Матрица Редхеффера

В математике матрица Редхеффера , часто обозначаемая $A_{n}$ как изучал Редхеффер (1977) , представляет собой квадратную (0,1) матрицу , элементы которой a _ij равны 1, если i делит j или если j = 1; в противном случае a _ij = 0. В некоторых контекстах полезно выразить свертку Дирихле или суммы свернутых делителей в терминах матричных произведений, транспонирование включающих $n^{th}$ Матрица Редхеффера.

Варианты и определения матриц компонентов

Поскольку обратимость матриц Редхеффера осложняется начальным столбцом единиц в матрице, часто удобно выразить $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ где $C_{n}:=[c_{ij}]$ определяется как матрица (0,1) , элементы которой равны единице тогда и только тогда, когда $j=1$ и $i\neq 1$. Остальные однозначные записи в $A_{n}$ тогда соответствуют условию делимости, отраженному матрицей $D_{n}$, что легко увидеть, применив инверсию Мёбиуса , всегда обратимо с обратным $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$. имеем характеристику сингулярности Тогда мы $A_{n}$ выраженный $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$

Если мы определим функцию

$M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ if j divides i; }}\\0,&{\text{otherwise, }}\end{cases}},$

тогда мы сможем определить $n^{th}$ Матрица Редхеффера (транспонированная) должна быть размера n x n. квадратной матрицей $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ в обычной матричной записи. Мы продолжим использовать это обозначение в следующих разделах.

Примеры

Матрица ниже представляет собой матрицу Редхеффера 12 × 12. В обозначении разделенной суммы матриц для $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$, записи ниже соответствуют начальному столбцу единиц в $C_{n}$ отмечены синим цветом.

$\left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)$

Соответствующее применение формулы обращения Мёбиуса показывает, что $n^{th}$ Транспонирующая матрица Редхеффера всегда обратима , с обратными элементами, заданными формулой

$R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},$

где $\mu (n)$ обозначает функцию Мебиуса . В данном случае мы имеем, что $12\times 12$ обратная транспонированная матрица Редхеффера имеет вид

$R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

Ключевые свойства

Сингулярность и связь с функцией Мертенса и специальными рядами.

Детерминанты

Определитель n матрицы Редхеффера размера n × n квадратной задается функцией Мертенса M ( ) . В частности, матрица $A_{n}$ не обратима именно тогда, когда функция Мертенса равна нулю (или близка к смене знака). Как следствие опровержения Из гипотезы Мертенса следует, что функция Мертенса меняет знак и, следовательно, равна нулю бесконечно много раз, поэтому матрица Редхеффера $A_{n}$ сингулярно при бесконечном числе натуральных чисел.

Определители матриц Редхеффера непосредственно связаны с гипотезой Римана через эту связь с функцией Мертенса, поскольку гипотеза эквивалентна доказательству того, что $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ для всех (достаточно небольшой) $\varepsilon >0$.

Факторизации сумм, закодированных этими матрицами

В несколько нетрадиционной конструкции, которая переинтерпретирует элементы матрицы (0,1) для обозначения включения в некоторую возрастающую последовательность наборов индексации, мы можем видеть, что эти матрицы также связаны с факторизацией рядов Ламберта . Это наблюдение предлагается в той мере, в какой для фиксированной арифметической функции f коэффициенты следующего разложения в ряд Ламберта по f обеспечивают так называемую маску включения для индексов, по которым мы суммируем f , чтобы получить коэффициенты ряда этих разложений. Примечательно, что

$\sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).$

Теперь в частном случае, когда эти суммы делителей, которые мы видим из приведенного выше разложения, кодифицируются логическим включением (ноль и единица) в наборы делителей натурального числа n , можно по-новому интерпретировать формулу Ламберта. Функции, производящие ряды, которые пересчитывают эти суммы с помощью еще одной матричной конструкции. А именно, Мерка и Шмидт (2017-2018) доказали обратимую матричную факторизацию, расширяющую эти производящие функции в виде

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},$

где $(q;q)_{\infty }$ обозначает бесконечный символ q-Похгаммера , и где последовательность нижних треугольных матриц точно генерируется как коэффициенты $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$, благодаря которым эти термины также имеют интерпретацию как разность специальных четных (нечетных) индексированных статистических сумм. Мерка и Шмидт (2017) также доказали простую формулу обращения, которая позволяет неявную функцию f как сумму по сверточным коэффициентам. выразить $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ производящей функции исходного ряда Ламберта в виде

$f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],$

где p(n) обозначает статистическую сумму , $\mu (n)$ – функция Мебиуса , а коэффициенты $(q;q)_{\infty }$ наследовать квадратичную зависимость от j посредством теоремы о пятиугольных числах . Эта формула обращения сравнивается с обратными (если они существуют) матрицами Редхеффера. $A_{n}$ ради завершения здесь.

