Антидиагональная матрица

В математике антидиагональная матрица — это квадратная матрица , в которой все элементы равны нулю, за исключением тех, которые находятся на диагонали, идущей из нижнего левого угла в верхний правый угол (↗), известная как антидиагональ (иногда диагональ Харрисона, вторичная матрица). диагональ, конечная диагональ, второстепенная диагональ, недиагональ или плохая диагональ).

Формальное определение

Матрица n размером на n ( A является антидиагональной матрицей, если i , j ) -й элемент a _ij равен нулю для всех строк i и столбцов j, чьи индексы не суммируются с n + 1 . Символически: $$a_{ij}=0\ \forall i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\ (i+j\neq n+1).$$

Пример

Пример антидиагональной матрицы: $${\begin{bmatrix}0&0&0&0&2\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$$

Другим примером может быть $${\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}}$$... который можно использовать для изменения местами элементов массива (как матрицы-столбца) путем умножения слева.

Характеристики

Все антидиагональные матрицы также персимметричны .

Произведение двух антидиагональных матриц является диагональной матрицей . Более того, произведение антидиагональной матрицы на диагональную матрицу является антидиагональным, как и произведение диагональной матрицы на антидиагональную матрицу.

Антидиагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда элементы на диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего угла не равны нулю. Обратная любая обратимая антидиагональная матрица также является антидиагональной, как видно из абзаца выше. Определитель , антидиагональной матрицы имеет абсолютное значение определяемое произведением элементов на диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего угла. Однако знак этого определителя будет меняться, поскольку один элементарный продукт антидиагональной матрицы со знаком, отличным от нуля, будет иметь другой знак в зависимости от того, является ли связанная с ним перестановка нечетной или четной:

Размер матрицы	Перестановка для ненулевое элементарное произведение антидиагональная матрица	Четный или нечетный	Знак элементарного продукта
2 × 2	{2, 1}	Странный	−
3 × 3	{3, 2, 1}	Странный	−
4 × 4	{4, 3, 2, 1}	Даже	+
5 × 5	{5, 4, 3, 2, 1}	Даже	+
6 × 6	{6, 5, 4, 3, 2, 1}	Странный	−

Точнее, знак элементарного произведения, необходимого для вычисления определителя антидиагональной матрицы, связан с тем, является ли соответствующее треугольное число четным или нечетным. Это связано с тем, что количество инверсий в перестановке для единственного элементарного произведения со знаком, отличным от нуля, любой n × n антидиагональной матрицы размера всегда равно n -му такому числу.

См. также

• Главная диагональ : все недиагональные элементы в диагональной матрице равны нулю.
• Матрица обмена — антидиагональная матрица с единицами на противоположной диагонали.

Внешние ссылки

• «Антидиагональная матрица» . ПланетаМатематика .