Матрица Коши

В математике матрица Коши , названная в честь Огюстена-Луи Коши , представляет собой размера m × n матрицу с элементами a _ij в виде

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

где $x_{i}$ и $y_{j}$ являются элементами поля ${\mathcal {F}}$, и $(x_{i})$ и $(y_{j})$ являются инъективными последовательностями (содержат различные элементы).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши, где

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;$

Каждая подматрица матрицы Коши сама является матрицей Коши.

Определители Коши

Определитель матрицы Коши, очевидно, является рациональной дробью по параметрам $(x_{i})$ и $(y_{j})$. Если бы последовательности не были инъективными, определитель исчез бы и стремился бы к бесконечности, если бы некоторые $x_{i}$ имеет тенденцию $y_{j}$. Таким образом, известно подмножество его нулей и полюсов. Дело в том, что нулей и полюсов больше нет:

Определитель квадратной матрицы Коши A известен как определитель Коши и может быть задан явно как

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$ (Шехтер 1959, уравнение 4; Коши 1841, стр. 154, уравнение 10).

Она всегда отлична от нуля, поэтому все квадратные матрицы Коши обратимы . Обратное А ⁻¹ = B = [b _ij ] определяется выражением

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,$ (Шехтер, 1959, теорема 1)

где A _i (x) и B _i (x) — полиномы Лагранжа для $(x_{i})$ и $(y_{j})$, соответственно. То есть,

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{and}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

с

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$

Обобщение

Матрица C называется подобной Коши, если она имеет вид

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

Определив X =diag(x _i ), Y =diag(y _i ), можно увидеть, что как матрицы Коши, так и матрицы, подобные Коши, удовлетворяют уравнению смещения

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(с $r=s=(1,1,\ldots ,1)$ для Коши). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую структуру смещения , которую можно использовать при работе с матрицей. Например, в литературе известны алгоритмы для

• приблизительное умножение матрицы на вектор Коши с $O(n\log n)$ ops (например, метод быстрого мультиполя ),
• ( повернутая ) LU-факторизация с $O(n^{2})$ ops (алгоритм GKO) и, следовательно, решение линейной системы,
• приближенные или неустойчивые алгоритмы решения линейных систем в $O(n\log ^{2}n)$.

Здесь $n$ обозначает размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все алгоритмы легко обобщаются и на прямоугольные матрицы).

См. также

• Матрица Теплица
• Треугольная личность Фэй

Ссылки

• Коши, Огюстен-Луи (1841). Упражнения по анализу и математической физике. Полет. 2 (на французском языке). Холостяк.
• А. Герасулис (1988). «Быстрый алгоритм умножения обобщенных гильбертовых матриц на векторы» (PDF) . Математика вычислений . 50 (181): 179–188. дои : 10.2307/2007921 . JSTOR   2007921 .
• И. Гохберг; Т. Кайлат; В. Ольшевский (1995). «Быстрое исключение Гаусса с частичным поворотом для матриц со структурой смещения» (PDF) . Математика вычислений . 64 (212): 1557–1576. Бибкод : 1995MaCom..64.1557G . дои : 10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x .
• П. Г. Мартинссон; М. Тайгерт; В. Рохлин (2005). «Ан $O(N\log ^{2}N)$ Алгоритм обращения общих матриц Теплица» (PDF) . Компьютеры и математика с приложениями . 50 (5–6): 741–752. doi : 10.1016/j.camwa.2005.03.011 .
• С. Шехтер (1959). «Об обращении некоторых матриц» (PDF) . Математические таблицы и другие средства вычислений . 13 (66): 73–77. дои : 10.2307/2001955 . JSTOR   2001955 .
• ТиИо Финк, Георг Хейниг и Карла Рост: «Формула обращения и быстрые алгоритмы для матриц Коши-Вандермонда», Линейная алгебра и ее приложения, том 183 (1993), стр. 179-191.
• Дарио Фазино: «Ортогональные матрицы типа Коши», Численные алгоритмы, том 92 (2023), стр.619–637. URL = https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y .