Помимо этого, базовая так называемая матрица маски , которая определяет включение индексов в имеющиеся суммы делителей, является обратимой, поэтому использование этого типа конструкции для расширения других матриц типа Редхеффера для других специальных теоретико-числовых сумм не должно быть ограничено этими формами. здесь учился классически. Например, в 2018 году Мусави и Шмидт распространили такие леммы факторизации на основе матриц на случаи сумм делителей Андерсона-Апостола (примечательным частным случаем которых являются суммы Рамануджана ) и сумм, индексированных по целым числам, которые относительно просты для каждого n (например, , что классически определяет подсчет, обозначаемый фи-функцией Эйлера ). Более того, примеры, рассмотренные в разделе приложений ниже, предполагают изучение свойств того, что можно считать обобщенными матрицами Редхеффера , представляющими другие специальные теоретико-числовые суммы.

Спектральный радиус и собственные пространства

• Если обозначить спектральный радиус $A_{n}$ к $\rho _{n}$ доминирующее максимальное собственное значение модуля в спектре , т. е . $A_{n}$, затем

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,$

которое ограничивает асимптотическое поведение спектра $A_{n}$ когда n велико. Также можно показать, что $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$, и после тщательного анализа (см. характеристические полиномиальные разложения ниже) выяснилось, что $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$.

• Матрица $A_{n}$ имеет собственное значение одно с кратностью $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$.
• Размерность собственного пространства $E_{\lambda }(A_{n})$ соответствующее собственному значению $\lambda :=1$ известно, что это $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$. В частности, это означает, что $A_{n}$ не диагонализуема всякий раз, когда $n\geq 5$.
• Для всех остальных собственных значений $\lambda \neq 1$ из $A_{n}$, то размерность соответствующих собственных пространств $E_{\lambda }(A_{n})$ являются одним.

Характеристика собственных векторов

У нас есть это $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ является собственным вектором $A_{n}^{T}$ соответствующее некоторому собственному значению $\lambda \in \sigma (A_{n})$ в спектре $A_{n}$ тогда и только тогда, когда для $n\geq 2$ выполняются следующие два условия:

$\lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Если ограничиться так называемыми нетривиальными случаями, когда $\lambda \neq 1$, то учитывая любую начальную компоненту собственного вектора $a_{1}$ мы можем рекурсивно вычислить оставшиеся n-1 компоненты по формуле

$a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.$

Имея это в виду, для $\lambda \neq 1$ мы можем определить последовательности

$v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}$

Есть несколько любопытных следствий, связанных с определениями этих последовательностей. Во-первых, у нас есть это $\lambda \in \sigma (A_{n})$ тогда и только тогда, когда

$\sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .$

Во-вторых, у нас есть установленная формула для ряда Дирихле или производящей функции Дирихле над этими последовательностями для фиксированных $\lambda \neq 1$ что справедливо для всех $\Re (s)>1$ данный

$\sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},$

где $\zeta (s)$ конечно, как обычно, обозначает дзета-функцию Римана .

Границы и свойства нетривиальных собственных значений

Теоретико -графовая интерпретация оценки нулей характеристического полинома $A_{n}$ и ограничивающие его коэффициенты приведены в разделе 5.1 гл. Оценки размеров блоков жордановых $A_{n}$ соответствующие собственному значению. Краткий обзор свойств модифицированного подхода к факторизации характеристического полинома. $p_{A_{n}}(x)$, из этих матриц определяется здесь без полного объема технических доказательств, подтверждающих границы из цитированных выше ссылок. А именно, пусть стенография $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ и определим последовательность вспомогательных полиномиальных разложений по формуле

