Аддитивная идентичность

В математике аддитивной идентичностью множества , оснащенного операцией сложения , является элемент , который при добавлении к любому элементу $x$ в наборе дает $x$ . Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число 0 из элементарной математики , но аддитивные тождества встречаются и в других математических структурах, где определено сложение, например, в группах и кольцах .

Элементарные примеры [ править ]

Аддитивное тождество, знакомое из элементарной математики, — это ноль, обозначаемый 0 . Например,
$5+0=5=0+5.$
В натуральных числах $\mathbb {N}$ (если включен 0), целые числа $\mathbb {Z} ,$ рациональные числа $\mathbb {Q} ,$ настоящие цифры $\mathbb {R} ,$ и комплексные числа $\mathbb {C} ,$ аддитивное тождество равно 0. Это говорит о том, что для числа $n,$ принадлежащего любому из этих наборов,
$n+0=n=0+n.$

Формальное определение [ править ]

Пусть $N$ — группа замкнутая относительно операции сложения , , обозначаемая + . Аддитивная идентичность для $N$ , обозначаемая $e$ , представляет собой элемент из $N$ такой, что для любого $n$ из $N$ элемента

e+n=n=n+e.

Дальнейшие примеры [ править ]

В группе аддитивная единица является единичным элементом группы, часто обозначается 0 и уникальна (доказательство см. ниже).
Кольцо , или поле представляют собой группу при операции сложения, и, следовательно, они также имеют уникальную аддитивную идентичность 0. Она отличается от мультипликативной идентичности 1 если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивное и мультипликативное тождества совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
В кольце $M m \times n (R)$ матриц $m$ размером $- n$ , над кольцом $R$ аддитивная идентичность - это нулевая матрица ^[1]обозначается $O$ или $0$ и представляет собой $mxn$ матрицу размером $,$ элементы которой полностью состоят из единичного элемента 0 в $R$ . Например, в матрицах 2×2 над целыми числами $\operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )$ аддитивная идентичность
$0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$
В кватернионах 0 является аддитивной идентичностью.
В кольце функций из $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , функция , отображающая каждое число в 0, является аддитивной идентичностью.
В группе векторов в аддитивной $\mathbb {R} ^{n},$ начальный или нулевой вектор является аддитивным тождеством.

Свойства [ править ]

уникальна группе в Аддитивная идентичность

Пусть $(G, +)$ группа, и пусть $0$ и $0'$ в $G$ обозначают аддитивные тождества, поэтому для любого $g$ в $G$ ,

0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.

Тогда из вышесказанного следует, что

{\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.

Аддитивная идентичность уничтожает элементы кольца

В системе с операцией умножения, которая распределяет по сложению, аддитивная идентичность является мультипликативным поглощающим элементом что для любого $s$ в $S$ , что означает , $s \cdot 0 = 0$ . Это следует из того, что:

{\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}

Аддитивные и мультипликативные тождества в нетривиальном . различны кольце

Пусть $R$ — кольцо и предположим, что аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 равны, т. е. 0 = 1. Пусть $r$ — любой элемент кольца $R$ . Затем

r=r\times 1=r\times 0=0

доказывая, что $R$ тривиален, т. е. $R = {0}.$ : Таким образом , показано обратное если $R$ нетривиально, то 0 не равно 1.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная идентичность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 сентября 2020 г.

Библиография [ править ]

Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 .

Внешние ссылки [ править ]

Уникальность аддитивной идентичности в кольце в PlanetMath .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная идентичность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 сентября 2020 г.

[1]