Делимая группа
В математике , особенно в области теории групп , делимая группа — это абелева группа , в которой каждый элемент может в некотором смысле делиться на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n -ным кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они являются инъективными абелевыми группами.
Определение [ править ]
Абелева группа делится , если для любого натурального числа и каждый , существует такой, что . [1] Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа , , поскольку существование для каждого и подразумевает, что и другое направление справедливо для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа делится тогда и только тогда, когда — инъективный объект в категории абелевых групп ; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой .
Абелева группа – это - делится на простое число если для каждого , существует такой, что . Эквивалентно, абелева группа -делим тогда и только тогда, когда .
Примеры [ править ]
- Рациональные числа при сложении образуют делимую группу.
- В более общем смысле, основная аддитивная группа любого векторного пространства над является делимым.
- Любое фактор делимой группы является делимым. Таким образом, является делимым.
- р компонент - первичный из , изоморфная группе p - квазициклической , делится.
- Мультипликативная группа комплексных чисел является делимым.
- Любая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.
Свойства [ править ]
- Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. [2]
- Любую абелеву группу можно вложить в делимую группу. [3]
- Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными .
- вложена в делимую группу как существенную подгруппу . Далее, каждая абелева группа может быть единственным образом [4]
- Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
- Позволять несущий . Если является делимой группой, то инъективен категории в - модули . [5]
групп делимых теорема Структурная
Пусть G — делимая группа. Тогда периодическая подгруппа Tor( G ) группы G делима. Поскольку делимая группа является инъективным модулем , Tor( G является прямым слагаемым группы G. ) Так
Как фактор делимой группы G /Tor( G ) делим. Более того, он не имеет скручивания . Таким образом, это векторное пространство над Q , и поэтому существует множество I такое, что
Структуру торсионной подгруппы определить труднее, но можно показать [6] [7] что для всех простых чисел p существует такой, что
где является p -примарной компонентой Tor( G ).
Таким образом, если P — множество простых чисел,
Мощности множеств I и I p при p ∈ P однозначно определяются группой G .
Инъективный конверт [ править ]
Как говорилось выше, любая абелева группа A может быть однозначно вложена в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта делимая группа D является инъективной оболочкой A , а это понятие — инъективной оболочкой в категории абелевых групп.
группы Приведенные абелевы
Абелева группа называется приведенной, если ее единственной делимой подгруппой является {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой и приведенной подгруппы. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. [8] Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, поскольку кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, поскольку кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом ( Матлис, 1958 ): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственное.
Полная классификация счетных приведенных периодических абелевых групп дается теоремой Ульма .
Обобщение [ править ]
Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. использовались следующие определения В литературе для определения делимого модуля M над кольцом R :
- rM = M для всех r в R. ненулевых [9] (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, и некоторые авторы [10] требуют, чтобы R был доменом .)
- Для каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M продолжается до гомоморфизма R в M. из [11] [12] (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
- Для каждого конечно порожденного левого идеала L кольца R любой гомоморфизм из в M продолжается до гомоморфизма из R в M. L [ нужна ссылка ]
Последние два условия представляют собой «ограниченные версии» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули явно делятся в смысле 2 и 3.
Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R — область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. [13] Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.
Если R — коммутативная область, то инъективные модули R совпадают с делимыми модулями R тогда и только тогда, когда R — дедекиндова область . [13]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Гриффит, стр.6
- ^ Холл, стр.197
- ^ Гриффит, стр.17
- ^ Гриффит, стр.19
- ^ Лонг, с. 106
- ^ Капланский 1965 .
- ^ Фукс 1970 .
- ^ Гриффит, стр.7
- ^ Файгельшток 2006 .
- ^ Картан и Эйленберг 1999 .
- ^ Лам 1999 .
- ^ Николсон и Юсиф 2003 .
- ^ Jump up to: а б Лам 1999 , стр. 70–73.
Ссылки [ править ]
- Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Принстонские ориентиры в математике , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. xvi + 390, ISBN 0-691-04991-2 , MR 1731415 С приложением Дэвида А. Буксбаума; Перепечатка оригинала 1956 года.
- Фейгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Сучжоу Дж. Математика. , 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255 , МР 2238765
- Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 .
- Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
- Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
- Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN. 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
- Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
- Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 (3): 511–528. дои : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . МР 0099360 .
- Николсон, ВК; Юсиф, М.Ф. (2003), Кольца КвазиФробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2 , МР 2003785