Матрица Паскаля

В математике , особенно в теории матриц и комбинаторике , матрица Паскаля — это матрица (возможно, бесконечная ), содержащая биномиальные коэффициенты в качестве своих элементов. Таким образом, это кодирование треугольника Паскаля в матричной форме. Есть три естественных способа добиться этого: в виде нижнетреугольной матрицы , верхнетреугольной матрицы или симметричной матрицы . Например, матрицы 5×5:

$L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,$ $U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,$ $S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}$ Есть и другие способы приведения треугольника Паскаля в матричную форму, но их нелегко расширить до бесконечности. ^[1]

Определение

Ненулевые элементы матрицы Паскаля задаются биномиальными коэффициентами :

$L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(i-j)!}},j\leq i$ $U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(j-i)!}},i\leq j$ $S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}$

такие, что индексы i , j начинаются с 0, а ! обозначает факториал .

Характеристики

Матрицы имеют приятное соотношение S _n = L _n U _n . Отсюда легко видеть, что все три матрицы имеют 1 , поскольку определитель треугольной матрицы — это просто произведение ее диагональных элементов, которые все равны 1 как для L _n, так и для Un _. определитель Другими Sn _, Ln _и и Un _{являются} словами унимодулярными , Ln _причем . Un _имеют n след матрицы ,

След Sn _{выражением} определяется

{\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}

первые несколько членов заданы последовательностью 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (последовательность A006134 в OEIS ).

Строительство

Матрицу Паскаля фактически можно построить, взяв матричную экспоненту специальной субдиагональной или супердиагональной матрицы. В приведенном ниже примере создается матрица Паскаля размером 7 × 7, но метод работает для любых желаемых матриц Паскаля размера n × n . Точки в следующих матрицах представляют нулевые элементы.

{\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}

Нельзя просто предположить, что exp( A ) exp( B ) = exp( A + B ) для размера n × n матриц A и B ; это равенство верно только тогда, когда AB = BA (т.е. когда матрицы A и B коммутируют ). При построении симметричных матриц Паскаля, подобных приведенной выше, суб- и супердиагональные матрицы не коммутируют, поэтому (возможно) заманчивое упрощение, включающее сложение матриц, невозможно.

Полезным свойством использованных для построения суб- и супердиагональных матриц является то, что обе они нильпотентны ; то есть при возведении в достаточно большую целую степень они вырождаются в нулевую матрицу . (Для получения дополнительной информации см. матрицу сдвига .) Поскольку n × n используемые нами обобщенные матрицы сдвига становятся нулевыми при возведении в степень n , при вычислении матричной экспоненты нам нужно учитывать только первые n + 1 член бесконечного ряда , чтобы получить точный результат.

Варианты

Интересные варианты можно получить путем очевидной модификации матрицы-логарифма PL ₇ и последующего применения матричной экспоненты.

В первом примере ниже используются квадраты значений лог-матрицы и строится матрица «Лагерра» размером 7 × 7 (или матрица коэффициентов полиномов Лагерра) .

{\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Матрица Лагерра фактически используется с каким-то другим масштабированием и/или схемой чередующихся знаков. (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено)

Во втором примере ниже используются произведения v ( v + 1) значений лог-матрицы и строится матрица «Лах» размером 7 × 7 (или матрица коэффициентов чисел Лаха ).

{\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Вместо этого использование v ( v − 1) обеспечивает диагональный сдвиг вправо вниз.

В третьем примере ниже используется квадрат исходной PL ₇ -матрицы, разделенный на 2, другими словами: биномы первого порядка (бином ( k , 2)) во второй поддиагонали и строится матрица, которая встречается в контексте производные : и интегралы Гаусса ошибок функции

{\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Если эту матрицу инвертировать (с использованием, например, отрицательного матричного логарифма), то эта матрица имеет чередующиеся знаки и дает коэффициенты производных (и, соответственно, интегралов) функции ошибок Гаусса. (Литературы об обобщениях на большие степени пока не найдено.)

