Серия Ламберт

В математике ряд Ламберта , названный в честь Иоганна Генриха Ламберта , представляет собой ряд, имеющий вид

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.

его можно возобновить, Формально расширив знаменатель:

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}

коэффициенты нового ряда задаются сверткой Дирихле n с _где постоянной функцией 1( n ) = 1:

b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,

Этот ряд может быть обращен с помощью формулы обращения Мёбиуса и является примером преобразования Мёбиуса .

Примеры

Поскольку эта последняя сумма является типичной теоретико-числовой суммой, почти любая естественная мультипликативная функция будет точно суммируема при использовании в ряду Ламберта. Так, например, имеется

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}

где $\sigma _{0}(n)=d(n)$ — количество положительных делителей числа n .

более высокого порядка Для функций суммы делителей имеем

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}

где $\alpha$ любое комплексное число и

\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,

является функцией делителя. В частности, для $\alpha =1$ , получается ряд Ламберта

q{\frac {F'(q)}{F(q)}}

что (с точностью до множителя $q$ ) логарифмическая производная обычной производящей функции для номеров разделов

F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.

Дополнительные серии Ламберта, связанные с предыдущей идентичностью, включают серии для вариантов Функция Мёбиуса приведена ниже $\mu (n)$

^[2]

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.

Родственные ряды Ламберта над функцией Мёбиуса включают следующие тождества для любого основной $\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}$ :

\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}=q-2q^{2}

\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.

^{[ нужна ссылка ]}

Доказательство первого тождества выше следует из многосекционного (или пополам) тождества этих Производящие функции ряда Ламберта в следующем виде, где мы обозначим $L_{f}(q):=q$ быть производящей функцией ряда Ламберта арифметической функции f :

{\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}

Для функции Эйлера $\varphi (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.

Для функции Мангольдта $\Lambda (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}

Для функции Лиувилля $\lambda (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}

с суммой справа, аналогичной тэта-функции Рамануджана или тэта-функции Якоби $\vartheta _{3}(q)$ . Обратите внимание, что ряды Ламберта, в которых a _n являются тригонометрическими функциями , например a _n = sin(2 n x ), могут быть вычислены с помощью различных комбинаций логарифмических производных Якоби тета-функций .

Вообще говоря, мы можем расширить предыдущее разложение производящей функции, полагая $\chi _{m}(n)$ обозначим характеристическую функцию $m^{th}$ полномочия, $n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}$ , для положительных натуральных чисел $m>2$ и определение обобщенной лямбда-функции m -Лиувилля как арифметической функции, удовлетворяющей $\chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)$ . Это определение $\lambda _{m}(n)$ явно подразумевает, что $\lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)$ , что, в свою очередь, показывает, что

\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.

У нас также есть немного более обобщенное разложение в ряд Ламберта, генерирующее функцию суммы квадратов $r_{2}(n)$ в виде ^[3]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.

В общем случае, если записать ряд Ламберта $f(n)$ который генерирует арифметические функции $g(m)=(f\ast 1)(m)$ , следующие пары функций соответствуют другим известным сверткам, выраженным их производящими функциями ряда Ламберта в виде

(f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),

где $\varepsilon (n)=\delta _{n,1}$ – мультипликативное тождество для сверток Дирихле , $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ является тождественной функцией для $k^{th}$ полномочия, $\chi _{\operatorname {sq} }$ обозначает характеристическую функцию квадратов, $\omega (n)$ который подсчитывает количество различных простых делителей $n$ (см. функцию «простая омега» ), $J_{t}$ — функция Жордана , и $d(n)=\sigma _{0}(n)$ — функция делителя (см. свертки Дирихле ).

Традиционное использование буквы q в суммировании является историческим употреблением, относящимся к ее истокам в теории эллиптических кривых и тета-функций, как нома .

Альтернативная форма

Замена $q=e^{-z}$ получаем другую общую форму ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}

где

b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,

как раньше. Примеры рядов Ламберта в этой форме с $z=2\pi$ , встречаются в выражениях дзета-функции Римана для нечетных целых значений; см . в разделе «Дзета-константы» подробности .

Текущее использование

В литературе мы находим ряды Ламберта, применяемые к самым разным суммам. Например, поскольку $q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})$ является функцией полилогарифма , мы можем относиться к любой сумме вида

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}

как ряд Ламберта, предполагая, что параметры соответствующим образом ограничены. Таким образом

12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),

которое справедливо для всех комплексных q, не принадлежащих единичному кругу, будет считаться тождеством ряда Ламберта. Это тождество прямым образом следует из некоторых тождеств, опубликованных индийским математиком С. Рамануджаном . Очень тщательное исследование творчества Рамануджана можно найти в работах Брюса Берндта .

Теоремы факторизации

Несколько более новая конструкция, опубликованная недавно в 2017–2018 годах, связана с так называемыми теоремами факторизации рядов Ламберта вида ^[4]

\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},

где $s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}$ представляет собой соответствующую сумму или разность ограниченные функции разделов $s_{e/o}(n,k)$ которые обозначают количество $k$ во всех разделах $n$ на четное (соответственно нечетное ) количество различных частей. Позволять $s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}$ обозначают обратимую нижнюю треугольную последовательность, первые несколько значений которой показаны в таблице ниже.

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	-1	-1	1	0	0	0	0	0
4	-1	0	-1	1	0	0	0	0
5	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0
6	0	0	1	-1	-1	1	0	0
7	0	0	-1	0	-1	-1	1	0
8	1	0	0	1	0	-1	-1	1

Другая характерная форма разложений по теореме факторизации в ряды Ламберта дается выражением ^[5]

L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},

где $(q;q)_{\infty }$ — (бесконечный) символ q-Похгаммера . Обратимые матричные произведения в правой части предыдущего уравнения соответствуют обратным матричным произведениям, нижние треугольные элементы которых заданы через статистическую сумму и функцию Мёбиуса с помощью сумм делителей

s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)

В следующей таблице перечислены первые несколько строк соответствующих обратных матриц. ^[6]

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	1	1	1	0	0	0	0	0
4	2	1	1	1	0	0	0	0
5	4	3	2	1	1	0	0	0
6	5	3	2	2	1	1	0	0
7	10	7	5	3	2	1	1	0
8	12	9	6	4	3	2	1	1

Мы позволяем $G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil$ обозначают последовательность перемежающихся пятиугольных чисел , т. е. так, что теорема о пятиугольных числах разлагается в виде

(q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.

Тогда для любого ряда Ламберта $L_{f}(q)$ генерирование последовательности $g(n)=(f\ast 1)(n)$ , мы имеем соответствующее соотношение обращения расширенной выше теоремы о факторизации, заданное формулой ^[7]

f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).

Эта работа по теоремам факторизации рядов Ламберта продолжена в ^[8] к более общим расширениям формы

\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},

где $C(q)$ любая (связанная с разбиением) обратная производящая функция, $\gamma (n)$ — любая арифметическая функция , и где модифицированные коэффициенты расширяются на

{\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).

Соответствующие обратные матрицы в приведенном выше разложении удовлетворяют

s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),

так что, как и в первом варианте факторизационной теоремы Ламберта выше, мы получаем соотношение обращения для коэффициентов правой части вида

{\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).

Рекуррентные отношения

В этом разделе мы определяем следующие функции для натуральных чисел $n,x\geq 1$ :

g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),

\Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).

Примем также обозначения из предыдущего раздела, что

s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},

где $(q;q)_{\infty }$ — бесконечный символ q-Похгаммера . Тогда мы имеем следующие рекуррентные соотношения для включения этих функций и пятиугольных чисел, доказанных в: ^[7]

g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),

\Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).

Производные

Производные ряда Ламберта можно получить почленным дифференцированием ряда по $q$ . Имеем следующие тождества для терминального $s^{th}$ производные ряда Ламберта для любого $s\geq 1$ ^[9]^[10]

q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}

q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},

где треугольные коэффициенты в скобках в предыдущих уравнениях обозначают числа Стирлинга первого и второго рода . У нас также есть следующее тождество для извлечения отдельных коэффициентов членов, неявно присутствующих в предыдущих разложениях, заданных в виде

[q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.

Теперь, если мы определим функции $A_{t}(n)$ для любого $n,t\geq 1$ к

A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },

где $[\cdot ]_{\delta }$ обозначает соглашение Айверсона , то мы имеем коэффициенты для $t^{th}$ производные ряда Ламберта данный

{\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}

Конечно, с помощью типичного рассуждения, основанного исключительно на операциях над формальными степенными рядами, мы также получаем, что

[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).

