Свертка Дирихле

В математике свертка Дирихле (или свертка делителей ) — бинарная операция, определенная для арифметических функций ; это важно в теории чисел . Его разработал Питер Густав Лежен Дирихле .

Определение

Если $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ — это две арифметические функции от целых положительных чисел до комплексных чисел , Дирихле свертка f ∗ g — это новая арифметическая функция, определяемая формулой:

$(f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)$

где сумма распространяется на все положительные делители d числа n или, что то же самое, на все различные пары ( a , b ) натуральных чисел, произведение которых равно n .

Этот продукт естественным образом возникает при изучении рядов Дирихле, таких как дзета-функция Римана . Он описывает умножение двух рядов Дирихле через их коэффициенты:

$\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).$

Характеристики

Множество арифметических функций образует коммутативное кольцо . Кольцо Дирихле при поточечном сложении , где f + g определяется формулой ( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ) и сверткой Дирихле. Мультипликативное тождество — это единичная функция ε, определяемая формулой ε ( n ) = 1, если n = 1 , и ε ( n ) = 0, если n > 1 . Единицами ( (обратимыми элементами) этого кольца являются арифметические функции f с f 1) ≠ 0 .

Конкретно, Свертка Дирихле ассоциативна ,

$(f*g)*h=f*(g*h),$

дистрибутив над сложением

$f*(g+h)=f*g+f*h$,

коммутативный ,

$f*g=g*f$,

и имеет элемент идентификации,

$f*\varepsilon$ = $\varepsilon *f=f$.

Более того, для каждого $f$ имея $f(1)\neq 0$, существует арифметическая функция $f^{-1}$ с $f*f^{-1}=\varepsilon$, называемый Дирихле, обратный $f$.

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция, не всегда равная нулю, имеет обратную Дирихле, которая также является мультипликативной. Другими словами, мультипликативные функции образуют подгруппу группы обратимых элементов кольца Дирихле. Однако помните, что сумма двух мультипликативных функций не является мультипликативной (поскольку $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1$), поэтому подмножество мультипликативных функций не является подкольцом кольца Дирихле. В статье о мультипликативных функциях перечислены несколько отношений свертки между важными мультипликативными функциями.

Другая операция над арифметическими функциями — это поточечное умножение: fg определяется формулой ( fg )( n ) = f ( n ) g ( n ) . Учитывая полностью мультипликативную функцию $h$, поточечное умножение на $h$ распределяется по свертке Дирихле: $(f*g)h=(fh)*(gh)$. Свертка двух полностью мультипликативных функций является мультипликативной, но не обязательно полностью мультипликативной.

Свойства и примеры

В этих формулах мы используем следующие арифметические функции :

• $\varepsilon$ является мультипликативным тождеством: $\varepsilon (1)=1$, иначе 0 ( $\varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor$).
• $1$ — постоянная функция со значением 1: $1(n)=1$ для всех $n$. Имейте в виду, что $1$ это не личность. (Некоторые авторы обозначают это как $\zeta$ потому что соответствующий ряд Дирихле представляет собой дзета-функцию Римана .)
• $1_{C}$ для $C\subset \mathbb {N}$ — установленная индикаторная функция : $1_{C}(n)=1$ если только $n\in C$, иначе 0.
• ${\text{Id}}$ — это тождественная функция со значением n : ${\text{Id}}(n)=n$.
• ${\text{Id}}_{k}$– k- я степенная функция: ${\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}$.

Имеют место следующие соотношения:

• $1*\mu =\varepsilon$, обратная Дирихле постоянной функции $1$ — функция Мёбиуса (см. доказательство ). Следовательно:
• $g=f*1$ тогда и только тогда, когда $f=g*\mu$, формула обращения Мёбиуса
• $\sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1$, функция суммы делителей k-й степени σ _k
• $\sigma ={\text{Id}}*1$, функция суммы делителей σ = σ ₁
• $\tau =1*1$ , функция числа делителей τ ( n ) = σ ₀
• ${\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu$, путем обращения Мёбиуса формул для σ _k , σ и τ
• ${\text{Id}}=\sigma *\mu$
• $1=\tau *\mu$
• $\phi *1={\text{Id}}$ , доказанное с помощью функции тотента Эйлера
• $\phi ={\text{Id}}*\mu$ , методом обращения Мёбиуса
• $\sigma =\phi *\tau$ , от свертки 1 с обеих сторон $\phi *1={\text{Id}}$
• $\lambda *|\mu |=\varepsilon$ где λ — функция Лиувилля
• $\lambda *1=1_{\text{Sq}}$ где Sq = {1, 4, 9, ...} — множество квадратов
• ${\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon$
• $\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}$
• $J_{k}*1={\text{Id}}_{k}$, функция Жордана
• $({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}$
• $\Lambda *1=\log$, где $\Lambda$ это функция фон Мангольдта
• $|\mu |\ast 1=2^{\omega },$ где $\omega (n)$ — простая омега-функция, считающая различные простые множители n
• $\Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}$, характеристическая функция простых степеней.
• $\omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }$ где $1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}$ — характеристическая функция простых чисел.

Это последнее тождество показывает, что функция подсчета простых чисел задается суммирующей функцией

$\pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)$

где $M(x)$ – функция Мертенса и $\omega$ - это отдельная функция подсчета простых множителей, указанная выше. Это разложение следует из тождества сумм по сверткам Дирихле, приведенных на странице тождества сумм дивизоров (стандартный прием для этих сумм).

