Символ Кронекера

В теории чисел , символ Кронекера записываемый как $\left({\frac {a}{n}}\right)$ или $(a|n)$ , является обобщением символа Якоби на все целые числа $n$ . Его ввёл Леопольд Кронекер ( 1885 , стр. 770).

Определение [ править ]

Позволять $n$ быть ненулевым целым числом с простой факторизацией

n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},

где $u$ является единицей (т.е. $u=\pm 1$ ), и $p_{i}$ являются простыми числами . Позволять $a$ быть целым числом. Символ Кронекера $\left({\frac {a}{n}}\right)$ определяется

\left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.

Для нечетных $p_{i}$ , номер $\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)$ это просто обычный символ Лежандра . Это оставляет случай, когда $p_{i}=2$ . Мы определяем $\left({\frac {a}{2}}\right)$ к

\left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}

Поскольку он расширяет символ Якоби, величина $\left({\frac {a}{u}}\right)$ это просто $1$ когда $u=1$ . Когда $u=-1$ , мы определяем это как

\left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}

Наконец, мы положили

\left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Этих расширений достаточно, чтобы определить символ Кронекера для всех целочисленных значений. $a,n$ .

Некоторые авторы определяют символ Кронекера только для более ограниченных значений; например, $a$ соответствующий $0,1{\bmod {4}}$ и $n>0$ .

Таблица значений [ править ]

Ниже представлена таблица значений символа Кронекера. $\left({\frac {k}{n}}\right)$ при 1 ≤ n , k ≤ 30.

к н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
3	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
6	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
8	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
9	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
10	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
12	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
14	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	−1	0
15	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0
16	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
18	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	−1	0
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
20	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0
21	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	−1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0
22	1	0	−1	0	−1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
24	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
25	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0
26	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
27	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
28	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
30	1	0	0	0	0	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0

Свойства [ править ]

Символ Кронекера разделяет многие основные свойства символа Якоби с некоторыми ограничениями:

$\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1$ если $\gcd(a,n)=1$ , в противном случае $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=0$ .
$\left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)$ пока не $n=-1$ , один из $a,b$ равен нулю, а другой отрицателен.
$\left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ пока не $a=-1$ , один из $m,n$ равен нулю, а другой имеет нечетную часть ( определение ниже ), соответствующую $3{\bmod {4}}$ .
Для $n>0$ , у нас есть $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)$ в любое время $a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$ Если дополнительно $a,b$ имеют одинаковый знак, то же самое справедливо и для $n<0$ .
Для $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$ , $a\neq 0$ , у нас есть $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ в любое время $m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

С другой стороны, символ Кронекера не имеет такой же связи с квадратичными вычетами , как символ Якоби. В частности, символ Кронекера $\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ для $n\equiv 2{\pmod {4}}$ может принимать значения независимо от того, $a$ является квадратичным остатком или невычетом по модулю $n$ .

Квадратичная взаимность [ править ]

Символ Кронекера также удовлетворяет следующим версиям квадратичного закона взаимности .

Для любого ненулевого целого числа $n$ , позволять $n'$ обозначим его нечетную часть : $n=2^{e}n'$ где $n'$ странно (для $n=0$ , мы ставим $0'=1$ ). Тогда для любой пары целых чисел справедлива следующая симметричная версия квадратичной взаимности: $m,n$ такой, что $\gcd(m,n)=1$ :

\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},

где $\pm$ знак равен $+$ если $m\geq 0$ или $n\geq 0$ и равен $-$ если $m<0$ и $n<0$ .

Существует также эквивалентная несимметричная версия квадратичной взаимности, которая справедлива для каждой пары относительно простых целых чисел. $m,n$ :

\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.

Для любого целого числа $n$ позволять $n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n$ . Тогда у нас есть другая эквивалентная несимметричная версия, которая гласит:

\left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)

для каждой пары целых чисел $m,n$ (не обязательно относительно простое).

Дополнительные законы также обобщают символ Кронекера. Эти законы легко следуют из каждой версии квадратичного закона взаимности, изложенной выше (в отличие от символа Лежандра и Якоби, где для полного описания квадратичной взаимности необходимы как основной закон, так и дополнительные законы).

Для любого целого числа $n$ у нас есть

\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}

и для любого нечетного целого числа $n$ его

\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.

Связь Дирихле с персонажами

Если $a\not \equiv 3{\pmod {4}}$ и $a\neq 0$ , карта $\chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ является реальным характером Дирихле модуля ${\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$ И наоборот, каждый реальный персонаж Дирихле может быть записан в этой форме с помощью $a\equiv 0,1{\pmod {4}}$ (для $a\equiv 2{\pmod {4}}$ его $\left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)$ ).

В частности, примитивные реальные персонажи Дирихле. $\chi$ находятся в соответствии 1–1 с квадратичными полями $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})$ , где $m$ является ненулевым целым числом без квадратов (мы можем включить случай $\mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q}$ для представления главного символа, даже если это не квадратичное поле). Персонаж $\chi$ может быть восстановлен с поля как символ Артина $\left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)$ : то есть для положительного простого числа $p$ , значение $\chi (p)$ зависит от поведения идеала $(p)$ в кольце целых чисел $O_{F}$ :

\chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}

Затем $\chi (n)$ соответствует символу Кронекера $\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ , где

D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}

является дискриминантом $F$ . Дирижер $\chi$ является $|D|$ .

Аналогично, если $n>0$ , карта $\chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)$ является реальным характером Дирихле модуля ${\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$ Однако не все реальные персонажи могут быть представлены таким образом, например персонаж $\left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)$ нельзя записать как $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)$ для любого $n$ . По закону квадратичной взаимности имеем $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)$ . Характер $\left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)$ может быть представлено как $\left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)$ тогда и только тогда, когда его нечетная часть $a'\equiv 1{\pmod {4}}$ , и в этом случае мы можем взять $n=|a|$ .

См. также [ править ]

Символ Гильберта

Ссылки [ править ]

Кронекер, Л. (1885), «К теории эллиптических функций» , труды Королевской прусской академии наук в Берлине : 761–784.
Монтгомери, Хью Л ; Воган, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84903-6 . Збл 1142.11001 .

В эту статью включен материал из символа Кронекера на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .