Вселенная Гротендика

В математике вселенная Гротендика представляет собой множество U со следующими свойствами:

Если x является элементом U и если y является элементом x , то y элементом U. также является ( U — транзитивное множество .)
Если x и y оба являются элементами U , то $\{x,y\}$ является элементом U .
Если x является элементом U , то P ( x ), степеней x , также является элементом U. набор
Если $\{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ — семейство элементов U , и если $I$ — элемент U , то объединение $\bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }$ является элементом U .

Вселенная Гротендика призвана предоставить набор, в котором можно выполнять все математические действия. (Фактически, несчетные вселенные Гротендика предоставляют модели теории множеств с естественным отношением £, естественной операцией степени и т. д.). Элементы вселенной Гротендика иногда называют малыми множествами . Идея вселенных принадлежит Александру Гротендику , который использовал их как способ избежать соответствующих занятий алгебраической геометрией .

Существование нетривиальной вселенной Гротендика выходит за рамки обычных аксиом теории множеств Цермело – Френкеля ; в частности, это подразумевало бы существование сильно недоступных кардиналов . Теория множеств Тарского-Гротендика — это аксиоматическая трактовка теории множеств, используемая в некоторых системах автоматического доказательства, в которых каждое множество принадлежит вселенной Гротендика.Понятие вселенной Гротендика также можно определить в топосе . ^[1]

Свойства [ править ]

В качестве примера мы докажем простое утверждение.

Предложение . Если

x\in U

и

y\subseteq x

, затем

y\in U

.

Доказательство.

y\in P(x)

потому что

y\subseteq x

.

P(x)\in U

потому что

x\in U

, так

y\in U

.

Аналогично легко доказать, что любая вселенная Гротендика U содержит:

Все синглтоны каждого из его элементов,
Все произведения всех семейств элементов U, индексированных элементом U ,
Все непересекающиеся объединения всех семейств элементов U, индексированных элементом U ,
Все пересечения всех семейств элементов U, индексированных элементом U ,
Все функции между любыми двумя элементами U и
Все подмножества U , кардинал которых является элементом U .

В частности, из последней аксиомы следует, что если U непусто, то оно должно содержать все свои конечные подмножества и подмножества каждой конечной мощности. Можно также непосредственно доказать из определений, что пересечение любого класса вселенных является вселенной.

Гротендика и недоступные Вселенные кардиналы

Есть два простых примера вселенных Гротендика:

Пустое множество и
Множество всех наследственно конечных множеств $V_{\omega }$ .

Другие примеры построить сложнее. Грубо говоря, это происходит потому, что вселенные Гротендика эквивалентны строго недоступным кардиналам . Более формально следующие две аксиомы эквивалентны:

(U) Для каждого множества x существует вселенная Гротендика U такая, что x ∈ U .

(C) Для каждого кардинала κ существует сильно недоступный кардинал λ, строго больший, чем κ.

Для доказательства этого факта введем функцию c ( U ). Определять:

\mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|

где | х | мы имеем в виду мощность x . вселенной U Тогда для любой c ( U ) либо равна нулю, либо сильно недоступна. Предполагая, что оно не равно нулю, оно является сильным предельным кардиналом, поскольку набор степеней любого элемента U является элементом U , а каждый элемент U является подмножеством U . Чтобы убедиться в его регулярности, предположим, что c _λ — это набор кардиналов, индексированных $I$ , где мощность $I$ и каждого c _λ меньше, чем c ( U ). Тогда по определению c ( U ), $и$ каждый c _λ можно заменить элементом U. I Объединение элементов U , индексированных элементом U, является элементом U , поэтому сумма c _λ имеет мощность элемента U и, следовательно, меньше, чем c ( U ). Применяя аксиому основания, согласно которой ни одно множество не содержится само в себе, можно показать, что c ( U ) равно | У |; когда аксиома основания не предполагается, существуют контрпримеры (например, мы можем взять U как множество всех конечных множеств конечных множеств и т. д. множеств x _α , где индекс α — любое действительное число, а x _α = { x _α } для каждого альфа . Тогда U имеет мощность континуума, но все его члены имеют конечную мощность и, следовательно, $\mathbf {c} (U)=\aleph _{0}$ ; подробнее см. статью Бурбаки).

Пусть $κ$ — сильно недостижимый кардинал. Скажем, что множество S строго имеет тип $κ$ , если для любой последовательности $s n \in ... \in s 0 \in S, | с н | < к$ . ( Само S соответствует пустой последовательности.) Тогда множество $u (κ)$ всех множеств строго типа $κ$ является универсумом Гротендика мощности $κ$ . Доказательство этого факта длинное, поэтому за подробностями мы снова обратимся к статье Бурбаки, указанной в списке литературы.

Чтобы показать, что из большой кардинальной аксиомы (C) следует аксиома вселенной (U), выберите набор x . Пусть x ₀ = x и для каждого n пусть $x_{n+1}=\bigcup x_{n}$ быть объединением элементов x _n . Пусть у = $\bigcup _{n}x_{n}$ . Согласно (C) существует сильно недостижимый кардинал $κ$ такой, что $|y| < к$ . Пусть $u (κ)$ — вселенная из предыдущего абзаца. x строго имеет тип κ, поэтому $x \in u (κ)$ . Чтобы показать, что из аксиомы вселенной (U) следует аксиома большого кардинала (C), выберите кардинал $κ$ . $κ$ — множество, поэтому оно является элементом вселенной U. Гротендика Мощность U сильно недоступна и строго больше мощности $κ$ .

Фактически, любая вселенная Гротендика имеет форму $u (κ)$ для некоторого $κ$ . Это дает другую форму эквивалентности между вселенными Гротендика и строго недоступными кардиналами:

Для любой вселенной Гротендика U , | У | либо равен нулю,

\aleph _{0}

, или сильно недоступный кардинал. А если

κ

равно нулю,

\aleph _{0}

, или сильно недоступный кардинал, то есть вселенная Гротендика

u(\kappa )

. Кроме того,

u (| U |) = U

и

| ты (κ)| = κ

.

Поскольку существование сильно недоступных кардиналов не может быть доказано на основе аксиом теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), существование вселенных, отличных от пустого множества и $V_{\omega }$ также не может быть доказано из ZFC. Однако сильно недоступные кардиналы находятся в нижней части списка крупных кардиналов ; таким образом, большинство теорий множеств, использующих большие кардиналы (такие как «ZFC плюс существует измеримый кардинал », «ZFC плюс бесконечно много кардиналов Вуда ») докажут существование вселенных Гротендика.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Штрайхер, Томас (2006). «Вселенные в топосах» (PDF) . От множеств и типов к топологии и анализу: к практическим основам конструктивной математики . Кларендон Пресс. стр. 78–90. ISBN 9780198566519 .

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1972). «Вселенная» . В Майкле Артине ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 1 (Конспекты лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 185–217.

[1] Штрайхер, Томас (2006). «Вселенные в топосах» (PDF) . От множеств и типов к топологии и анализу: к практическим основам конструктивной математики . Кларендон Пресс. стр. 78–90. ISBN 9780198566519 .

[1]