Единица (теория колец)

В алгебре — единица или обратимый элемент. ^[а]кольца является умножения обратимым элементом кольца. То есть элемент $u$ кольца $R$ является единицей, если существует $v$ в $R$ такой, что

vu=uv=1,

где

1

– мультипликативное тождество ; элемент

v

уникален для этого свойства и называется мультипликативным обратным элементом

u

. ^[1]^[2] Набор единиц

R

образует группу

R \times

при умножении, называемом группой единиц или единиц группой

R

. ^[б] Другие обозначения группы единиц:

R *

,

U(R)

и

E(R)

(от немецкого термина Einheit ).

Реже термин « единица» иногда используется для обозначения элемента $1$ кольца в таких выражениях, как кольцо с единицей или единичное кольцо , а также единичная матрица . Из-за этой двусмысленности $1$ чаще называют «единством» или «идентичностью» кольца, а фразы «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью» могут использоваться, чтобы подчеркнуть, что вместо этого рассматривается кольцо. кольца .

Примеры [ править ]

Мультипликативное тождество $1$ и его аддитивное обратное $-1$ всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце $R$ является единицей: если $r н = 1$ , тогда $р п -1$ является мультипликативным обратным $r$ . В ненулевом кольце элемент 0 не является единицей, поэтому $R \times$ не закрывается при доп. Ненулевое кольцо $R$ , в котором каждый ненулевой элемент является единицей (т. е. $R \times = R ∖ {0}$ ) называется телом (или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, единичная группа поля действительных чисел $R$ — это $R ∖ {0}$ .

Целочисленное кольцо [ править ]

В кольце целых чисел $Z$ единственными единицами являются $1$ и $-1$ .

В кольце $Z / n Z$ целых чисел по модулю $n$ единицами являются классы сравнения $(mod n)$ , представленные целыми числами, взаимно простыми с $n$ . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю $n$ .

Кольцо целых чисел числового поля [ править ]

В кольце $Z [\sqrt 3]$ , полученном присоединением квадратичного целого числа $\sqrt 3$ к $Z$ , имеем $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , поэтому $2 + \sqrt 3$ является единицей, как и его степени. , поэтому $Z [\sqrt 3]$ имеет бесконечно много единиц.

В более общем смысле, для кольца целых чисел $R$ в числовом поле $F$ что теорема Дирихле о единицах утверждает, $R \times$ изоморфна группе

\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}

где

\mu _{R}

— (конечная, циклическая) группа корней из единицы в

R

а

n —

ранг , единичной группы.

n=r_{1}+r_{2}-1,

где

r_{1},r_{2}

– количество вещественных вложений и количество пар комплексных вложений

F

соответственно.

Это восстанавливает $пример Z [\sqrt 3]$ : единичная группа (кольца целых чисел) действительного квадратичного поля бесконечна и имеет ранг 1, поскольку $r_{1}=2,r_{2}=0$ .

и ряды степенные Полиномы

Для коммутативного кольца $R$ единицами кольца полиномов $R [x]$ являются многочлены

p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

такой, что

является 0

единицей в

R

, а остальные коэффициенты

a_{1},\dots ,a_{n}

нильпотентны , т. е. удовлетворяют

a_{i}^{N}=0

для какого-

Н.

то ^[4]В частности, если

R

является доменом (или, в более общем смысле, ) , то единицы

R [x]

являются единицами

R.

уменьшенным Единицы степенного ряда кольца

R[[x]]

степенной ряд

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

такой, что

является 0

единицей в

R

. ^[5]

Матричные кольца [ править ]

Единичной группой кольца $Mn (n R)$ размера $n \times ($ матриц кольцом $R$ группа $GLn матриц R .)$ обратимых над является Для коммутативного кольца $R$ элемент $A$ из $Mn когда (R)$ обратим тогда и только тогда A обратим $определитель$ в $R.$ , В таком случае $А -1$ может быть задан явно через матрицу сопряжения .

В общем [ править ]

Для элементов $x$ и $y$ в кольце $R$ , если $1-xy$ обратимо, то $1-yx$ обратим с обратным $1+y(1-xy)^{-1}x$ ; ^[6] эту формулу можно угадать, но не доказать, с помощью следующего расчета в кольце некоммутативных степенных рядов:

(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

См. личность Хуа для получения аналогичных результатов.

Группа юнитов [ править ]

Коммутативное кольцо называется локальным, если $R ∖ R \times$ является максимальным идеалом .

Оказывается, если $R ∖ R \times$ является идеалом, то он обязательно является максимальным идеалом и $R$ локально , поскольку максимальный идеал не пересекается с $R \times$ .