См. также

Ссылки

^ «Просмотрщик блокнотов Jupyter» .
^ См. сообщение на форуме здесь (или статью arXiv : 1112.4911 ) и раздел выводов arXiv : 1712.00611 Мерки и Шмидта (2018), где описано использование этих двух менее стандартных рядов Ламберта для функции Мебиуса в практических приложениях.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта» . Математический мир . Проверено 22 апреля 2018 г.
^ Мерка, Мирча (13 января 2017 г.). «Теорема факторизации ряда Ламберта». Журнал Рамануджана . 44 (2): 417–435. дои : 10.1007/s11139-016-9856-3 . S2CID 125286799 .
^ Мерка, М. и Шмидт, доктор медицинских наук (2019). «Построение специальных арифметических функций с помощью факторизации рядов Ламберта» . Вклад в дискретную математику . 14 (1): 31–45. arXiv : 1706.00393 . Бибкод : 2017arXiv170600393M . дои : 10.11575/cdm.v14i1.62425 .
^ «А133732» . Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей . Проверено 22 апреля 2018 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Шмидт, Макси Д. (8 декабря 2017 г.). «Новые рекуррентные соотношения и матричные уравнения для арифметических функций, порожденных рядом Ламберта». Акта Арифметика . 181 (4): 355–367. arXiv : 1701.06257 . Бибкод : 2017arXiv170106257S . дои : 10.4064/aa170217-4-8 . S2CID 119130467 .
^ М. Мерка и Шмидт, доктор медицинских наук (2017). «Новые пары факторов для факторизации производящих функций ряда Ламберта». arXiv : 1706.02359 [ math.CO ].
^ Шмидт, Макси Д. (2017). «Комбинаторные суммы и тождества, включающие функции обобщенных делителей с ограниченными делителями». arXiv : 1704.05595 [ math.NT ].
^ Шмидт, Макси Д. (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].

Берри, Майкл В. (2010). Функции теории чисел . ПРЕССА КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. стр. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5 .
Ламберт, Престон А. (1904). «Разложения алгебраических функций в особых точках». Учеб. Являюсь. Филос. Соц . 43 (176): 164–172. JSTOR 983503 .
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001
«Ряд Ламберта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта» . Математический мир .
Шмидт, Макси Дион (06 апреля 2020 г.). «Каталог интересных и полезных тождеств из серии Ламберта». arXiv : 2004.02976 [ math.NT ].

[1] «Просмотрщик блокнотов Jupyter» .

[2] См. сообщение на форуме здесь (или статью arXiv : 1112.4911 ) и раздел выводов arXiv : 1712.00611 Мерки и Шмидта (2018), где описано использование этих двух менее стандартных рядов Ламберта для функции Мебиуса в практических приложениях.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта» . Математический мир . Проверено 22 апреля 2018 г.

[4] Мерка, Мирча (13 января 2017 г.). «Теорема факторизации ряда Ламберта». Журнал Рамануджана . 44 (2): 417–435. дои : 10.1007/s11139-016-9856-3 . S2CID 125286799 .

[5] Мерка, М. и Шмидт, доктор медицинских наук (2019). «Построение специальных арифметических функций с помощью факторизации рядов Ламберта» . Вклад в дискретную математику . 14 (1): 31–45. arXiv : 1706.00393 . Бибкод : 2017arXiv170600393M . дои : 10.11575/cdm.v14i1.62425 .

[6] «А133732» . Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей . Проверено 22 апреля 2018 г.

[SCHMIDT_ACTA-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Шмидт, Макси Д. (8 декабря 2017 г.). «Новые рекуррентные соотношения и матричные уравнения для арифметических функций, порожденных рядом Ламберта». Акта Арифметика . 181 (4): 355–367. arXiv : 1701.06257 . Бибкод : 2017arXiv170106257S . дои : 10.4064/aa170217-4-8 . S2CID 119130467 .

[8] М. Мерка и Шмидт, доктор медицинских наук (2017). «Новые пары факторов для факторизации производящих функций ряда Ламберта». arXiv : 1706.02359 [ math.CO ].

[9] Шмидт, Макси Д. (2017). «Комбинаторные суммы и тождества, включающие функции обобщенных делителей с ограниченными делителями». arXiv : 1704.05595 [ math.NT ].

[10] Шмидт, Макси Д. (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]