Тензорное произведение модулей

В математике тензорное произведение модулей — это конструкция, позволяющая рассуждения о билинейных проводить отображениях (например, умножении) в терминах линейных отображений . Построение модуля аналогично построению тензорного произведения векторных пространств , но может быть проведено для пары модулей над коммутативным кольцом, приводящим к третьему модулю, а также для пары правого-модуля и левого-модуля. модуль над любым кольцом , в результате чего получается абелева группа . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии , алгебраической геометрии , операторных алгебр и некоммутативной геометрии . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Тензорное произведение алгебры и модуля можно использовать для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей можно повторять, чтобы сформировать тензорную алгебру модуля, что позволяет универсально определить умножение в модуле.

Сбалансированный продукт

Основная статья: Пейринг

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N и абелевой группы G отображение φ : M × N → G называется R -сбалансированным , R -среднелинейным или R- среднелинейным. -сбалансированный продукт , если для всех m , m ′ в M , n , n ′ в N и r в R выполняются следующие условия:

$${\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}$$

Множество всех таких сбалансированных произведений над R от M × N до G обозначается L _R ( M , N ; G ) .

Если φ , ψ — сбалансированные произведения, то каждая из операций φ + ψ и — φ, определенных поточечно, является сбалансированным произведением. Это превращает множество L _R ( M , N ; G ) в абелеву группу.

При фиксированных M и N отображение G ↦ L _R ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Часть морфизма задается отображением группового гомоморфизма : G → G ′ в функцию φ ↦ g ∘ φ которая переходит от LR _N ( M , N ; G ) к LR ₍ , M , ; g G ′) .

Примечания

1. Свойства (Dl) и (Dr) выражают φ , φ которую можно рассматривать как дистрибутивность по сложению биаддитивность .
2. (A) напоминает некоторое ассоциативное свойство φ Свойство .
3. Каждое кольцо R является R - бимодулем . кольцевое умножение ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ в R является R -сбалансированным произведением R × R → R. Таким образом ,

Определение

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N тензорное произведение над R

$$M\otimes _{R}N$$

является абелевой группой вместе со сбалансированным произведением (как определено выше)

$$\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$$

который является универсальным в следующем смысле:

Для каждой абелевой группы G и любого сбалансированного произведения

$$f:M\times N\to G$$

существует единственный групповой гомоморфизм

$${\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G$$

такой, что

$${\tilde {f}}\circ \otimes =f.$$

Как и все универсальные свойства указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с теми же свойствами будут изоморфны M ⊗ _RN , и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим или, точнее, каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения.

существование M ⊗ _RN ; Определение не доказывает конструкцию смотрите ниже.

Тензорное произведение также можно определить как представляющий объект для функтора G → _LR ( M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм :

$${\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}$$

Это краткий способ сформулировать свойство универсального отображения, данное выше. (Если априори задан этот естественный изоморфизм, то $\otimes$ можно восстановить, приняв $G=M\otimes _{R}N$ а затем сопоставить карту идентичности.)

Аналогично, учитывая естественную идентификацию $\operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))$, можно также определить ⊗ RN _по M формуле

$$\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).$$

Это известно как присоединение тензора к дому ; см. также § Свойства .

Для каждого x в M и y в N пишут

х ⊗ у

для изображения ( x , y ) при каноническом отображении $\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N$. Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильным обозначением было бы x ⊗ _R y, здесь принято опускать но R . Тогда сразу из определения возникают отношения:

Икс ⊗ ( у + у ′) знак равно Икс ⊗ y + Икс ⊗ y ′	(Dl ⊗ )
( Икс + Икс ′) ⊗ y знак равно Икс ⊗ y + Икс ′ ⊗ y	(Dr ⊗ )
( Икс ⋅ р ) ⊗ y знак равно Икс ⊗ ( р ⋅ y )	(A ⊗ )

Универсальное свойство тензорного произведения имеет следующее важное следствие:

Предложение — Каждый элемент $M\otimes _{R}N$ может быть записано неоднозначно как

$$\sum _{i}x_{i}\otimes y_{i},\,x_{i}\in M,y_{i}\in N.$$

Другими словами, образ $\otimes$ генерирует $M\otimes _{R}N$. Более того, если f — функция, определенная на элементах $x\otimes y$ со значениями в абелевой группе G , то f однозначно продолжается до гомоморфизма, определенного на всей $M\otimes _{R}N$ тогда и только тогда, когда $f(x\otimes y)$ является $\mathbb {Z}$-билинейный по x и y .

