Атомная формула

В математической логике атомарная формула (также известная как атом или простая формула ) — это формула без более глубокой пропозициональной структуры, то есть формула, не содержащая логических связок , или, что то же самое, формула, не имеющая строгих подформул. Таким образом, атомы представляют собой простейшие, правильно построенные формулы логики. Сложные формулы образуются путем объединения атомарных формул с помощью логических связок.

Точная форма атомарных формул зависит от рассматриваемой логики; для логики высказываний например, пропозициональную переменную часто кратко называют «атомарной формулой», но, точнее, пропозициональная переменная - это не атомарная формула, а формальное выражение, обозначающее атомарную формулу. Для логики предикатов атомы представляют собой символы-предикаты вместе со своими аргументами, причем каждый аргумент является термином . В теории моделей атомарные формулы представляют собой просто строки символов с заданной сигнатурой , которая может быть или не быть выполнимой в отношении данной модели. ^[1]

Атомная формула в логике первого порядка [ править ]

Правильно сформированные термины и предложения обычной логики первого порядка имеют следующий синтаксис :

Условия :

$t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ ,

то есть термин рекурсивно определяется как константа c (именованный объект из области дискурса ), или переменная x (действующая по объектам в области дискурса), или n -арная функция f , аргументы которой равны термины т _к . Функции отображают кортежи объектов в объекты.

Предложения:

$A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A$ ,

то есть предложение рекурсивно определяется как n -арный предикат P , аргументами которого являются термины t _k , или выражение, состоящее из логических связок (и, или) и кванторов (для всех существует), используемых с другими предложениями. .

Атомная формула или атом — это просто предикат, применяемый к кортежу термов; то есть атомарная формула — это формула вида P ( t ₁ ,…, t _n ) для P — предиката и членов t _n .

Все остальные корректные формулы получаются путем составления атомов логическими связками и кванторами.

Например, формула ∀ x. п ( Икс ) ∧ ∃ у. Q ( y , ж ( Икс )) ∨ ∃ z. R ( z ) содержит атомы

$P(x)$
$Q(y,f(x))$
$R(z)$ .

Поскольку в атомарной формуле нет кванторов, все вхождения переменных символов в атомарной формуле свободны. ^[2]

См. также [ править ]

В теории моделей структуры дают интерпретацию атомным формулам.
В теории доказательств назначение полярности атомарных формул является важным компонентом фокусировки .
Атомное предложение

Ссылки [ править ]

^ Ходжес, Уилфрид (1997). Теория более коротких моделей . Издательство Кембриджского университета. стр. 11–14. ISBN 0-521-58713-1 .
^ WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.161. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

Дальнейшее чтение [ править ]

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .

[1] Ходжес, Уилфрид (1997). Теория более коротких моделей . Издательство Кембриджского университета. стр. 11–14. ISBN 0-521-58713-1 .

[2] WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.161. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

[1]

[2]