Функция суммы квадратов

В теории чисел функция суммы квадратов — это арифметическая функция , которая дает количество представлений для данного положительного целого числа $n$ как сумму $k$ квадратов , где представления, которые отличаются только порядком слагаемых или знаками чисел квадраты считаются разными. Он обозначается $r k (n)$ .

Определение

Функция как определяется

r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|

где $|\,\ |$ обозначает мощность множества . Другими словами, $rk — это (n)$ количество способов $n$ записать $в виде суммы k$ квадратов.

Например, $r_{2}(1)=4$ с $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ где каждая сумма имеет две комбинации знаков, а также $r_{2}(2)=4$ с $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ с четырьмя комбинациями знаков. С другой стороны, $r_{2}(3)=0$ потому что невозможно представить число 3 как сумму двух квадратов.

Формулы

к = 2

Количество способов записать натуральное число в виде суммы двух квадратов равно $r 2 (n)$ . Оно задается явно

r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))

где $d 1 (n)$ — количество делителей числа $n$ , совпадающих с 1 по модулю 4, а $d 3 (n)$ — количество делителей числа $n$ , совпадающих с 3 по модулю 4. Используя суммы, выражение можно записать как :

r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}

Простая факторизация $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$ , где $p_{i}$ являются простыми факторами формы $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},$ и $q_{i}$ являются простыми факторами формы $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ дает другую формулу

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

, если все показатели

h_{1},h_{2},\cdots

четные . Если один или несколько

h_{i}

странные то ,

r_{2}(n)=0

.

к = 3

Гаусс доказал, что для бесквадратного числа $n >$ 4

r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}

где $h (m)$ обозначает номер класса целого числа $m$ .

Существуют расширения формулы Гаусса до произвольного целого числа $n$ . ^[1]^[2]

к = 4

Число способов представления $n$ в виде суммы четырех квадратов принадлежит Карлу Густаву Якобу Якоби и в восемь раз превышает сумму всех его делителей, не делящихся на 4, т. е.

r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.

Представляя $n = 2 к m$ , где m — нечетное целое число, можно выразить $r_{4}(n)$ с точки зрения функции делителя следующим образом:

r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).

к = 6

Количество способов представить $n$ в виде суммы шести квадратов определяется выражением

r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},

где $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ является символом Кронекера . ^[3]

к = 8

Якоби также нашел явную формулу для случая $k = 8$ : ^[3]

r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.

Генерирующая функция

функция Производящая последовательности $r_{k}(n)$ при фиксированном $k$ можно выразить через тета-функцию Якоби : ^[4]

\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},

где

\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .

Числовые значения

Первые 30 значений для $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ перечислены в таблице ниже:

н	=	р ₁ ( п )	р ₂ ( п )	р ₃ ( п )	р ₄ ( п )	р ₅ ( п )	р ₆ ( п )	r7 ( н )	r8 ₎ ( н
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2 ²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2 ³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3 ²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2 ²×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2 ⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3 ²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2 ²×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2 ³×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5 ²	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3 ³	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2 ²×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

См. также

Ссылки

^ П. Т. Бэйтман (1951). «О представлении числа в виде суммы трех квадратов» (PDF) . Пер. амер. Математика. Соц . 71 : 70–101. дои : 10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4 .
^ С. Бхаргава; Чандрашекар Адига; Д.Д. Сомашекара (1993). «Теорема трех квадратов как применение тождества Эндрюса» (PDF) . Кварта Фибоначчи . 31 (2): 129–133.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Х. (2007). «5.4 Следствия теоремы Хассе – Минковского». Теория чисел, том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Спрингер. ISBN 978-0-387-49922-2 .
^ Милн, Стивен К. (2002). "Введение". Бесконечные семейства формул точных сумм квадратов, эллиптических функций Якоби, цепных дробей и функций Шура . Springer Science & Business Media. п. 9. ISBN 1402004915 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Функция суммы квадратов» . Математический мир .
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A122141 (количество способов записи n в виде суммы d квадратов)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004018 (Тета-серия квадратной решетки, r_2 (n))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1] П. Т. Бэйтман (1951). «О представлении числа в виде суммы трех квадратов» (PDF) . Пер. амер. Математика. Соц . 71 : 70–101. дои : 10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4 .

[2] С. Бхаргава; Чандрашекар Адига; Д.Д. Сомашекара (1993). «Теорема трех квадратов как применение тождества Эндрюса» (PDF) . Кварта Фибоначчи . 31 (2): 129–133.

[Cohen2007-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Х. (2007). «5.4 Следствия теоремы Хассе – Минковского». Теория чисел, том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Спрингер. ISBN 978-0-387-49922-2 .

[4] Милн, Стивен К. (2002). "Введение". Бесконечные семейства формул точных сумм квадратов, эллиптических функций Якоби, цепных дробей и функций Шура . Springer Science & Business Media. п. 9. ISBN 1402004915 .

[1]

[2]

[3]

[4]

•	Квадраты (и, следовательно, целые расстояния) выделены красным цветом
•	Неуникальные представления (вплоть до вращения и отражения) выделены жирным шрифтом.