Доказательство. Для первого утверждения пусть L — подгруппа группы $M\otimes _{R}N$ генерируемые элементами рассматриваемой формы, $Q=(M\otimes _{R}N)/L$ и q фактор-отображение к Q . У нас есть: $0=q\circ \otimes$ а также $0=0\circ \otimes$. Следовательно, по части уникальности универсального свойства q = 0. Второе утверждение состоит в том, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля. $\square$

универсального свойства

тензорное произведение модулей

На практике иногда труднее показать, что тензорное произведение R -модулей $M\otimes _{R}N$ не равно нулю, чем оно есть, чтобы показать, что оно равно 0. Свойство универсальности дает удобный способ проверить это.

Чтобы проверить, что тензорное произведение $M\otimes _{R}N$ не равно нулю, можно построить R -билинейное отображение $f:M\times N\rightarrow G$ в абелеву группу $G$ такой, что $f(m,n)\neq 0$. Это работает, потому что если $m\otimes n=0$, затем $f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0$.

Например, чтобы увидеть это $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, не равно нулю, возьмем $G$ быть $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ и $(m,n)\mapsto mn$. Это говорит о том, что чистые тензоры $m\otimes n\neq 0$ пока $mn$ ненулевое значение в $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$.

Для эквивалентных модулей

В предложении говорится, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз напрямую ссылаться на универсальное свойство. Это очень удобно на практике. Например, если R коммутативен и левое и правое действия R на модулях считаются эквивалентными, то $M\otimes _{R}N$ естественно может быть снабжено R -скалярным умножением путем расширения

$$r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)$$

в целом $M\otimes _{R}N$ по предыдущему предложению (строго говоря, нужна бимодульная структура, а не коммутативность; см. абзац ниже). Оснащенный этой структурой R -модуля, $M\otimes _{R}N$ удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному предыдущему: для любого R -модуля G существует естественный изоморфизм:

$${\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}$$

Если R не обязательно коммутативен, но M имеет левое действие кольцом S (например, R ), то $M\otimes _{R}N$ можно задать структуру левого S -модуля, как и выше, по формуле

$$s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.$$

Аналогично, если N имеет правое действие кольцом S , то $M\otimes _{R}N$ становится правым S -модулем.

отображений и смена базового кольца

Даны линейные карты $f:M\to M'$ правых модулей над кольцом R и $g:N\to N'$ левых модулей существует единственный групповой гомоморфизм

$${\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}$$

Следствием конструкции является то, что тензоризация является функтором: каждый правый R -модуль M определяет функтор

$$M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}$$

из категории левых модулей в категорию абелевых групп, переводящую N в M ⊗ N , а гомоморфизм модулей f в групповой гомоморфизм 1 ⊗ f .

Если $f:R\to S$ — кольцевой гомоморфизм, и если M — правый S -модуль, а N — левый S -модуль, то существует канонический сюръективный гомоморфизм:

$$M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N$$

вызванный

$$M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.$$

Полученное отображение является сюръективным, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают весь модуль. В частности, приняв R за $\mathbb {Z}$ это показывает, что каждое тензорное произведение модулей является фактором тензорного произведения абелевых групп.

Смотрите также: Тензорное произведение § Тензорное произведение линейных отображений

Несколько модулей

(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Это определение можно распространить на тензорное произведение любого количества модулей над одним и тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство

М1 ⊗ М2 ₂ ⊗ M_М3

заключается в том, что каждая трилинейная карта на

М ₁ × М ₂ × М ₃ → З

соответствует уникальному линейному отображению

М ₁ ⊗ М ₂ ⊗ М ₃ → Z .

Бинарное тензорное произведение ассоциативно: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ естественно изоморфно M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Тензорное произведение трех модулей, определенное универсальным свойством трилинейных отображений, изоморфно обоим этим итерированным тензорным произведениям.