$f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.$

Тогда мы знаем, что $f_{n}(t)$ имеет два действительных корня, обозначаемых $t_{n}^{\pm }$, которые удовлетворяют

$t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),$

где $\gamma \approx 0.577216$ — классическая гамма-константа Эйлера , и где остальные коэффициенты этих полиномов ограничены

$|v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.$

График гораздо более ограниченного по размеру характера собственных значений $f_{n}(t)$ которые не характеризуются этими двумя доминирующими нулями полинома, кажутся примечательными, о чем свидетельствуют только 20 оставшихся комплексных нулей, показанных ниже. Следующее изображение воспроизведено из свободно доступной статьи, цитированной выше, когда $n\sim 10^{6}$ доступен здесь для справки.

Приложения и обобщения

Мы приводим несколько примеров полезности матриц Редхеффера, интерпретируемых как (0,1)-матрица , четность которой соответствует включению в возрастающую последовательность наборов индексов. Эти примеры должны освежить некоторые порой устаревшие исторические перспективы этих матриц и сделать их достойными сносок в силу присущей им и глубокой связи их определителей с функцией Мертенса и эквивалентными утверждениями гипотезы Римана . Эта интерпретация является гораздо более комбинаторной по построению, чем типичная трактовка специальных определителей матрицы Редхеффера. Тем не менее, этот комбинаторный подход к перечислению особых последовательностей сумм недавно был исследован в ряде статей и вызывает активный интерес в архивах препринтов. Прежде чем углубиться в полную конструкцию этого варианта матрицы Редхеффера. $R_{n}$ определенные выше, обратите внимание, что этот тип разложения во многих отношениях, по сути, является просто еще одним вариантом использования матрицы Теплица для представления выражений усеченного степенного ряда, где элементы матрицы являются коэффициентами формальной переменной в ряду. Давайте рассмотрим применение этого конкретного взгляда на матрицу (0,1) для маскировки включения индексов суммирования в конечную сумму по некоторой фиксированной функции. Смотрите цитаты по ссылкам и для существующих обобщений матриц Редхеффера в контексте общих случаев арифметических функций . Члены обратной матрицы относятся к обобщенной функции Мёбиуса в контексте сумм этого типа.

Матричные произведения, расширяющие свертки Дирихле и обратные Дирихле

Во-первых, для любых двух неидентично нулевых арифметических функций f и g мы можем предоставить явные матричные представления, которые кодируют их свертку Дирихле в строках, индексированных натуральными числами. $n\geq 1,1\leq n\leq x$:

$D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.$

Затем позволив $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ обозначим вектор всех единиц, легко видеть, что $n^{th}$ строка произведения матрицы-вектора $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ дает свернутые суммы Дирихле

$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),$

для всех $1\leq n\leq x$ где верхний индекс $x\geq 2$ является произвольным.

Одна задача, которая особенно обременительна для произвольной функции f, состоит в том, чтобы точно определить ее обратную Дирихле , не прибегая к стандартному рекурсивному определению этой функции через еще одну сумму свернутых делителей, включающую ту же функцию f с ее недостаточно определенной обратной функцией, которую необходимо определить:

$f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).$

Ясно, что в общем случае обратное Дирихле $f^{-1}(n)$ для f , т. е. однозначно определенной арифметической функции такой, что $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$, включает в себя суммы вложенных сумм делителей глубины от единицы до $\omega (n)$ где эта верхняя граница является простой омега-функцией , которая подсчитывает количество различных простых множителей числа n . Как показывает этот пример, мы можем сформулировать альтернативный способ построения значений обратной функции Дирихле посредством инверсии матрицы с нашими вариантами матриц Редхеффера: $R_{n}$.

Обобщения матричных форм Редхеффера: суммы НОД и другие матрицы, элементы которых означают включение в специальные множества.

