Мультипликативная функция

За пределами теории чисел термин мультипликативная функция обычно используется для обозначения полностью мультипликативных функций . В этой статье обсуждаются теоретико-числовые мультипликативные функции.

В теории чисел мультипликативная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительного целого числа n, обладающая тем свойством, что f (1) = 1 и

$$f(ab)=f(a)f(b)$$

всякий раз, когда a и b просты взаимно .

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех натуральных чисел a и b , даже когда они не взаимнопросты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для упрощения написания формул:

• 1( n ): постоянная функция, определяемая формулой 1( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
• Id( n ): тождественная функция , определяемая Id( n ) = n (полностью мультипликативная)
• Id _k ( n ): степенные функции, определяемые Id _k ( n ) = n ^к для любого комплексного числа k (вполне мультипликативно). В качестве особых случаев мы имеем
  • Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
  • Ид ₁ ( п ) = Ид ( п ).
• ε ( n ): функция, определяемая формулой ε ( n ) = 1, если n = 1 и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не путать с µ ( n ).
• 1 _C ( n ), индикаторная функция множества C ⊂ Z , для некоторых C. множеств Индикаторная функция 1 _C ( n ) является мультипликативной именно тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел a и b : произведение ab находится в C числа a и b сами находятся в C. тогда и только тогда, когда Это тот случай, если C — это набор квадратов, кубов или k -й степени, или если C — это набор чисел без квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают множество важных функций в теории чисел, таких как:

• gcd( n , k ): общий делитель n наибольший и k как функция от n , где k — фиксированное целое число.
• $\varphi (n)$: полная функция Эйлера $\varphi$, считая положительные целые числа, взаимно простые (но не большие) n
• µ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетного, +1 для четного) количества простых делителей чисел без квадратов ; 0, если n не является свободным от квадратов
• σ _k ( n ): функция делителя , которая представляет собой сумму k -ых степеней всех положительных делителей числа n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть
  • σ ₀ ( n = d ( n ) количество положительных делителей n ) ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей n .
• Сумма k -ых степеней унитарных делителей обозначается σ* _k ( n ):

$\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

• a ( n ): количество неизоморфных абелевых групп порядка n .
• λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ом ( п )} где Ω( n ) — общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящих n . (полностью мультипликативный).
• γ ( n ), определяемый формулой γ ( n ) = (−1) ^{на )} , где аддитивная функция ω ( n ) — это количество различных простых чисел, делящих n .
• τ ( n ): тау-функция Рамануджана .
• Все характеры Дирихле являются вполне мультипликативными функциями. Например
  • ( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция от n , где p — фиксированное простое число .

Примером немультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) — количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нулевых , где при подсчете количества способов происходит обращение заказ разрешен. Например:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

и, следовательно, r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n )/4 мультипликативна.

В Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «мульт».

См. арифметическую функцию для некоторых других примеров немульпликативных функций.

Свойства

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^а д ^б ..., затем ж ( п ) знак равно ж ( п ^а ) f ( q ^б ) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает необходимость вычислений, как в следующих примерах для n = 144 = 2. ⁴ · 3 ² :

$$d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15$$

$$\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403$$

$$\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170$$

Аналогично у нас есть:

$$\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48$$

В общем случае, если f ( n ) — мультипликативная функция и a , b — любые два положительных целых числа, то

ж ( а ) · ж ( б ) знак равно ж ( НОД ( а , б )) · ж ( lcm ( а , б )).

Всякая вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом моноидов и полностью определяется своим ограничением на простые числа.

Свертка

Если f и g — две мультипликативные функции, определяется новая мультипликативная функция. $f*g$, свертка Дирихле f и g , по

$$(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)$$

где сумма распространяется на все положительные делители d числа n . При этой операции множество всех мультипликативных функций превращается в абелеву группу ; единичный элемент - ε . Свертка является коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной по отношению к сложению.

Отношения между мультипликативными функциями, обсуждавшимися выше, включают:

• $\mu *1=\varepsilon$ ( формула обращения Мёбиуса )
• $(\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon$ (обобщенная инверсия Мёбиуса)
• $\varphi *1=\operatorname {Id}$
• $d=1*1$
• $\sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d$
• $\sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1$
• $\operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu$
• $\operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu$

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Доказательством этого факта является следующее разложение для относительно простых $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$:

$${\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}$$

Дирихле для некоторых

• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

Больше примеров показано в статье о сериях Дирихле .

Рациональные арифметические функции

Арифметическая функция f называется рациональной арифметической функцией порядка $(r,s)$если существуют вполне мультипликативные функции g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _таков , что

$$f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},$$

где обратные относительно свертки Дирихле. Рациональные арифметические функции порядка $(1,1)$ известны как тотент-функции и рациональные арифметические функции порядка $(2,0)$известны как квадратичные функции или, в частности, мультипликативные функции. функция Эйлера $\varphi (n)$ является тотентной функцией, а функция делителя $\sigma _{k}(n)$является квадратичной функцией. Вполне мультипликативные функции — это рациональные арифметические функции порядка $(1,0)$. Функция Лиувилля $\lambda (n)$является полностью мультипликативным. Функция Мёбиуса $\mu (n)$ является рациональной арифметической функцией порядка $(0,1)$. По соглашению, элемент идентификации $\varepsilon$ при свертке Дирихле является рациональной арифметической функцией порядка $(0,0)$.

