Делимая группа

В математике , особенно в области теории групп , делимая группа — это абелева группа , в которой каждый элемент может в некотором смысле делиться на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n -ным кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они являются инъективными абелевыми группами.

Определение [ править ]

Абелева группа $(G,+)$ делится , если для любого натурального числа $n$ и каждый $g\in G$ , Существует $y\in G$ такой, что $ny=g$ . ^[1] Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа $n$ , $nG=G$ , поскольку существование $y$ для каждого $n$ и $g$ подразумевает, что $nG\supseteq G$ и другое направление $nG\subseteq G$ справедливо для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа $G$ делится тогда и только тогда, когда $G$ — инъективный объект в категории абелевых групп ; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой .

Абелева группа – это $p$ - делится на простое число $p$ если для каждого $g\in G$ , Существует $y\in G$ такой, что $py=g$ . Эквивалентно, абелева группа $p$ -делим тогда и только тогда, когда $pG=G$ .

Примеры [ править ]

Рациональные числа $\mathbb {Q}$ при сложении образуют делимую группу.
В более общем смысле, основная аддитивная группа любого векторного пространства над $\mathbb {Q}$ является делимым.
Каждое частное делимой группы является делимым. Таким образом, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ является делимым.
р - компонент первичный $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ из $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ , изоморфная группе p - квазициклической $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$ , делится.
Мультипликативная группа комплексных чисел $\mathbb {C} ^{*}$ является делимым.
Любая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.

Свойства [ править ]

Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. ^[2]
Любую абелеву группу можно вложить в делимую группу. ^[3]
Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными .
вложена в делимую группу как существенную подгруппу . Далее, каждая абелева группа может быть единственным образом ^[4]
Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
Позволять $A$ несущий . Если $T$ является делимой группой, то $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ инъективен категории в $A$ - модули . ^[5]

делимых групп Структурная теорема

Пусть G — делимая группа. Тогда периодическая подгруппа Tor( G ) группы G делима. Поскольку делимая группа является инъективным модулем , Tor( G является прямым слагаемым группы G. ) Так

G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).

Как фактор делимой группы G /Tor( G ) делим. Более того, он не имеет скручивания . Таким образом, это векторное пространство над Q , и поэтому существует множество I такое, что

G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.

Структуру торсионной подгруппы определить труднее, но можно показать ^[6]^[7] что для всех простых чисел p существует $I_{p}$ такой, что

(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},

где $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ является p -примарной компонентой Tor( G ).

Таким образом, если P — множество простых чисел,

G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.

Мощности множеств I и I _p при p ∈ P однозначно определяются группой G .

Инъективный конверт [ править ]

Как говорилось выше, любая абелева группа A может быть однозначно вложена в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта делимая группа D является инъективной оболочкой A , а это понятие — инъективной оболочкой в категории абелевых групп.

Приведенные группы абелевы

Абелева группа называется приведенной, если ее единственная делимая подгруппа — {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой и приведенной подгрупп. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. ^[8]Это особенность наследственных колец , таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, поскольку кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, поскольку кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом ( Матлис, 1958 ): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственное.

Полная классификация счетных приведенных периодических абелевых групп дается теоремой Ульма .

Обобщение [ править ]

Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. использовались следующие определения В литературе для определения делимого модуля M над кольцом R :

rM = M всех ненулевых r в R. для ^[9] (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, и некоторые авторы ^[10] требуют, чтобы R был доменом .)
каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M продолжается до гомоморфизма из R в M. Для ^[11]^[12] (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
Для каждого порожденного левого идеала L кольца R любой гомоморфизм из L в M продолжается до гомоморфизма из R в M. конечно ^{[ нужна цитата ]}

Последние два условия представляют собой «ограниченные версии» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули явно делятся в смысле 2 и 3.

Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R — область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. ^[13] Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Если R — коммутативная область, то инъективные модули R совпадают с делимыми модулями R тогда и только тогда, когда R — дедекиндова область . ^[13]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Гриффит, стр.6
^ Холл, стр.197
^ Гриффит, стр.17
^ Гриффит, стр.19
^ Ланг, с. 106
^ Капланский 1965 .
^ Фукс 1970 .
^ Гриффит, стр.7
^ Файгельшток 2006 .
^ Картан и Эйленберг 1999 .
^ Лам 1999 .
^ Николсон и Юсиф 2003 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Лам 1999 , стр. 70–73.

Ссылки [ править ]

Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Принстонские ориентиры в математике , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. xvi + 390, ISBN 0-691-04991-2 , MR 1731415 С приложением Дэвида А. Буксбаума; Перепечатка оригинала 1956 года.
Фейгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Сучжоу Дж. Математика. , 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255 , МР 2238765
Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 .
Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN. 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 (3): 511–528. дои : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . МР 0099360 .
Николсон, ВК; Юсиф, М.Ф. (2003), Кольца КвазиФробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2 , МР 2003785

[1] Гриффит, стр.6

[2] Холл, стр.197

[3] Гриффит, стр.17

[4] Гриффит, стр.19

[5] Ланг, с. 106

[FOOTNOTEKaplansky1965-6] Капланский 1965 .

[FOOTNOTEFuchs1970-7] Фукс 1970 .

[8] Гриффит, стр.7

[FOOTNOTEFeigelstock2006-9] Файгельшток 2006 .

[FOOTNOTECartanEilenberg1999-10] Картан и Эйленберг 1999 .

[FOOTNOTELam1999-11] Лам 1999 .

[FOOTNOTENicholsonYousif2003-12] Николсон и Юсиф 2003 .

[FOOTNOTELam1999p.70—73-13] Перейти обратно: ^а ^б Лам 1999 , стр. 70–73.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]