Свойства

Модули над общими кольцами

Пусть R1 _— , R2 _{коммутативные} , R3 _. , R кольца, не обязательно

• Для R ₁ - R ₂ -бимодуля ​ M ₁₂ левого R ₂ -модуля M ₂₀ и $M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}$ является левым R ₁ -модулем.
• правого R ₂ -модуля M ₀₂ и R ₂ - R ₃ -бимодуля M ₂₃ Для $M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}$ является правым R ₃ -модулем.
• (ассоциативность) Для правого R ₁ -модуля M ₀₁ , R ₁ - R ₂ -бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ имеем:
  $$\left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).$$
• Поскольку R является R - R -бимодулем, имеем $R\otimes _{R}R=R$ с кольцевым умножением $mn=:m\otimes _{R}n$ как его канонический сбалансированный продукт.

Модули над коммутативными кольцами

Пусть R — коммутативное кольцо, а M , N и P — R -модули. Затем

Личность

$$R\otimes _{R}M=M.$$

Ассоциативность

$$(M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).$$

Первые три свойства (плюс тождества на морфизмах) говорят, что категория R -модулей с коммутативным R образует симметричную моноидальную категорию . Таким образом $M\otimes _{R}N\otimes _{R}P$ четко определен.

Симметрия

$$M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.$$

Фактически, для любой перестановки σ множества {1, ..., n } существует единственный изоморфизм:

$${\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}$$

Распределение по прямым суммам

$$M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).$$

Фактически,

$$M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),$$

для набора индексов I произвольной мощности . Поскольку конечные произведения совпадают с конечными прямыми суммами, это означает:

• Распределение по конечным произведениям

  Для любого конечного числа $N_{i}$,

  $$M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.$$

Базовое расширение

Если S — R -алгебра, написав $-_{S}=S\otimes _{R}-$,

$$(M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};$$

ср. § Расширение скаляров . Следствием является:

• Распределение по локализации

  Для любого мультипликативно замкнутого S в R подмножества

  $$S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$$

  как $S^{-1}R$-модуль. С $S^{-1}R$ является R -алгеброй и $S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-$, это частный случай:

Коммутация с прямыми ограничениями

прямой системы R -модулей Mi _Для любой

$$(\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).$$

Присоединение

$$\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}$$

Следствием является:

• Право-требование

  Если

  $$0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0$$

  является точной последовательностью R -модулей, то

  $$M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0$$

  является точной последовательностью R -модулей, где $(1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).$

Отношение тензор-хом

Существует каноническое R -линейное отображение:

$$\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),$$

который является изоморфизмом, если либо M, либо P — конечно порожденный проективный модуль (см. § Как сохраняющие линейность отображения для некоммутативного случая); в более общем смысле существует каноническое R -линейное отображение:

$$\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')$$

который является изоморфизмом, если либо $(M,N)$ или $(M,M')$ есть пара конечно порожденных проективных модулей.

В качестве практического примера предположим, что M , N — свободные модули с базисами. $e_{i},i\in I$ и $f_{j},j\in J$. Тогда M — прямая сумма $M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}$ самое для Н. и то же По распределительному свойству имеем:

$$M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});$$

то есть, $e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J$ являются R -базисом $M\otimes _{R}N$. Даже если M не является свободным, свободное представление M . можно использовать для вычисления тензорных произведений

Тензорное произведение, вообще говоря, не коммутирует с обратным пределом : с одной стороны,

$$\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0$$

(ср. «примеры»). С другой стороны,

$$\left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}$$

где $\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$ — кольцо целых p-адических чисел и поле p-адических чисел . См. также « проконечное целое число » для примера в том же духе.

Если R не коммутативен, порядок тензорных произведений может иметь значение следующим образом: мы «израсходуем» правое действие M и левое действие N, чтобы сформировать тензорное произведение. $M\otimes _{R}N$; в частности, $N\otimes _{R}M$ даже не будет определен. Если M , N — бимодули, то $M\otimes _{R}N$ имеет левое действие, происходящее от левого действия M , и правое действие, происходящее от правого действия N ; эти действия не обязательно должны быть такими же, как левые и правые действия $N\otimes _{R}M$.

