Гармонический треугольник Лейбница

представляет Гармонический треугольник Лейбница собой треугольное расположение единичных долей , в котором самые внешние диагонали состоят из обратных чисел строк, а каждая внутренняя ячейка представляет собой ячейку по диагонали сверху и слева минус ячейка слева. говоря Алгебраически , $L (r, 1) = 1/ r$ (где $r$ — номер строки, начиная с 1, а $c$ — номер столбца, но не более r ) и $L (r, c) = L (р - 1, с - 1) - L (р, с - 1).$

Ценности

Первые восемь строк:

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}$

Знаменатели указаны в (последовательность A003506 в OEIS ), а все числители — единицы.

Условия

Условия задаются повторениями

a_{n,1}={\frac {1}{n}},

a_{n,k}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}},

и явно

a_{n,k}={\frac {1}{{\binom {n}{k}}k}}

где ${\binom {n}{k}}$ является биномиальным коэффициентом . ^[1]

Связь с треугольником Паскаля

В то время как каждая запись в треугольнике Паскаля представляет собой сумму двух записей в строке выше, каждая запись в треугольнике Лейбница представляет собой сумму двух записей в строке ниже . Например, в 5-й строке запись (1/30) представляет собой сумму двух (1/60) в 6-й строке.

Точно так же, как треугольник Паскаля можно вычислить с помощью биномиальных коэффициентов, можно вычислить и треугольник Лейбница: $L(r,c)={\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}$ . Более того, элементы этого треугольника можно вычислить по формуле Паскаля : «Термины в каждой строке представляют собой начальный член, разделенный на соответствующие записи треугольника Паскаля». ^[2] Фактически, каждая диагональ связана с соответствующими диагоналями треугольника Паскаля: первая диагональ Лейбница состоит из 1/(1x натуральных чисел ), вторая из 1/(2x треугольных чисел ), третья из 1/(3x тетраэдрических чисел ) и так далее. .

Более того, каждая запись в Гармоническом треугольнике равна обратной величине соответствующей записи в треугольнике Паскаля, умноженной на обратную величину соответствующей строки: $r$ $h_{(r,c)}={\frac {1}{p_{(r,c)}}}\times {\frac {1}{r}}$ , где $h_{(r,c)}$ является входом в Гармонический треугольник и $p_{(r,c)}$ — соответствующая запись в треугольнике Паскаля

Бесконечная серия

Бесконечная сумма всех членов любой диагонали равна первому члену предыдущей диагонали, то есть $\sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=L(c-1,c-1)$ потому что повторение можно использовать для телескопирования ряда как $\sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=\sum _{r=c}^{\infty }L(r-1,c-1)-L(r,c-1)=L(c-1,c-1)-{\cancelto {0}{L(\infty ,c-1)}}:$ где $L(\infty ,c-1)=\lim _{r\to \infty }L(r,c-1)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-2}}}=0$ .

{\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&{\color {red}1}&&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\color {blue}{\frac {1}{2}}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\color {blue}{\frac {1}{6}}}&&{\frac {1}{3}}&&&\\&&&{\frac {1}{4}}&&{\color {blue}{\frac {1}{12}}}&&{\frac {1}{12}}&&{\color {red}{\frac {1}{4}}}&&\\&&{\frac {1}{5}}&&{\color {blue}{\frac {1}{20}}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\color {blue}{\frac {1}{5}}}&\\&{\frac {1}{6}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{6}}\\&&&&\vdots &&&&\vdots &&&\\\end{array}}

Например,

{\color {blue}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...={\color {red}1}

{\color {blue}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{105}}+...}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}-{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{60}}-{\frac {1}{140}}+...={\color {red}{\frac {1}{4}}}

Заменив формулу для коэффициентов, получим бесконечный ряд $\sum _{r=c}^{\infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}={\frac {1}{c-1}}$ , первый приведенный здесь пример первоначально появился в работе Лейбница около 1694 года. ^[3]

Характеристики

Если взять знаменатели n -й строки и сложить их, то результат будет равен $n2^{n-1}$ . Например, для 3-й строки имеем 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2. ².

У нас есть $L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx.$

См. также

Ссылки

^ В., Вайсштейн, Эрик. «Гармонический треугольник Лейбница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 апреля 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Уэллс, Дэвид (1986). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , стр.98. ISBN 978-0-14-026149-3 .
^ Эстев, Масса; Роза, Мария (22 июня 2018 г.). «Гармонический треугольник в творчестве Менголи и Лейбница» . Тетради по истории техники . XVI : 233–258. ISSN 1135-934X .

[1] В., Вайсштейн, Эрик. «Гармонический треугольник Лейбница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 апреля 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Уэллс, Дэвид (1986). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , стр.98. ISBN 978-0-14-026149-3 .

[3] Эстев, Масса; Роза, Мария (22 июня 2018 г.). «Гармонический треугольник в творчестве Менголи и Лейбница» . Тетради по истории техники . XVI : 233–258. ISSN 1135-934X .

[1]

[2]

[3]