Jump to content

Делимая группа

В математике , особенно в области теории групп , делимая группа — это абелева группа , в которой каждый элемент может в некотором смысле делиться на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n -ным кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они являются инъективными абелевыми группами.

Определение [ править ]

Абелева группа делится , если для любого натурального числа и каждый , существует такой, что . [1] Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа , , поскольку существование для каждого и подразумевает, что и другое направление справедливо для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа делится тогда и только тогда, когда инъективный объект в категории абелевых групп ; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой .

Абелева группа – это - делится на простое число если для каждого , существует такой, что . Эквивалентно, абелева группа -делим тогда и только тогда, когда .

Примеры [ править ]

Свойства [ править ]

  • Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. [2]
  • Любую абелеву группу можно вложить в делимую группу. [3]
  • Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными .
  • вложена в делимую группу как существенную подгруппу . Далее, каждая абелева группа может быть единственным образом [4]
  • Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
  • Позволять несущий . Если является делимой группой, то инъективен категории в - модули . [5]

групп делимых теорема Структурная

Пусть G — делимая группа. Тогда периодическая подгруппа Tor( G ) группы G делима. Поскольку делимая группа является инъективным модулем , Tor( G является прямым слагаемым группы G. ) Так

Как фактор делимой группы G /Tor( G ) делим. Более того, он не имеет скручивания . Таким образом, это векторное пространство над Q , и поэтому существует множество I такое, что

Структуру торсионной подгруппы определить труднее, но можно показать [6] [7] что для всех простых чисел p существует такой, что

где является p -примарной компонентой Tor( G ).

Таким образом, если P — множество простых чисел,

Мощности множеств I и I p при p P однозначно определяются группой G .

Инъективный конверт [ править ]

Как говорилось выше, любая абелева группа A может быть однозначно вложена в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта делимая группа D является инъективной оболочкой A , а это понятие — инъективной оболочкой в ​​категории абелевых групп.

группы Приведенные абелевы

Абелева группа называется приведенной, если ее единственной делимой подгруппой является {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой и приведенной подгруппы. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. [8] Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, поскольку кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, поскольку кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом ( Матлис, 1958 ): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственное.

Полная классификация счетных приведенных периодических абелевых групп дается теоремой Ульма .

Обобщение [ править ]

Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. использовались следующие определения В литературе для определения делимого модуля M над кольцом R :

  1. rM = M для всех r в R. ненулевых [9] (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, и некоторые авторы [10] требуют, чтобы R был доменом .)
  2. Для каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M продолжается до гомоморфизма R в M. из [11] [12] (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
  3. Для каждого конечно порожденного левого идеала L кольца R любой гомоморфизм из в M продолжается до гомоморфизма из R в M. L [ нужна ссылка ]

Последние два условия представляют собой «ограниченные версии» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули явно делятся в смысле 2 и 3.

Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R — область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. [13] Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Если R коммутативная область, то инъективные модули R совпадают с делимыми модулями R тогда и только тогда, когда R дедекиндова область . [13]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Гриффит, стр.6
  2. ^ Холл, стр.197
  3. ^ Гриффит, стр.17
  4. ^ Гриффит, стр.19
  5. ^ Лонг, с. 106
  6. ^ Капланский 1965 .
  7. ^ Фукс 1970 .
  8. ^ Гриффит, стр.7
  9. ^ Файгельшток 2006 .
  10. ^ Картан и Эйленберг 1999 .
  11. ^ Лам 1999 .
  12. ^ Николсон и Юсиф 2003 .
  13. ^ Jump up to: а б Лам 1999 , стр. 70–73.

Ссылки [ править ]

  • Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Принстонские ориентиры в математике , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. xvi + 390, ISBN  0-691-04991-2 , MR   1731415 С приложением Дэвида А. Буксбаума; Перепечатка оригинала 1956 года.
  • Фейгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Сучжоу Дж. Математика. , 32 (2): 241–243, ISSN   0250-3255 , МР   2238765
  • Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-30870-7 .
  • Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
  • Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
  • Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
  • Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
  • Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 (3): 511–528. дои : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN   0030-8730 . МР   0099360 .
  • Николсон, ВК; Юсиф, М.Ф. (2003), Кольца КвазиФробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN  0-521-81593-2 , МР   2003785
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0e195d88192d7ff46d8ff16fcff54cbe__1711560840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0e/be/0e195d88192d7ff46d8ff16fcff54cbe.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Divisible group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)