В более общем смысле ассоциативность справедлива для некоммутативных колец: если M — правый R -модуль, N — ( R , S )-модуль и P — левый S -модуль, то

$$(M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)$$

как абелева группа.

Общий вид присоединенного отношения тензорных произведений гласит: если R не обязательно коммутативен, M — правый R -модуль, N — ( R , S )-модуль, P — правый S -модуль, то как абелева группа

$$\operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'$$

где $f'$ дается $f'(x)(y)=f(x\otimes y)$.

См. Также: Присоединение Тензор-хом

Тензорное произведение R -модуля с полем дроби

Пусть R область целостности с полем дробей K. —

• Для R -модуля M любого $K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })$ как R -модули, где $M_{\operatorname {tor} }$ является торсионным подмодулем M .
• Если M — периодический R -модуль, то $K\otimes _{R}M=0$ и если M не торсионный модуль, то $K\otimes _{R}M\neq 0$.
• Если N — подмодуль M такой, что $M/N$ тогда это торсионный модуль $K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M$ как R -модули $x\otimes n\mapsto x\otimes n$.
• В $K\otimes _{R}M$, $x\otimes m=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$ или $m\in M_{\operatorname {tor} }$. В частности, $M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)$ где $m\mapsto 1\otimes m$.
• $K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}$ где $M_{(0)}$ это локализация модуля $M$ в высшем идеале $(0)$ (т.е. локализация по ненулевым элементам).

Расширение скаляров

Основная статья: Расширение скаляров

См. Также: Ограничение Вейля

Сопряженное отношение в общем виде имеет важный частный случай: для любой R -алгебры S , M правый R -модуль, P правый S -модуль, используя $\operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-$, мы имеем естественный изоморфизм:

$$\operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).$$

Это говорит о том, что функтор $-\otimes _{R}S$ является левым сопряженным функтору забывчивости $\operatorname {Res} _{R}$, который ограничивает S действием -действие R- . Из-за этого, $-\otimes _{R}S$ называют расширением скаляров от R до S. часто В теории представлений , когда R , S являются групповыми алгебрами, указанное выше соотношение становится взаимностью Фробениуса .

Примеры

• $R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}$, для любой R -алгебры S (т. е. свободный модуль остается свободным после расширения скаляров.)
• Для коммутативного кольца $R$ и коммутативной R -алгебры S имеем:
  $$S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];$$
  на самом деле, в более общем плане,
  $$S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],$$
  где $I$ является идеалом.
• С использованием $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$, предыдущий пример и китайская теорема об остатках , мы имеем в качестве колец
  $$\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.$$
  Это пример, когда тензорное произведение является прямым произведением .
• $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C}$.

Примеры

Структура тензорного произведения вполне обычных модулей может быть непредсказуемой.

Пусть G — абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок (то есть G — периодическая абелева группа ; например, G может быть конечной абелевой группой или $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$). Затем:

$$\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.$$

Действительно, любой $x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G$ имеет форму

$$x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.$$

Если $n_{i}$ это порядок $g_{i}$, то вычисляем:

$$x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.$$

Аналогично, человек видит

$$\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.$$

Вот некоторые тождества, полезные для вычислений: Пусть R — коммутативное кольцо, I , J идеалы, M , N R -модули. Затем

1. $R/I\otimes _{R}M=M/IM$. Если М плоское ​ , $IM=I\otimes _{R}M$.
2. $M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I$ (поскольку тензоризация коммутирует с базовыми расширениями)
3. $R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)$.

Пример: Если G — абелева группа, $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG$; это следует из 1.

Пример: $\mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}$; это следует из 3. В частности, для различных простых чисел p , q ,

$$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.$$

Тензорные произведения можно применять для управления порядком элементов групп. Пусть G — абелева группа. Тогда кратные 2 в

$$G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$$

равны нулю.