Если $R$ — конечное поле , то $R \times$ является циклической группой порядка $| р | - 1$ .

Каждый кольцевой гомоморфизм $f : R \to S$ индуцирует групповой гомоморфизм $R \times \to С \times$ , поскольку $f$ отображает единицы измерения. Фактически формирование единичной группы определяет функтор из категории колец в категорию групп . Этот функтор имеет левый сопряженный элемент , который представляет собой конструкцию целого группового кольца . ^[7]

Групповая схема $\operatorname {GL} _{1}$ изоморфна мультипликативной групповой схеме $\mathbb {G} _{m}$ над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца $R$ группы $\operatorname {GL} _{1}(R)$ и $\mathbb {G} _{m}(R)$ канонически изоморфны $U (R)$ . Обратите внимание, что функтор $\mathbb {G} _{m}$ (т. е. $R \mapsto U (R)$ ) представимо в смысле: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ для коммутативных колец $R$ (это, например, следует из упомянутого выше отношения сопряжения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством кольцевых гомоморфизмов $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ и множество единичных элементов $R$ (напротив, $\mathbb {Z} [t]$ представляет собой аддитивную группу $\mathbb {G} _{a}$ , функтор забвения из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп).

Ассоциация [ править ]

Предположим, что $R$ коммутативен. Элементы $r$ и $s$ из $R$ называются ассоциировать , если существует единица $u$ в $R$ такая, что $r = us$ ; тогда напиши $r ~ s$ . В любом кольце пары аддитивных обратных элементов ^[с] $x$ и $- x$ являются ассоциированными . Например, 6 и −6 ассоциированы в $Z$ . В общем, $~$ является отношением эквивалентности на $R$ .

можно описать через действие R $Ассоциированность также \times$ на $R$ посредством умножения: два элемента $R$ связаны, если они находятся в одном $R. \times$ - орбита .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность , что и $R \times$ .

Отношение эквивалентности $~$ можно рассматривать как любое из полугрупповых отношений Грина, специализирующихся на мультипликативной полугруппе коммутативного кольца $R$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ В случае колец использование «обратимого элемента» воспринимается как само собой разумеющееся, относящееся к умножению, поскольку все элементы кольца обратимы для сложения.
^ Обозначение $R \times$ , введенный Андре Вейлем , обычно используется в теории чисел , где часто возникают группы единиц. ^[3]Символ $\times$ напоминает, что групповая операция — это умножение. Кроме того, верхний индекс × не часто используется в других контекстах, тогда как верхний индекс $*$ часто обозначает двойное число.
^ $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 имеем $3 = -3$ , хотя $1 \neq -1$ .

Цитаты [ править ]

^ Даммит и Фут, 2004 г.
^ Ланг 2002
^ Потому что 1974 г.
^ Уоткинс 2007 , Теорема 11.1.
^ Уоткинс 2007 , Теорема 12.1.
^ Джейкобсон 2009 , §2.2 Упражнение 4
^ Кон 2003 , §2.2. Упражнение 10.

Источники [ править ]

Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание Алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Publishing . ISBN 1-85233-667-6 . Збл 1006.00001 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1 .
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы коммутативной теории колец , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4 , МР 2330411
Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Основы математических наук. Том 144 (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-58655-5 .

[1] В случае колец использование «обратимого элемента» воспринимается как само собой разумеющееся, относящееся к умножению, поскольку все элементы кольца обратимы для сложения.

[5] Обозначение $R \times$ , введенный Андре Вейлем , обычно используется в теории чисел , где часто возникают группы единиц. ^[3]Символ $\times$ напоминает, что групповая операция — это умножение. Кроме того, верхний индекс × не часто используется в других контекстах, тогда как верхний индекс $*$ часто обозначает двойное число.

[10] $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 имеем $3 = -3$ , хотя $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-2] Даммит и Фут, 2004 г.

[FOOTNOTELang2002-3] Ланг 2002

[FOOTNOTEWeil1974-4] Потому что 1974 г.

[FOOTNOTEWatkins2007Theorem_11.1-6] Уоткинс 2007 , Теорема 11.1.

[FOOTNOTEWatkins2007Theorem_12.1-7] Уоткинс 2007 , Теорема 12.1.

[FOOTNOTEJacobson2009§2.2_Exercise_4-8] Джейкобсон 2009 , §2.2 Упражнение 4

[FOOTNOTECohn2003§2.2_Exercise_10-9] Кон 2003 , §2.2. Упражнение 10.

[а]

[1]

[2]

[б]

[4]

[5]

[6]

[7]

[с]

[3]