Есть несколько часто цитируемых статей из достойных журналов, которые пытаются установить разложение теоретико-числовых сумм делителей, сверток и рядов Дирихле (и это лишь некоторые из них) через матричные представления. Помимо нетривиальных оценок соответствующего спектра и собственных пространств, связанных с поистине заметными и важными применениями этих представлений, основной механизм представления сумм этих форм через матричные произведения заключается в эффективном определении так называемой маскирующей матрицы , чья нуль или единица значимые записи означают включение в возрастающую последовательность наборов натуральных чисел $\{1,2,\ldots ,n\}$. Чтобы проиллюстрировать, что предыдущий жаргон имеет смысл при создании матричной системы для представления широкого диапазона специальных суммаций, рассмотрим следующую конструкцию: Пусть ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ быть последовательностью наборов индексов, и для любой фиксированной арифметической функции $f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C}$ определить суммы

$S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).$

Один из классов сумм, рассмотренных Мусави и Шмидтом (2017), определяет суммы относительно простых делителей, устанавливая наборы индексов в последнем определении как

${\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.$

Этот класс сумм можно использовать для выражения важных специальных арифметических функций, представляющих интерес для теории чисел, включая фи-функцию Эйлера (где классически мы определяем $m:=0$) как

$\varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},$

и даже функцию Мебиуса через ее представление в виде дискретного (конечного) преобразования Фурье:

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.$

Цитаты в полной статье дают другие примеры этого класса сумм, включая приложения к круговым полиномам (и их логарифмам). В упомянутой статье Мусави и Шмидта (2017) развивается метод разложения этих сумм, подобный теореме факторизации, который является аналогом результатов факторизации ряда Ламберта, приведенных в предыдущем разделе выше. Соответствующие матрицы и их обратные для этого определения наборов индексов. ${\mathcal {A}}_{n}$ тогда позвольте нам выполнить аналог обращения Мебиуса для сумм делителей, который можно использовать для выражения функций слагаемых f как квазисверточной суммы по элементам обратной матрицы и специальным функциям в левой части, таким как $\varphi (n)$ или $\mu (n)$ указано в последней паре примеров. Эти обратные матрицы обладают многими любопытными свойствами (и в настоящее время отсутствует хороший справочник, объединяющий их все), которые лучше всего выявить и донести до новых читателей при внимательном рассмотрении. Учитывая это, рассмотрим случай верхнего индекса $x:=21$ и соответствующие матрицы, определенные для этого случая, задаются следующим образом:

$\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&2&-1&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&1&0&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\-3&0&1&0&3&0&-1&-1&1&0&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&-2&0&0&1&0&0&1&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-3&0&2&0&2&0&-2&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&1&0\\-1&0&0&-1&1&1&0&-1&2&-1&-1&1&-1&1&1&-1&0&0&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right)$

Примеры обратимых матриц, которые определяют другие специальные суммы с нестандартными, однако ясными применениями, должны быть каталогизированы и перечислены в этом разделе обобщений для полноты. Существующее краткое изложение отношений инверсии и, в частности, точные критерии, при которых суммы этих форм могут быть обращены и связаны, можно найти во многих ссылках на ортогональные многочлены . Другие хорошие примеры этого типа факторизации для инвертирования отношений между суммами по достаточно обратимым или достаточно хорошо управляемым треугольным наборам весовых коэффициентов включают, формулу обращения Мёбиуса , биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга среди прочего, .

См. также

• Звездный продукт Редхеффера

Ссылки

• Редхеффер, Рэй (1977), «Явно решаемая задача оптимизации», Численные методы в задачах оптимизации, Том 3 (Конференция, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976) , Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, стр. 213–216, МР   0468170
• В. Барретт и Т. Джарвис (1992). «Спектральные свойства матрицы Редхеффера» . Линейная алгебра и ее приложения . 162–164: 673–683. дои : 10.1016/0024-3795(92)90401-У .
• Кардон, Дэвид А. (2010). «Матрицы ряда Дирихле» (PDF) . Журнал теории чисел . 130 : 27–39. arXiv : 0809.0076 . Бибкод : 2008arXiv0809.0076C . дои : 10.1016/j.jnt.2009.05.013 . S2CID   11407312 . Проверено 12 декабря 2018 г.

Внешние ссылки и цитаты на соответствующие работы

• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Редхеффера» . Математический мир .
• Кардинал Жан-Поль. «Симметричные матрицы, связанные с функцией Мертенса» . Проверено 12 декабря 2018 г.
• Клайн, Джеффри (2020). «О собственной структуре разреженных матриц, связанных с теоремой о простых числах» . Линейная алгебра и ее приложения . 584 : 409–430. дои : 10.1016/j.laa.2019.09.022 .