Элемент (математика)
В математике элементом , (или членом ) множества является любой из отдельных объектов принадлежащих этому множеству.
Наборы [ править ]
Письмо означает, что элементами множества A являются числа 1, 2, 3 и 4. Наборы элементов множества A , например , подмножествами A . являются
Наборы сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим набор . Элементами B являются не 1, 2, 3 и 4. Скорее, существует только три элемента B , а именно числа 1 и 2, и множество .
Элементами множества может быть что угодно. Например, множество, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета .
Говоря логическим языком, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ). [ нужны разъяснения ]
Обозначения и терминология [ править ]
Отношение «является элементом », также называемое членством в множестве , обозначается символом «ε». Письмо
означает, что « x является элементом A ». [1] Эквивалентными выражениями являются « x является членом A », « x принадлежит A », « x находится в A » и « x лежит в A ». Выражения « A включает x » и « A содержит x » также используются для обозначения членства во множестве, хотя некоторые авторы вместо этого используют их для обозначения « x является подмножеством A » . [2] Логик Джордж Булос настоятельно рекомендовал использовать слово «содержит» только для обозначения членства, а слово «включает» только для отношения подмножества. [3]
Для отношения € обратное отношение € Т может быть написано
что означает « A содержит или включает x ».
Отрицание принадлежности множеству обозначается символом «∉». Письмо
означает, что « x не является элементом A ».
Символ £ впервые был использован Джузеппе Пеано в его работе 1889 года «Принципы арифметики, новый метод экспозита» . [4] Вот он написал на странице X:
Знак ∈ означает Таким образом, a ∈ b читается как a — некоторый b; …
что означает
Символ € означает . Таким образом, a ∈ b читается как a — некоторый b; …
Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». [4]
| Предварительный просмотр | ∈ | ∉ | ∋ | ∌ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имя в Юникоде | ЭЛЕМЕНТ | НЕ ЭЛЕМЕНТ | СОДЕРЖИТ КАК ЧЛЕН | НЕ СОДЕРЖИТ КАК ЧЛЕН | ||||
| Кодировки | десятичный | шестигранник | декабрь | шестигранник | декабрь | шестигранник | декабрь | шестигранник |
| Юникод | 8712 | U + 2208 | 8713 | U + 2209 | 8715 | U + 220B | 8716 | U+220C |
| UTF-8 | 226 136 136 | Е2 88 88 | 226 136 137 | Е2 88 89 | 226 136 139 | Е2 88 8Б | 226 136 140 | Е2 88 8С |
| Ссылка на числовые символы | ∈ | ∈ | ∉ | ∉ | ∋ | ∋ | ∌ | ∌ |
| Ссылка на именованный персонаж | &Элемент;, ∈, ∈, ∈ | ∉, ∉, ∉ | ∋, ∋, ∋, ∋ | ∌, ∌, ∌ | ||||
| Латекс | \в | \плавание | \в | \not\ni или \notni | ||||
| Вольфрам Математика | \[Элемент] | \[НеЭлемент] | \[ОбратныйЭлемент] | \[NotReverseElement] | ||||
Примеры [ править ]
Используя наборы, определенные выше, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:
- 2 ∈ А
- 5 ∉ А
- {3, 4} ∈ B
- 3 ∉ Б
- 4 ∉ Б
- желтый ∉ С
Мощность множеств [ править ]
Количество элементов в определенном наборе — это свойство, известное как мощность ; неофициально это размер набора. [5] В приведенных выше примерах мощность множества A равна 4, а мощность множества B и множества C равна 3. Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов, а конечное множество — это множество с конечным числом элементов. количество элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является набор натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...}.
Формальное отношение [ править ]
В качестве отношения членство в наборе должно иметь домен и диапазон. Условно эта область называется вселенной обозначаемой U. , Диапазон — это набор подмножеств U , называемый степеней набором U и обозначаемый P( U ). Таким образом, отношение является подмножеством U x P( U ). Обратное соотношение является подмножеством P( U ) x U .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
- ^ Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8 . п. 12
- ^ Джордж Булос (4 февраля 1992 г.). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (Речь). Массачусетский технологический институт .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Чему Рассел научился у Пеано» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 14 (3). Издательство Университета Дьюка: 367–372. дои : 10.1305/ndjfl/1093891001 . МР 0319684 .
- ^ «Наборы — Элементы | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 10 августа 2020 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (изд. в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - «Наивное» означает, что оно не полностью аксиоматизировано, а не то, что оно глупо или легко (трактовка Халмоша не является ни тем, ни другим).
- Джек, Томас (2002), «Теория множеств» , Стэнфордская энциклопедия философии , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет
- Суппес, Патрик (1972) [1960], Аксиоматическая теория множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4 - И понятие множества (совокупности членов), принадлежности или элементарности, аксиома протяженности, аксиома разделения и аксиома объединения (Суппес называет ее аксиомой суммы) необходимы для более глубокого понимания " установить элемент».
