтому $(a+b-c)ab=24$

Далее сумма вертикали и гипотенузы равна

$b+c=9$

Настройте неизвестный унитарный тянь как вертикаль.

$x=a$

Получаем следующее уравнение

（ $x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888$）

слишком

Решите ее и получите x=3.

Тайна двух природ

Слишком унитарный

уравнение: $-2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0$;

из данного

слишком

уравнение: $2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0$;

мы получаем:

слишком

$8x+4x^{2}=0$

и

слишком

$2x^{2}+x^{3}=0$

методом исключения получаем квадратное уравнение

$x^{2}-2x-8=0$

решение: $x=4$.

Эволюция трёх талантов

Шаблон решения задачи трех неизвестных

Чжу Шицзе подробно объяснил метод устранения. Его пример часто цитируется в научной литературе.

Составьте три уравнения следующим образом

слишком

$-y-z-y^{2}x-x+xyz=0$ .... я

$-y-z+x-x^{2}+xz=0$.....II

слишком

$y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;$....III

Устранение неизвестного между II и III

путем манипуляции обменом переменными

Мы получаем

слишком

$-x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y$ ...IV

и

слишком

$-2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}$.... V

Устранив неизвестное между IV и V, мы получаем уравнение 3-го порядка

$x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0$

Решите это уравнение третьего порядка, чтобы получить $x=5$;

Измените переменные обратно

Получаем гипотенус =5 шагов

Одновременность Четырех Элементов

В этом разделе рассматриваются одновременные уравнения с четырьмя неизвестными.

Уравнения четырех элементов

${\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}$

Последовательное исключение неизвестных, чтобы получить

$4x^{2}-7x-686=0$

Решите задачу и получите 14 шагов.

Книга I

Задачи о прямоугольных треугольниках и прямоугольниках

В этом разделе 18 задач.

Задача 18

Получите полиномиальное уравнение десятого порядка:

$16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0$

Корень из которого х = 3, умножаем на 4, получаем 12. Вот и окончательный ответ.

Проблемы плоских фигур

В этом разделе 18 задач.

Проблемы штучного товара

В этом разделе 9 задач

зерна

В этом разделе 6 задач

Проблемы с трудом

В этом разделе 7 задач

уравнений для

В этом разделе 13 задач.

Книга II

Съемка с использованием прямоугольных треугольников

В этом разделе восемь задач.

Проблема 1

Вопрос: Имеется прямоугольный город неизвестного размера, имеющий по одному воротам с каждой стороны. В 240 шагах от южных ворот находится пагода. Человек, прошедший 180 шагов от западных ворот, может увидеть пагоду, затем он проходит 240 шагов в сторону юго-восточного угла и достигает пагоды; какова длина и ширина прямоугольного города?Ответ: длина 120 шагов, ширина одна ли.

Пусть тянь юань унитарен как половина длины, получим уравнение 4-го порядка

$x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}+15552000x+1866240000=0$

Решив ее, получим x = 240 шагов, следовательно, длина = 2x = 480 шагов = 1 ли и 120 шагов.

Сходство, пусть тянь юань унитарный (x) равен половине ширины.

мы получаем уравнение:

$x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}+20736000x+1866240000=0$

Решив ее, получим х = 180 шагов, длина = 360 шагов = один ли.

Проблема 7

Идентичен глубине ущелья (с использованием перекладин вперед) в Хайдао Суаньцзин .

Задача 8

Идентичен « Глубине прозрачного бассейна в Хайдао Суаньцзин» .

Вызов людей по необходимости

Задача № 5 — самая ранняя в мире формула интерполяции 4-го порядка.

Мужчины вызвали: $na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d$

В котором

• а = разница 1-го порядка
• b = разность 2-го порядка
• c = разность третьего порядка
• d = разность четвертого порядка

Книга III

Куча фруктов

В этом разделе собрано 20 задач на треугольные и прямоугольные сваи.

Проблема 1

Найдите сумму треугольной стопки

$1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)$

а ценность стопки фруктов равна:

$v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}$

Чжу Шицзе использует Тянь юань шу, чтобы решить эту проблему, полагая x = n.

и получил формулу

$v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)$

Из заданного состояния $v=1320$, следовательно

$3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

Решите ее, чтобы получить $x=n=9$.

Поэтому,

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$。

Уравнение четырёх неизвестных

Шесть задач с четырьмя неизвестными.

Вопрос 2

Получите систему уравнений с четырьмя неизвестными: .

${\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}$

Ссылки

Источники

• Нефритовое зеркало четырех неизвестных, тр. на английский профессор Чэнь Чжаисинь, бывший заведующий кафедрой математики Университета Яньчин (в 1925 г.), перевод на современный китайский Го Шучунь, том I и II, Библиотека китайской классики, китайско-английский, Liaoning Education Press, 2006 г. ISBN   7-5382-6923-1 https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2 , https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1
• Собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баоцуна по истории наук, том 1
• Чжу Шицзе Сиюань Юйцзянь, книги 1–4, с примечаниями математика династии Цинь Ло Шилиня, Commercial Press
• Дж. Хо, Системы полиномиальных уравнений в Сыюань юйцзянь (1303 г.), Institut des Hautes Études Chinoises, Париж, 1977 г.
• Дж. Хо, Исследование руководства четырнадцатого века по полиномиальным уравнениям «Нефритовое зеркало четырех неизвестных» Чжу Шицзе, Bookroom Mingming, PO Box 29-316, Крайстчерч, Новая Зеландия, 2007 г.