Аксиоматизация реальности Тарского

В 1936 году Альфред Тарски дал аксиоматизацию реальных чисел и их арифметику, состоящую только из восьми аксиомов, показанных ниже и всего четыре примитивных понятия : ^{[ 1 ]} Набор , Reals обозначал R , бинарное соотношение по сравнению с R , обозначенное инфикс <, двоичная операция добавления над R обозначенную Infix +, и константа 1.

Аксиоматизацию Тарского, которая представляет собой теорию второго порядка , можно рассматривать как версию более обычного определения действительных чисел как уникального по Дедекинду упорядоченного поля ; однако его делают гораздо более кратким за счет полного отказа от умножения и использования неортодоксальных вариантов стандартных алгебраических аксиом и других тонких приемов. Тарский не предоставил доказательств того, что его аксиомы достаточны, или определения умножения действительных чисел в его системе.

Тарский также изучил первого порядка теорию структуры ( R , +, ·, <), что привело к набору аксиом этой теории и к понятию реальных замкнутых полей .

Аксиомы

Аксиомы порядка (примитивы: r, <)

Аксиома 1

Если x < y , то не y < x .

[То есть «<» - это асимметричное отношение . Это подразумевает, что «<» необработано , т. Е. Для всех x , а не x < x .]

Аксиома 2

Если x < z , существует y такой, что x < y и y < z .

Аксиома 3

Для всех подмножеств X , Y ⊆ R , если для всех x € X и y € Y , x < y , то существует z такой, что для всех x € X и y € Y , если x ≠ z и y ≠ z , тогда x < z и z < y .

[Другими словами, «<»-это Dedekind-Complete , или неофициально: «Если набор Reals X предшествует другому набору Reals Y , то существует по крайней мере одно реальное число Z, разделяющее два набора».

Это аксиома второго порядка, поскольку она относится к наборам, а не только к элементам.]

Аксиомы добавления (примитивы: r, <, +)

Аксиома 4

x + ( y + z ) = ( x + z ) + y .

[Обратите внимание, что это неортодоксальная смесь ассоциативности и коммутативности .]

Аксиома 5

Для всех x , y существует z такой , что x + z = y .

[Это позволяет вычитать, а также дает 0.]

Аксиома 6

Если x + y < z + w , то x < z или y < w .

[Это противоположность стандартной аксиомы для упорядоченных групп.]

Аксиомы для 1 (примитивы: R, <, +, 1)

Аксиома 7: 1 ∈ р .
Аксиома 8: 1 < 1 + 1.

Дискуссия

Тарский без доказательства заявил, что эти аксиомы превращают отношение < в тотальный порядок . Недостающий компонент был поставлен в 2008 году Стефани Уксней. ^{[ 2 ]}

Тогда аксиомы подразумевают, что R является линейно упорядоченной абелевой группой при добавлении с выделенным положительным элементом 1 и что эта группа является дедекиндовой , делимой и архимедовой .

Тарский так и не доказал, что эти аксиомы и примитивы подразумевают существование бинарной операции, называемой умножением, которая обладает ожидаемыми свойствами, так что R становится полным упорядоченным полем при сложении и умножении. Эту операцию умножения можно определить, рассматривая некоторые сохраняющие порядок гомоморфизмы упорядоченной группы ( R ,+,<). ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Тарский, Альфред (24 марта 1994 г.). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-504472-0 .
^ Уксней, Стефани (январь 2008 г.). «Заметка о записке Тарского». Американский математический ежемесячник . 115 (1): 66–68. JSTOR 27642393 .
^ Артан, Роб Д. (2001). «Иррациональная конструкция ℝ из ℤ» (PDF) . Теорема, доказывающая в логике более высокого порядка . Заметки лекции в информатике. Берлин, Гейдельберг: Спрингер: 43–58. doi : 10.1007/3-540-44755-5_5 . Раздел 4

[tarski-1] Тарский, Альфред (24 марта 1994 г.). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-504472-0 .

[total-order-2] Уксней, Стефани (январь 2008 г.). «Заметка о записке Тарского». Американский математический ежемесячник . 115 (1): 66–68. JSTOR 27642393 .

[3] Артан, Роб Д. (2001). «Иррациональная конструкция ℝ из ℤ» (PDF) . Теорема, доказывающая в логике более высокого порядка . Заметки лекции в информатике. Берлин, Гейдельберг: Спрингер: 43–58. doi : 10.1007/3-540-44755-5_5 . Раздел 4

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]