Обратный Дирихле

Примеры

Учитывая арифметическую функцию $f$ его обращение Дирихле $g=f^{-1}$ может быть вычислено рекурсивно: значение $g(n)$ это с точки зрения $g(m)$ для $m<n$.

Для $n=1$:

$(f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1$, так

$g(1)=1/f(1)$. Это означает, что $f$ не имеет обратного Дирихле, если $f(1)=0$.

Для $n=2$:

$(f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0$,

$g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)$,

Для $n=3$:

$(f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0$,

$g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)$,

Для $n=4$:

$(f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0$,

$g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)$,

и вообще для $n>1$,

$g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).$

Характеристики

Имеют место следующие свойства обратного Дирихле:

• Функция f имеет обратную Дирихле тогда и только тогда, когда f (1) ≠ 0 .
• Обращение Дирихле к мультипликативной функции снова мультипликативно.
• Обратная свертка Дирихле к Дирихле — это свертка обратных каждой функции: $(f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}$.
• Мультипликативная функция f тогда вполне мультипликативна и только тогда, когда $f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)$.
• Если f , вполне мультипликативна то $(f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}$ в любое время $g(1)\neq 0$ и где $\cdot$ обозначает поточечное умножение функций.

Другие формулы

Арифметическая функция	Обратный Дирихле:
Постоянная функция со значением 1	Функция Мёбиуса μ
$n^{\alpha }$	$\mu (n)\,n^{\alpha }$
Функция Лиувилля λ	Абсолютное значение функции Мёбиуса | | |
Функция Эйлера $\varphi$	$\sum _{d|n}d\,\mu (d)$
Обобщенная функция суммы делителей $\sigma _{\alpha }$	$\sum _{d|n}d^{\alpha }\mu (d)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)$

Точная нерекурсивная формула для обратной Дирихле любой арифметической функции f приведена в тождествах суммы делителей . Более теоретическое Дирихле выражение для обратного к f дается выражением

$f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.$

Следующая формула обеспечивает компактный способ выражения обратной арифметической функции Дирихле обратимой арифметической функции f :

$f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}$

где выражение $(f(1)\varepsilon -f)^{*k}$ обозначает арифметическую функцию $f(1)\varepsilon -f$ свернутый сам с собой k раз. Обратите внимание, что для фиксированного положительного целого числа $n$, если $k>\Omega (n)$ затем $(f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0$ , это потому что $f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0$ и каждый способ выражения n как произведения k положительных целых чисел должен включать 1, поэтому ряд в правой части сходится для каждого фиксированного положительного целого числа n.

Серия Дирихле

Если f — арифметическая функция, ряда Дирихле производящая функция определяется формулой

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

для тех комплексных аргументов s , при которых ряд сходится (если таковые имеются). Умножение рядов Дирихле совместимо со сверткой Дирихле в следующем смысле:

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

для всех s, для которых сходятся оба ряда левой части, хотя бы один из них сходится абсолютно (заметим, что простая сходимость обоих рядов левой части не влечет за собой сходимость правой части!). Это похоже на теорему о свертке , если рассматривать ряд Дирихле как преобразование Фурье .

Связанные понятия

Ограничение дивизоров в свертке на унитарные , биунитарные или бесконечные делители определяет аналогичные коммутативные операции, которые имеют много общих черт со сверткой Дирихле (существование обращения Мёбиуса, сохранение мультипликативности, определения тоентов, формулы произведения типа Эйлера над ассоциированные простые числа и т. д.).

Свертка Дирихле — это частный случай умножения свертки для алгебры инцидентности ЧУУ , в данном случае ЧУУ положительных целых чисел, упорядоченных по делимости.

См. также

• Арифметическая функция
• Тождества суммы делителей
• Формула обращения Мёбиуса

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Чан, Хэн Хуат (2009). Аналитическая теория чисел для студентов . Монографии по теории чисел. Мировое научное издательство. ISBN  978-981-4271-36-3 .
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. п. 38. ISBN  978-0-521-84903-6 .
• Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных с ними арифметических функций. I. Обобщение обращения Мёбиуса». Пасифик Дж. Математика . Том. 9, нет. 1. С. 13–23. МР   0109806 .
• Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. дои : 10.1007/BF01180473 . МР   0112861 .
• Коэн, Экфорд (1960). «Количество унитарных делителей целого числа». Американский математический ежемесячник . Том. 67, нет. 9. стр. 879–880. МР   0122790 .
• Коэн, Грэм Л. (1990). «О бесконечных делителях целых чисел» . Математика. Комп . 54 (189): 395–411. дои : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . МР   0993927 .
• Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа» . Межд. Дж. Математика. Математика. Наука . 16 (2): 373–383. дои : 10.1155/S0161171293000456 .
• Хаукканен, Пентти (2000). «Выражения для обратных Дирихле арифметических функций» . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 6 (4): 118–124.
• Шандор, Йожеф; Берге, Антал (2003). «Функция Мёбиуса: обобщения и расширения». Адв. Стад. Созерцание Математика. (Кёншан) . 6 (2): 77–128. МР   1962765 .
• Финч, Стивен (2004). «Унитаризм и инфинитаризм» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 февраля 2015 г.

Внешние ссылки

• «Свертка Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]