Пример: Пусть $\mu _{n}$ — группа корней n-й степени из единицы. Это циклическая группа , и циклические группы классифицируются по порядкам. Таким образом, неканонически $\mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n$ и, таким образом, когда g является НОД n и m ,

$$\mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.$$

Пример: рассмотрим $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$. С $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q}$ получается из $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ навязывая $\mathbb {Q}$-линейность в середине, имеем сюръекцию

$$\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q}$$

ядро которого порождается элементами вида ${r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y$где r , s , x , u — целые числа, а s не равно нулю. С

$${r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,$$

ядро фактически исчезает; следовательно, $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q}$.

Однако рассмотрим $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ и $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$. Как $\mathbb {R}$-векторное пространство, $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ имеет размерность 4, но $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ имеет размерность 2.

Таким образом, $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ и $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C}$ не изоморфны.

Пример: Предлагаем сравнить $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ и $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$. Как и в предыдущем примере, имеем: $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ как абелева группа и, следовательно, как $\mathbb {Q}$-векторное пространство (любое $\mathbb {Z}$-линейная карта между $\mathbb {Q}$-векторные пространства $\mathbb {Q}$-линейный). Как $\mathbb {Q}$-векторное пространство, $\mathbb {R}$ имеет размерность (мощность базиса) континуума . Следовательно, $\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ имеет $\mathbb {Q}$-базис, индексируемый произведением континуумов; таким образом, это $\mathbb {Q}$-измерение является континуумом. Следовательно, по причине размерности существует неканонический изоморфизм $\mathbb {Q}$-векторные пространства:

$$\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .$$

Рассмотрим модули $M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)$ для $f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]$ неприводимые многочлены такие, что $\gcd(f,g)=1$. Затем,

$${\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}$$

Еще одно полезное семейство примеров связано с заменой скаляров. Обратите внимание, что

$${\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$$

Хорошими примерами этого явления, на которые стоит обратить внимание, являются ситуации, когда $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}$.

Строительство

Конструкция M ⊗ N факторизует свободную абелеву группу с базой символов m ∗ n , используемых здесь для обозначения упорядоченной пары ( m , n ) , для m в M и n в N по подгруппе, порожденной всеми элементами формы

1. − м * ( п + п ′) + м ∗ п + м ∗ п ′
2. −( м + м ′) ∗ n + м ∗ n + м ′ ∗ n
3. ( м · р ) * п - м * ( р · п )

где m , m в M , n , n ' в N и r в R. ' Фактор-отображение, которое переводит m ∗ n = ( m , n ) в смежный класс, содержащий m ∗ n ; то есть,

$$\otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]$$

сбалансировано, и подгруппа выбрана минимальной, чтобы это отображение было сбалансированным. Универсальное свойство ⊗ следует из универсальных свойств свободной абелевой группы и фактора.

Если S — подкольцо кольца R , то $M\otimes _{R}N$ является факторгруппой $M\otimes _{S}N$ подгруппой, созданной $xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N$, где $x\otimes _{S}y$ это образ $(x,y)$ под $\otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N$. В частности, любое тензорное произведение R -модулей при желании можно построить как фактор тензорного произведения абелевых групп путем наложения свойства R -сбалансированного произведения.

С точки зрения теории категорий, пусть σ — данное правое действие R на M ; т. е. σ( m , r ) = · r и τ — левое действие R из N. m Тогда, если тензорное произведение абелевых групп уже определено, тензорное произведение M и N над R можно определить как коэквалайзер :

$$M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N$$

где $\otimes$ без индекса относится к тензорному произведению абелевых групп.

При построении тензорного произведения над коммутативным кольцом R -модуля структура R может быть встроена с самого начала путем формирования фактора свободного R -модуля по подмодулю, порожденному элементами, приведенными выше для общей конструкции, дополненными элементами р ⋅ ( м ∗ п ) - м ∗ ( р ⋅ п ) . Альтернативно, общей конструкции можно придать структуру Z( R )-модуля, определив скалярное действие как r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ), когда это корректно определено, а именно, когда r ∈ ( R , центр R. ) Z

Прямое произведение N M и N. изоморфно тензорному M и редко произведению Когда R не коммутативен, тензорное произведение требует, чтобы M и N были модулями на противоположных сторонах, тогда как прямое произведение требует, чтобы они были модулями на одной стороне. Во всех случаях единственной функцией от M × N до G , которая является одновременно линейной и билинейной, является нулевое отображение.

