Единица (теория колец)

Не путать с Единичным кольцом .

В алгебре — единица или обратимый элемент. кольца является умножения обратимым элементом кольца. То есть элемент u кольца R является единицей, если существует v в R такой, что

$$vu=uv=1,$$

где 1 – мультипликативное тождество ; элемент v уникален для этого свойства и называется мультипликативным обратным u элементом . Набор единиц R образует группу R ^× при умножении, называемом группой единиц или группой единиц R . Другие обозначения группы единиц: R ^∗ , U( R ) и E( R ) (от немецкого термина Einheit ).

Реже термин «единица» иногда используется для обозначения элемента 1 кольца в таких выражениях, как кольцо с единицей или единичное кольцо , а также единичная матрица . Из-за этой двусмысленности 1 чаще называют «единством» или «идентичностью» кольца, а фразы «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью» могут использоваться, чтобы подчеркнуть, что вместо этого рассматривается кольцо. кольца ​ .

Примеры

Мультипликативное тождество 1 и его аддитивное обратное -1 всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце R является единицей: если r ^н = 1 , тогда р ^{п -1} является мультипликативным обратным r .В ненулевом кольце элемент 0 не является единицей, поэтому R ^× не закрывается при доп.Ненулевое кольцо R , в котором каждый ненулевой элемент является единицей (т. е. R ^× = R ∖ {0} ) называется телом ( или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел R — это R ∖ {0} .

Целочисленное кольцо

В кольце целых чисел Z единственными единицами являются 1 и −1 .

В кольце Z / n Z по целых чисел модулю n единицами являются классы сравнения (mod n ), представленные целыми числами, взаимно простыми с n . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю n .

Кольцо целых чисел числового поля

В кольце Z [ √ 3 ] , полученном присоединением квадратичного целого числа √ 3 к Z , имеем (2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1 , поэтому 2 + √ 3 является единицей, как и его степени , поэтому Z [ √ 3 ] имеет бесконечно много единиц.

В более общем смысле, для кольца целых чисел R в числовом поле F что теорема Дирихле о единицах утверждает, R ^× изоморфна группе

$$\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$$

где $\mu _{R}$ — (конечная, циклическая) группа корней из единицы в R а n , — ранг единичной группы.

$$n=r_{1}+r_{2}-1,$$

где $r_{1},r_{2}$ – количество вещественных вложений и количество пар комплексных вложений F соответственно.

Это восстанавливает пример Z [ √ 3 ] : единичная группа (кольца целых чисел) действительного квадратичного поля бесконечна и имеет ранг 1, поскольку $r_{1}=2,r_{2}=0$.

и

Для коммутативного кольца R единицами кольца полиномов R [ x ] являются многочлены

$$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$$

такой, что 0 _, является единицей в R а остальные коэффициенты $a_{1},\dots ,a_{n}$ нильпотентны удовлетворяют , т. е. $a_{i}^{N}=0$ для какого- Н. то В частности, если R является доменом (или, в более общем смысле, ) , то единицы R [ x ] являются единицами R. уменьшенным Единицы степенного ряда кольца $R[[x]]$ степенной ряд

$$p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$$

такой, что является ₀ единицей в R .

Матричные кольца

кольца Mn _n ( R ) матриц размера × n над ( кольцом R группа GLn _матриц Единичной группой R ) обратимых является . Для коммутативного кольца элемент A из Mn ( _когда R ) обратим тогда и только тогда, A обратим определитель в R. R В таком случае А ⁻¹ может быть задан явно через матрицу сопряжения .

В общем

Для элементов x и y в кольце R , если $1-xy$ обратимо, то $1-yx$ обратим с обратным $1+y(1-xy)^{-1}x$; эту формулу можно угадать, но не доказать, с помощью следующего расчета в кольце некоммутативных степенных рядов:

$$(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$$

См. личность Хуа для получения аналогичных результатов.

Группа юнитов

называется Коммутативное кольцо локальным , если R ∖ R ^× является максимальным идеалом .

Оказывается, если R ∖ R ^× является идеалом, то он обязательно является максимальным идеалом и R локально , поскольку максимальный идеал не пересекается с R ^× .

Если R — конечное поле , то R ^× является циклической группой порядка | р | − 1 .

Каждый кольцевой гомоморфизм f : R → S индуцирует групповой гомоморфизм R ^× → С ^× , поскольку f отображает единицы измерения. Фактически формирование единичной группы определяет функтор из категории колец в категорию групп . Этот функтор имеет левый сопряженный элемент , который представляет собой конструкцию целого группового кольца .

Групповая схема $\operatorname {GL} _{1}$ изоморфна мультипликативной групповой схеме $\mathbb {G} _{m}$ над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца R группы $\operatorname {GL} _{1}(R)$ и $\mathbb {G} _{m}(R)$ канонически изоморфны U ( R ) . Обратите внимание, что функтор $\mathbb {G} _{m}$ (т. е. R ↦ U ( R ) ) представимо в смысле: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ для коммутативных колец R (это, например, следует из упомянутого выше отношения сопряжения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством кольцевых гомоморфизмов $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ и множество единичных элементов R (напротив, $\mathbb {Z} [t]$ представляет собой аддитивную группу $\mathbb {G} _{a}$, функтор забвения из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп).

Ассоциация

Предположим, что R коммутативен. Элементы r и s из R называются ассоциировать , если существует единица u в R такая, что r = us ; тогда напиши r ~ s . В любом кольце пары аддитивных обратных элементов x и − x являются ассоциированными . Например, 6 и −6 ассоциированы в Z . В общем, ~ является отношением эквивалентности на R .

можно описать через действие R Ассоциированность также ^× на R посредством умножения: два элемента R связаны, если они находятся в одном R. ^× - орбита .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность , что и R ^× .

Отношение эквивалентности ~ можно рассматривать как любое из полугрупповых отношений Грина, специализирующихся на мультипликативной полугруппе коммутативного кольца R .

См. также

• S-единицы
• Локализация кольца и модуля

Источники

• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание Алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN  1-85233-667-6 . Збл   1006.00001 .
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-43334-9 .
• Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN  0-387-95385-Х .
• Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы коммутативной теории колец , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-12748-4 , МР   2330411
• Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Основные принципы математических наук. Том 144 (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-58655-5 .