Аддитивная идентичность

В математике аддитивной идентичностью множества , оснащенного операцией сложения , является элемент , который при добавлении к любому элементу x в наборе дает x . Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число 0 из элементарной математики , но аддитивные тождества встречаются и в других математических структурах, где определено сложение, например, в группах и кольцах .

Элементарные примеры

• Аддитивное тождество, знакомое из элементарной математики, — это ноль, обозначаемый 0 . Например,

  $5+0=5=0+5.$

• В натуральных числах $\mathbb {N}$ (если включен 0), целые числа $\mathbb {Z} ,$ рациональные числа $\mathbb {Q} ,$ настоящие цифры $\mathbb {R} ,$ и комплексные числа $\mathbb {C} ,$ аддитивное тождество равно 0. Это говорит о том, что для числа n, принадлежащего любому из этих наборов,

  $n+0=n=0+n.$

Формальное определение

Пусть N — группа , замкнутая относительно сложения , операции обозначаемая + . Аддитивная идентичность для N , обозначаемая e , представляет собой элемент из N такой, что для любого n из N элемента

$e+n=n=n+e.$

Дальнейшие примеры

• В группе аддитивная единица является единичным элементом группы, часто обозначается 0 и уникальна (доказательство см. ниже).
• Кольцо представляют или поле собой группу при операции сложения, и, следовательно, они также имеют уникальную аддитивную идентичность 0. Она отличается от мультипликативной идентичности 1 , если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивное и мультипликативное тождества совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
• В кольце M _{m × n} ( R ) матриц размером m - n , над кольцом R аддитивная идентичность - это нулевая матрица обозначается O или 0 и представляет собой mxn матрицу размером , элементы которой полностью состоят из единичного элемента 0 в R . Например, в матрицах 2×2 над целыми числами $\operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )$ аддитивная идентичность

  $0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

• В кватернионах 0 является аддитивной идентичностью.
• В кольце функций из $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, функция, отображающая каждое число в 0, является аддитивной идентичностью.
• В группе векторов в аддитивной $\mathbb {R} ^{n},$ начальный или нулевой вектор является аддитивным тождеством.

Свойства

уникальна в

Пусть ( G , +) — группа, и пусть 0 и 0' в G обозначают аддитивные тождества, поэтому для любого g в G ,

$0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.$

Тогда из вышесказанного следует, что

${\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.$

Аддитивная идентичность

В системе с операцией умножения, которая распределяет по сложению, аддитивная идентичность является мультипликативным элементом , что означает, что для любого s в S s поглощающим · 0 = 0 . Это следует из того, что:

${\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}$

Аддитивные и мультипликативные тождества в нетривиальном

Пусть R — кольцо и предположим, что аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 равны, т. е. 0 = 1. Пусть r — любой элемент кольца R . Затем

$r=r\times 1=r\times 0=0$

доказывая, что R тривиален, т. е. R = {0}. Таким образом, показано обратное : если R нетривиально, то 0 не равно 1.

См. также

• 0 (число)
• Аддитивный обратный
• Элемент идентификации
• Мультипликативная идентичность

Библиография

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN   0-471-43334-9 .

Внешние ссылки

• Уникальность аддитивной идентичности в кольце в PlanetMath .