Полностью мультипликативная функция

В теории чисел функции натуральных чисел , которые относятся к произведениям, важны и называются полностью мультипликативными функциями или полностью мультипликативными функциями . Важно также более слабое условие, касающееся только произведений взаимно простых чисел, и такие функции называются мультипликативными функциями . За пределами теории чисел термин «мультипликативная функция» часто воспринимается как синоним «полностью мультипликативной функции», как она определена в этой статье.

Определение

Полностью мультипликативная функция (или полностью мультипликативная функция) — это арифметическая функция (то есть функция, областью определения которой являются натуральные числа ), такая, что f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) справедливо для всех положительных целых чисел a и b .

В логических обозначениях: $f(1)=1$ и $\forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)f(b)$.

Без требования f (1) = 1 можно было бы иметь f (1) = 0, но тогда f ( a ) = 0 для всех натуральных чисел a , так что это не очень сильное ограничение. Если кто-то не исправил $f(1)=1$, видно, что оба $0$ и $1$ это возможности для стоимости $f(1)$ следующим образом: $${\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}$$

выше определение можно перефразировать на языке алгебры: вполне мультипликативная функция — это гомоморфизм моноида Приведенное $(\mathbb {Z} ^{+},\cdot )$ (то есть целые положительные числа при умножении) на какой-либо другой моноид.

Примеры

Самый простой пример полностью мультипликативной функции — это моном со старшим коэффициентом 1: для любого конкретного положительного целого числа n определите f ( a ) = a ^н . Тогда f ( bc ) = ( bc ) ^н = б ^н с ^н знак равно ж ( б ) ж ( c ) и ж (1) = 1 ^н = 1.

Функция Лиувилля является нетривиальным примером полностью мультипликативной функции, как и символы Дирихле , символ Якоби и символ Лежандра .

Характеристики

Полностью мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в простых числах, что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^а д ^б ..., тогда ж ( п ) = ж ( п ) ^а ж ( q ) ^б ...

Хотя свертка Дирихле двух мультипликативных функций является мультипликативной, свертка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязательно должна быть полностью мультипликативной.

Существует множество утверждений о функции, которые эквивалентны ее полной мультипликативности. Например, если функция f мультипликативна, то она полностью мультипликативна тогда и только тогда, когда ее обратная функция Дирихле равна $\mu \cdot f$ где $\mu$ — функция Мёбиуса .

Вполне мультипликативные функции также удовлетворяют распределительному закону. Если f вполне мультипликативна, то

$f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)$

где * представляет произведение Дирихле и $\cdot$ представляет собой поточечное умножение . Одним из следствий этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции f имеем

$f*f=\tau \cdot f$

что можно вывести из вышесказанного, поставив оба $g=h=1$, где $1(n)=1$ — постоянная функция .Здесь $\tau$ это функция делителя .

Доказательство распределительной собственности

${\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}$

Серия Дирихле

L-функция вполне (или вполне) мультипликативного ряда Дирихле $a(n)$ удовлетворяет

$L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},$

это означает, что сумма по всем натуральным числам равна произведению по всем простым числам.

См. также

• Арифметическая функция
• L-функция Дирихле
• Серия Дирихле
• Мультипликативная функция