Нелогический символ

В логике формальные языки, используемые для создания выражений, состоят из символов , которые можно разделить на константы и переменные . Константы языка можно разделить на логические символы и нелогические символы (иногда их также называют логическими и нелогическими константами ).

Нелогические символы языка логики первого порядка состоят из предикатов и отдельных констант. К ним относятся символы, которые в интерпретации могут обозначать отдельные константы, переменные , функции или предикаты . Язык логики первого порядка — это формальный язык над алфавитом, состоящим из его нелогических символов и его логических символов . К последним относятся логические связки , кванторы и переменные, обозначающие утверждения .

Нелогический символ имеет значение или семантическое содержание только тогда, когда он присвоен ему посредством интерпретации . Следовательно, предложение , содержащее нелогический символ, лишено смысла, кроме как в рамках интерпретации, поэтому предложение считается истинным или ложным в соответствии с интерпретацией . Эти понятия определены и обсуждаются в статье о логике первого порядка , и в частности в разделе, посвященном синтаксису .

Логические константы , напротив, имеют одно и то же значение во всех интерпретациях. Они включают символы истинностно-функциональных связок (таких как «и», «или», «не», «подразумевается» и логическая эквивалентность ) и символы кванторов «для всех» и «существует».

Символ равенства . иногда рассматривается как нелогический символ, а иногда как символ логики Если его рассматривать как логический символ, то потребуется любая интерпретация, чтобы интерпретировать знак равенства с использованием истинного равенства; если его интерпретировать как нелогический символ, его можно интерпретировать с помощью произвольного отношения эквивалентности .

Подписи

Основная статья: Подпись (логика)

Сигнатура арности представляет собой набор нелогических констант вместе с дополнительной информацией, идентифицирующей каждый символ либо как постоянный символ, либо как функциональный символ определенной n ( натуральное число), либо как символ отношения определенной арности. Дополнительная информация определяет, как нелогические символы могут использоваться для формирования терминов и формул. Например, если f — символ двоичной функции, а c — постоянный символ, то f ( x , c ) — это термин, но c ( x , f ) — не термин. Символы отношений нельзя использовать в терминах, но их можно использовать для объединения одного или нескольких (в зависимости от арности) терминов в атомарную формулу.

Например, подпись может состоять из символа двоичной функции +, символа константы 0 и символа двоичного отношения <.

Модели

Основная статья: Структура (математическая логика)

Структуры над сигнатурой, также известные как модели , обеспечивают формальную семантику сигнатуры и языка первого порядка над ней.

Структура подписи состоит из набора $D$ (известная как область дискурса ) вместе с интерпретациями нелогических символов: каждый постоянный символ интерпретируется элементом $D$ и интерпретация $n$-арный функциональный символ – это $n$-арная функция включена $D;$ то есть функция $D^{n}\to D$ из $n$-кратное декартово произведение области на саму область. Каждый $n$-арный символ отношения интерпретируется $n$-арное отношение в области; то есть подмножеством $D^{n}.$

Примером структуры над сигнатурой, упомянутой выше, является упорядоченная группа целых чисел . Его областью действия является множество $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$целых чисел. Символ двоичной функции $+$ интерпретируется сложением, постоянный символ 0 — аддитивным тождеством, а символ бинарного отношения < — отношением «меньше».

Неформальная семантика

Вне математического контекста часто уместнее работать с более неформальными интерпретациями.

Описательные знаки

Рудольф Карнап ввел терминологию, различающую логические и нелогические символы (которые он назвал описательными знаками ) формальной системы при определенном типе интерпретации , определяемом тем, что они описывают в мире.

Описательный знак определяется как любой символ формального языка, который обозначает вещи или процессы в мире, или свойства или отношения вещей. В этом отличие от логических знаков , которые ничего не обозначают в мире объектов. Использование логических знаков определяется логическими правилами языка, тогда как значение описательным знакам произвольно придается, когда они применяются к данной области индивидов.

См. также

• Логическая константа

Ссылки

Примечания

• Хинман, П. (2005), Основы математической логики , AK Peters , ISBN  978-1-56881-262-5

Внешние ссылки

• Раздел семантики в классической логике (запись в Стэнфордской энциклопедии философии )