Атомная формула

В математической логике атомарная формула (также известная как атом или простая формула ) — это формула без более глубокой пропозициональной структуры, то есть формула, не содержащая логических связок, или, что то же самое, формула, не имеющая строгих подформул. Таким образом, атомы представляют собой простейшие, правильно построенные формулы логики. Сложные формулы образуются путем объединения атомарных формул с помощью логических связок.

Точная форма атомарных формул зависит от рассматриваемой логики; для логики высказываний например, пропозициональную переменную часто кратко называют «атомарной формулой», но, точнее, пропозициональная переменная — это не атомарная формула, а формальное выражение, обозначающее атомарную формулу. Для логики предикатов атомы представляют собой символы-предикаты вместе со своими аргументами, причем каждый аргумент является термином . В теории моделей атомарные формулы представляют собой просто строки символов с заданной сигнатурой , которая может быть или не быть выполнимой в отношении данной модели. ^[1]

Атомная формула в логике первого порядка [ править ]

Правильно сформированные термины и предложения обычной логики первого порядка имеют следующий синтаксис :

Условия :

$t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ ,

то есть термин рекурсивно определяется как константа c (именованный объект из области дискурса ), или переменная x (действующая по объектам в области дискурса), или n -арная функция f , аргументы которой равны термины т _к . Функции отображают кортежи объектов в объекты.

Предложения:

$A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A$ ,

то есть предложение рекурсивно определяется как n -арный предикат P , аргументами которого являются термины t _k , или выражение, состоящее из логических связок (и, или) и кванторов (для всех существует), используемых с другими предложениями. .

Атомная формула или атом — это просто предикат, применяемый к кортежу термов; то есть атомарная формула — это формула вида P ( t ₁ ,…, t _n ) для P — предиката и членов t _n .

Все остальные корректные формулы получаются путем составления атомов логическими связками и кванторами.

Например, формула ∀ x. п ( Икс ) ∧ ∃ у. Q ( y , ж ( Икс )) ∨ ∃ z. R ( z ) содержит атомы

$P(x)$
$Q(y,f(x))$
$R(z)$ .

Поскольку в атомарной формуле нет кванторов, все вхождения переменных символов в атомарной формуле свободны. ^[2]

См. также [ править ]

В теории моделей структуры дают интерпретацию атомным формулам.
В теории доказательств назначение полярности атомарных формул является важным компонентом фокусировки .
Атомное предложение

Ссылки [ править ]

^ Ходжес, Уилфрид (1997). Теория более коротких моделей . Издательство Кембриджского университета. стр. 11–14. ISBN 0-521-58713-1 .
^ WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.161. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

Дальнейшее чтение [ править ]

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .

[1] Ходжес, Уилфрид (1997). Теория более коротких моделей . Издательство Кембриджского университета. стр. 11–14. ISBN 0-521-58713-1 .

[2] WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.161. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

[1]

[2]