В виде линейных карт

В общем случае не все свойства тензорного произведения векторных пространств распространяются на модули. Тем не менее, некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемого как гомоморфизмы модулей , сохраняются.

Двойной модуль

Смотрите также: Двойственность (математика) § Двойные объекты

Двойственный модуль правого R -модуля E определяется как Hom _R ( E , R ) с канонической структурой левого R -модуля и обозначается E ^∗ . Каноническая структура — это поточечные операции сложения и скалярного умножения. Таким образом, Э ^∗ — это набор всех R -линейных отображений E → R (также называемых линейными формами ) с операциями

$$(\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E$$

$$(r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,$$

Двойственный левому R -модулю определяется аналогично, с теми же обозначениями.

Всегда существует канонический гомоморфизм E → E ^∗∗ от E до его второго двойника. Это изоморфизм, если E — свободный модуль конечного ранга. В общем случае E называется рефлексивным модулем , если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

Соединение дуальности

Обозначим естественное спаривание двойственного к нему E ^∗ и правый R -модуль E или левый R -модуль F и его двойственный F ^∗ как

$$\langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)$$

$$\langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).$$

Спаривание является левым R -линейным по левому аргументу и правым R -линейным по правому аргументу:

$$\langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.$$

Элемент как (би)линейная карта

В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R -линейное отображение, правое R -линейное отображение и R -билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R -модулем и, следовательно, не поддерживает скалярное умножение.

• Для заданного правого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ′) является отображением e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ .
• Для левого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) такое, что θ ( f ⊗ e ) является отображением e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ .

Оба случая верны для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничены тем, что они являются конечно порожденными проективными модулями (в частности, свободными модулями конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается на R -линейное отображение, хотя, как и в случае с векторными пространствами, к модулям применяются ограничения, чтобы они были эквивалентны полному пространству таких линейных отображений.

• Для правого R -модуля E и левого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) такой, что θ ( f ′ ⊗ e ′) является отображением ( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′ ⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ можно думать, что оно порождает или действует как R -билинейное отображение F × E → R .

След

Пусть R — коммутативное кольцо, а E — -модуль R . Тогда существует каноническое R -линейное отображение:

$$E^{*}\otimes _{R}E\to R$$

индуцированный линейностью $\phi \otimes x\mapsto \phi (x)$; это единственное R -линейное отображение, соответствующее естественному спариванию.

Если E — конечно порожденный проективный R -модуль, то можно отождествить $E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)$ через упомянутый выше канонический гомоморфизм, а затем это карта следов :

$$\operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.$$

Когда R — поле, это обычный след линейного преобразования.

Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле

Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R — (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M , то можно положить

$${\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}$$

где Γ означает пространство сечений и верхний индекс $\otimes p$ тензорирование p раз по R. означает По определению, элемент ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$ — тензорное поле типа ( p , q ).

В качестве R -модулей ${\mathfrak {T}}_{p}^{q}$ представляет собой двойной модуль ${\mathfrak {T}}_{q}^{p}$.

Чтобы облегчить обозначения, положим $E=\Gamma (M,TM)$ и так $E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)$. Когда p , q ≥ 1, для каждого ( k , l ) с 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q существует R -полилинейное отображение:

$$E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}$$

где $E^{p}$ означает $\prod _{1}^{p}E$ и шляпа означает, что термин опущен. По свойству универсальности ему соответствует уникальное R -линейное отображение:

$$C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.$$

Это называется сжатием тензоров по индексу ( k , l ). Разворачивая то, что говорит универсальное свойство, мы видим:

$$C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.$$

Примечание . Предыдущее обсуждение является стандартным для учебников по дифференциальной геометрии (например, Хельгасона). В некотором смысле, теоретико-пучковая конструкция (т. е. язык пучка модулей ) более естественна и становится все более распространенной; об этом см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей .

Связь с плоскими модулями

В общем,

$$-\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab}$$

является бифунктором , который принимает пару правого и левого R- модулей в качестве входных данных и присваивает им тензорное произведение в категории абелевых групп .