Другой вариант можно получить, расширив исходную матрицу до отрицательных значений :

{\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}

См. также

Ссылки

^ Биррега, Бабига; До, Проспер К.; Аджаллах, Кондо Х. (1 июля 2010 г.). «Системный подход к матричным формам треугольника Паскаля: двенадцать треугольных матричных форм и отношений». Европейский журнал комбинаторики . 31 (5): 1205–1216. дои : 10.1016/j.ejc.2009.10.009 . ISSN 0195-6698 .

Г.С. Колл и DJ Веллеман, «Матрицы Паскаля», American Mathematical Monthly , том 100, (апрель 1993 г.), страницы 372–376.
Эдельман, Алан; Стрэнг, Гилберт (март 2004 г.), «Матрицы Паскаля» (PDF) , American Mathematical Monthly , 111 (3): 361–385, doi : 10.2307/4145127 , JSTOR 4145127 , заархивировано из оригинала (PDF) 07.2010 г. 04

Внешние ссылки

Г. Хелмс Паскальматрица в проекте по сбору фактов о теоретико-числовых матрицах
Г. Хелмс Гаусс-матрица
Вайсштейн, Эрик В. Функция Гаусса
Вайсштейн, функция Эрика В. Эрфа
Вайсштейн, Эрик В. «Полином Эрмита». Полиномы Эрмита
Эндл, Курт «Об превосходном свойстве матриц коэффициентов полиномиальных систем Лагерра и Эрмита». В: ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ТОМ 65 Математический журнал Курта Эндла.
Последовательность OEIS A066325 (Коэффициенты унитарных полиномов Эрмита He _n ( x )) (Относится к матрице Гаусса).

[1] Биррега, Бабига; До, Проспер К.; Аджаллах, Кондо Х. (1 июля 2010 г.). «Системный подход к матричным формам треугольника Паскаля: двенадцать треугольных матричных форм и отношений». Европейский журнал комбинаторики . 31 (5): 1205–1216. дои : 10.1016/j.ejc.2009.10.009 . ISSN 0195-6698 .

[1]

v т и Матричные классы
Явно ограниченные записи	Чередование Антидиагональ антиэрмитовский Антисимметричный наконечник стрелы Группа двуугольный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный логическое значение Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамара Сопозитивный Диагональная доминанта Диагональ Дискретное преобразование Фурье элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Приобретение эрмитовский Хессенберг Пустой Целое число Логический Матричный блок Мецлер Мур Неотрицательный Пятиугольный перестановка Персимметричный Полиномиальный кватернионный Подпись косо-эрмитовский Кососимметричный Горизонт Редкий Сильвестр Симметричный Тёплиц Треугольный Трехдиагональный Вандермонде Уолш С
Постоянный	Обмен Гильберт Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Ноль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Конвергентный Дефектный Определенный Диагонализуемый Гурвиц Положительно-определенный Стилтьес
Выполнение условий на изделия или инверсы	Конгруэнтный Идемпотент или проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный ортогональный Унимодульный Одномогущий Унитарный Полностью унимодульный Взвешивание
С конкретными приложениями	Адъюгат знак чередования Дополненный Безу Карл Великий Картан циркулирующий Кофактор коммутация Путаница Коксетер Расстояние Дублирование и устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамм Гессен Домохозяин якобиан Момент Расплачиваться Выбирать Случайный Вращение Зейферт сдвиг Сходство симплектический Полностью позитивный Трансформация
Используется в статистике	Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Двойной стохастический Информация о Фишере Имеет Точность Стохастический Переход
Используется в теории графов	Соседство Бисмежность Степень Эдмондс Заболеваемость лапласиан Соседство Зайделя Все
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяши – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткая ассоциативность Гамма Гелл-Манн гамильтониан Нерегулярный Перекрывать С Государственный переход Замена З (химия)
Связанные термины	Джордан в нормальной форме Линейная независимость Матричная экспонента Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Форма эшелона строк Вронскиан
Математический портал Список матриц Категория:Матрицы