Все рациональные арифметические функции мультипликативны. Мультипликативная функция f — это рациональная арифметическая функция порядка $(r,s)$ тогда и только тогда, когда его ряд Белла имеет вид

$${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}$$

для всех простых чисел $p$.

Понятие рациональной арифметической функции исходит от Р. Вайдьянатхасвами (1931).

Мультипликативная функция над F _q [ X ]

Пусть A = F _q [ X ] — кольцо полиномов над конечным полем с q элементами. A — область главных идеалов, и, следовательно, A — уникальная область факторизации .

Комплексная функция $\lambda$ на A называется мультипликативным , если $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ всякий раз, когда f и g взаимно просты .

Дзета-функция и ряд Дирихле в F _q [ X ]

Пусть h — полиномиальная арифметическая функция (т.е. функция на множестве монических многочленов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

$$D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},$$

где для $g\in A,$ набор $|g|=q^{\deg(g)}$ если $g\neq 0,$ и $|g|=0$ в противном случае.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет равна

$$\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.$$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения ( произведение Эйлера ):

$$D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),$$

где произведение пробегает все монические неприводимые полиномы P . Например, представление произведения дзета-функции такое же, как и для целых чисел:

$$\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.$$

В отличие от классической дзета-функции , $\zeta _{A}(s)$ — простая рациональная функция:

$$\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.$$

Аналогичным образом, если f и g — две полиномиальные арифметические функции, определяется f * g , свертка Дирихле f и формуле g , по

$${\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}$$

где сумма ведется по всем моническим делителям d числа m или, что то же самое, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведением которых является m . Личность $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ все еще держится.

Многомерный

Многомерные функции могут быть построены с использованием средств оценки мультипликативной модели. Где матричная функция A определяется как

$$D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2$$

сумму можно распределить по товару

$$y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}$$

Для эффективной оценки Σ (.) следующие две непараметрические регрессии : можно рассмотреть

$${\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),$$

и

$$y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).$$

Таким образом, он дает оценочную стоимость

$$L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}$$

с локальной функцией правдоподобия для $y_{t}^{2}$ с известными $g_{t}$ и неизвестный $\sigma ^{2}(t/T)$.

Обобщения

Арифметическая функция $f$является квазимультипликативный, если существует ненулевая константа $c$ такой, что $c\,f(mn)=f(m)f(n)$ для всех положительных целых чисел $m,n$ с $(m,n)=1$. Эта концепция исходит от Лахири (1972).

Арифметическая функция $f$является полумультипликативным если существует ненулевая константа $c$, положительное целое число $a$и мультипликативная функция $f_{m}$ такой, что $f(n)=cf_{m}(n/a)$ для всех положительных целых чисел $n$ (в соответствии с соглашением, что $f_{m}(x)=0$ если $x$ не является целым положительным числом.) Эта концепция принадлежит Дэвиду Ририку (1966).

Арифметическая функция $f$является мультипликативным по Сельбергу, если для каждого простого числа $p$ существует функция $f_{p}$ на неотрицательных целых числах с $f_{p}(0)=1$для все, кроме конечного числа простых чисел $p$ такой, что $f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))$ для всех положительных целых чисел $n$, где $\nu _{p}(n)$ является показателем $p$ в канонической факторизации $n$.

Известно, что классы полумультипликативных и мультипликативных функций Сельберга совпадают. Оба они удовлетворяют арифметическому тождеству $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$ для всех положительных целых чисел $m,n$. См. Хаукканен (2012).

Хорошо известно и легко видеть, что мультипликативные функции — это квазимультипликативные функции с $c=1$ а квазимультипликативные функции — полумультипликативные функции с $a=1$.

См. также

• произведение Эйлера
• Серия колоколов
• Серия Ламберт

Ссылки

• См. главу 2 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Хафнер, Кристиан М.; Линтон, Оливер (2010). «Эффективная оценка многомерной мультипликативной модели волатильности» (PDF) . Журнал эконометрики . 159 (1): 55–73. doi : 10.1016/j.jeconom.2010.04.007 . S2CID   54812323 .
• П. Хаукканен (2012). «Расширения класса мультипликативных функций» . Восток-Западный математический журнал . 14 (2): 101–113.
• Д.Б. Лахири (1972). «Гипомультипликативные теоретико-числовые функции». уравнения Математические 8 (3): 316–317.

• Д. Рерик (1966). «Полумультипликативные функции». Герцог Мат. Дж . 33 : 49–53.
• Р. Вайдьянатхасвами (1931). «Теория мультипликативных арифметических функций» . Труды Американского математического общества . 33 (2): 579–662. дои : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .

Внешние ссылки

• Мультипликативная функция в PlanetMath .