Торсионная подгруппа

В теории абелевых групп A периодическая подгруппа T _{абелевой} группы A — это подгруппа A, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок ( крученные элементы A ^[1]). Абелева группа A называется периодической группой (или периодической группой), если каждый элемент A имеет конечный порядок, и называется группой без кручения, если каждый элемент A , кроме единицы, имеет бесконечный порядок.

Доказательство замкнутости AT _. относительно групповой операции основано на коммутативности операции (см. раздел примеров)

Если A абелева, то периодическая подгруппа T является вполне характеристической подгруппой A A , а фактор-группа / T не имеет кручения. Существует ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию периодических групп, который переводит каждую группу в ее периодическую подгруппу, а каждый гомоморфизм — в его ограничение на периодическую подгруппу. Существует еще один ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групп без кручения, который переводит каждую группу в фактор по ее периодической подгруппе и переводит каждый гомоморфизм в очевидный индуцированный гомоморфизм (который, как легко видеть, корректно определен ).

Если A конечно порождена и абелева, то ее можно записать как прямую сумму ее периодической подгруппы T и подгруппы без кручения (но это не верно для всех бесконечно порожденных абелевых групп). В любом разложении A в прямую сумму подгруппы кручения S и подгруппы без кручения S должна равняться T (но подгруппа без кручения не определена однозначно). Это ключевой шаг в классификации конечно порожденных абелевых групп .

p -степенные торсионные подгруппы [ править ]

Для любой абелевой группы $(A,+)$ и любое простое число p, множество A _Tp элементов A , имеющих порядок степени p , представляет собой подгруппу, называемую p периодической подгруппой -степени или, более свободно, подгруппой p -кручения :

A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;

Периодическая подгруппа AT _{-степени над всеми} изоморфна прямой сумме своих периодических подгрупп p простыми числами p :

A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;

Когда A — конечная абелева группа, A _Tp совпадает с единственной силовской p -подгруппой в A .

Каждая p -степенная периодическая подгруппа группы A является вполне характеристической подгруппой . Более строго, любой гомоморфизм между абелевыми группами переводит каждую периодическую подгруппу p -степени в соответствующую p периодическую подгруппу -степени.

Для каждого простого числа p это обеспечивает функтор из категории абелевых групп в категорию p периодических групп -степени, который отправляет каждую группу в ее периодическую подгруппу p -степени и ограничивает каждый гомоморфизм подгруппами p -кручения. Произведение по множеству всех простых чисел ограничения этих функторов на категорию периодических групп является точным функтором из категории периодических групп на произведение по всем простым числам категорий p -периодических групп. В некотором смысле это означает, что изучение p -торсионных групп изолированно говорит нам все о торсионных группах в целом.

Примеры и дальнейшие результаты [ править ]

Периодическое подмножество неабелевой группы, вообще говоря, не является подгруппой. Например, в бесконечной группе диэдра , имеющей представление :

⟨ х , у | х² = у² = 1 ⟩

элемент xy является произведением двух элементов кручения, но имеет бесконечный порядок.

Элементы кручения в нильпотентной группе образуют нормальную подгруппу . ^[2]
Каждая конечная абелева группа является периодической группой. Однако не каждая периодическая группа конечна: рассмотрим прямую сумму счетного числа копий циклической группы C ₂ ; это периодическая группа, поскольку каждый элемент имеет порядок 2. Также не требуется верхняя граница порядков элементов в периодической группе, если она не является конечно порожденной , как показывает пример фактор -группы Q / Z .
Каждая свободная абелева группа не имеет кручения, но обратное неверно, как показывает аддитивная группа рациональных чисел Q .
Даже если A не конечно порождена, размер ее части без кручения определяется однозначно, что более подробно объяснено в статье о ранге абелевой группы .
Абелева группа A не имеет кручения тогда и только тогда, когда она плоская как Z - модуль . Это означает, что всякий раз, когда C является подгруппой некоторой абелевой группы B , то естественное отображение тензорного произведения C ⊗ A в B ⊗ A является инъективным .
Тензорирование абелевой группы A с помощью Q (или любой делимой группы ) убивает кручение. То есть, если T — периодическая группа, то ⊗ Q = 0. Для общей абелевой группы A с периодической подгруппой T справедливо A ⊗ Q ≅ A / T ⊗ Q. T
Взятие крученой подгруппы превращает абелевы группы кручения в корефлективную подкатегорию абелевых групп, в то время как факторизация по крученой подгруппе превращает абелевы группы без кручения в отражающую подкатегорию .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Серж, Ланг (1993), Алгебра (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 42, ISBN 0-201-55540-9
^ См. Эпштейн и Кэннон (1992), стр. 167

Ссылки [ править ]

Эпштейн, Дэвид Б.А .; Кэннон, Джеймс В .; Холт, Дерек Ф.; Леви, Сильвио В.Ф.; Патерсон, Майкл С .; Терстон, Уильям П. (1992), Обработка текста в группах , Бостон, Массачусетс: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0

[1] Серж, Ланг (1993), Алгебра (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 42, ISBN 0-201-55540-9

[2] См. Эпштейн и Кэннон (1992), стр. 167

[1]

[2]