Зафиксировав правый R- модуль M , функтор

$$M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab}$$

возникает, и симметрично левый R- модуль N можно зафиксировать, чтобы создать функтор

$$-\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .$$

В отличие от бифунктора Hom $\mathrm {Hom} _{R}(-,-),$ тензорный функтор ковариантен на обоих входах.

Можно показать, что $M\otimes _{R}-$ и $-\otimes _{R}N$ всегда являются точными справа функторами , но не обязательно точными слева ( $0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0$, где первая карта — это умножение на $n$, является точным, но не после взятия тензора с $\mathbb {Z} _{n}$). По определению модуль T является плоским, если $T\otimes _{R}-$ является точным функтором.

Если $\{m_{i}\mid i\in I\}$ и $\{n_{j}\mid j\in J\}$ являются порождающими наборами для M и N соответственно, то $\{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}$ будет генераторная установка для $M\otimes _{R}N.$ Поскольку тензорный функтор $M\otimes _{R}-$ иногда не может быть точным, это может быть не минимальный порождающий набор, даже если исходные порождающие наборы минимальны. Если M — плоский модуль , функтор $M\otimes _{R}-$ является точным по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся по полю F , мы имеем дело с векторными пространствами, как указано выше. Поскольку все F -модули плоские, бифунктор $-\otimes _{R}-$ точна в обеих позициях, и два заданных порождающих набора являются базисами, то $\{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}$ действительно составляет основу для $M\otimes _{F}N$.

См. также: чистый подмодуль

Дополнительная структура

Смотрите также: Свободное произведение ассоциативных алгебр.

Если S и T — коммутативные R -алгебры, то, как и #Для эквивалентных модулей , S ⊗ _R T будет коммутативной R также -алгеброй с отображением умножения, определяемым формулой ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) и расширен по линейности. В этом случае тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории коммутативных R -алгебр. (Но это не копроизведение в категории R -алгебр.)

Если M и N оба являются R -модулями над коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R -модулем. Если R — кольцо, _RM — левый R -модуль и коммутатор

РС − ср

любых двух элементов r и s из R находится в аннуляторе M , , то мы можем превратить M в правый модуль R установив

г-н = гм .

Действие R на M факторизуется через действие факторкоммутативного кольца. В этом случае тензорное произведение M на самого себя над R снова является R -модулем. Это очень распространенный метод в коммутативной алгебре.

Обобщение

Тензорное произведение комплексов модулей

Если X , Y — комплексы R -модулей ( R — коммутативное кольцо), то их тензорное произведение представляет собой комплекс, заданный формулой

$$(X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},$$

с дифференциалом, определяемым следующим образом: для x в X _i и y в Y _j ,

$$d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).$$

Например, если C — цепной комплекс плоских абелевых групп и если G — абелева группа, то группа гомологии $C\otimes _{\mathbb {Z} }G$ — группа гомологий C с коэффициентами из G (см. также: теорема об универсальных коэффициентах .)

Тензорное произведение пучков модулей

Основная статья: Связка модулей

Тензорное произведение пучков модулей — это пучок, сопоставленный с предпучком тензорных произведений модулей сечений над открытыми подмножествами.

В этой схеме, например, можно определить тензорное поле на гладком многообразии M как (глобальное или локальное) сечение тензорного произведения (называемого тензорным расслоением ).

$$(TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}$$

где O — пучок колец гладких функций на M и расслоения $TM,T^{*}M$ рассматриваются как локально свободные пучки на M .

на Внешнее расслоение M — это подрасслоение тензорного расслоения, состоящее из всех антисимметричных ковариантных тензоров. Сечения внешнего расслоения являются дифференциальными формами на M .

См. также: Пакет продуктов Tensor.

Один важный случай образования тензорного произведения над пучком некоммутативных колец возникает в теории D -модулей ; то есть тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов .

См. также

• Функтор Тора
• Тензорное произведение алгебр
• Тензорное произведение полей
• Производное тензорное произведение

Ссылки

• Бурбаки, Алгебра
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  0-12-338460-5
• Норткотт, DG (1984), Мультилинейная алгебра , издательство Кембриджского университета, ISBN  613-0-04808-4 .
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules , Springer, ISBN  978-1-4020-2690-4 .
• Мэй, Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета.