взаимность Фробениуса

В математике и, в частности, в теории представлений , взаимность Фробениуса представляет собой теорему, выражающую двойственность между процессом ограничения и индукции . Его можно использовать для использования знаний о представлениях подгруппы для поиска и классификации представлений «больших» групп, которые их содержат. Он назван в честь Фердинанда Георга Фробениуса , изобретателя теории представлений конечных групп .

Заявление

Теория персонажей

Первоначально теорема была сформулирована в терминах теории характеров . Пусть G — конечная группа с подгруппой H , пусть $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ обозначают ограничение характера или, в более общем смысле, функции класса G на H , и пусть $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ обозначают индуцированную функцию класса данной функции класса на H . Для любой конечной группы A существует скалярное произведение $\langle -,-\rangle _{A}$ в векторном пространстве функций классов $A\to \mathbb {C}$ (подробно описано в статье Отношения ортогональности Шура ). Теперь для любых функций класса $\psi :H\to \mathbb {C}$ и $\varphi :G\to \mathbb {C}$, имеет место следующее равенство:

$$\langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi ,\varphi \rangle _{G}=\langle \psi ,\operatorname {Res} _{H}^{G}\varphi \rangle _{H}.$$

Другими словами, $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ и $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ являются эрмитово сопряженными .

показывать Доказательство взаимности Фробениуса для функций класса.

Let $\psi :H\to \mathbb {C}$ and $\varphi :G\to \mathbb {C}$ be class functions. Proof. Every class function can be written as a linear combination of irreducible characters. As $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is a bilinear form, we can, without loss of generality, assume $\psi$ and $\varphi$ to be characters of irreducible representations of $H$ in $W$ and of $G$ in $V,$ respectively.We define $\psi (s)=0$ for all $s\in G\setminus H.$ Then we have $${\begin{aligned}\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\text{Ind}}(\psi )(t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}$$ In the course of this sequence of equations we used only the definition of induction on class functions and the properties of characters. $\Box$ Alternative proof. In terms of the group algebra, i.e. by the alternative description of the induced representation, the Frobenius reciprocity is a special case of a general equation for a change of rings: ${\text{Hom}}_{\mathbb {C} [H]}(W,U)={\text{Hom}}_{\mathbb {C} [G]}(\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).$ This equation is by definition equivalent to [how?] $\langle W,{\text{Res}}(U)\rangle _{H}=\langle W,U\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(W),U\rangle _{G}.$ As this bilinear form tallies the bilinear form on the corresponding characters, the theorem follows without calculation. $\Box$

Теория модулей

См. Также: Замена колец § Связь между расширением скаляров и ограничением скаляров.

Как поясняется в разделе Теория представлений конечных групп#Представления, модули и алгебра свертки , теория представлений группы G над полем K в определенном смысле эквивалентна теории модулей над групповой алгеброй K. [ Г ]. Поэтому существует соответствующая теорема взаимности Фробениуса для K [ G ]-модулей.

Пусть G группа с подгруппой , M H -модуль . и N -модуль G H На языке теории модулей индуцированный модуль $K[G]\otimes _{K[H]}M$ соответствует индуцированному представлению $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$, тогда как ограничение скаляров ${_{K[H]}}N$ соответствует ограничению $\operatorname {Res} _{H}^{G}$. Соответственно, утверждение выглядит следующим образом: Следующие множества гомоморфизмов модулей находятся в биективном соответствии:

$$\operatorname {Hom} _{K[G]}(K[G]\otimes _{K[H]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H]}(M,{_{K[H]}}N)$$.

Как отмечено ниже в разделе, посвященном теории категорий, этот результат применим к модулям над всеми кольцами, а не только к модулям над групповыми алгебрами.

Теория категорий

Пусть G — группа с подгруппой H и пусть $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ быть определены, как указано выше. Для любой группы A и поля K пусть ${\textbf {Rep}}_{A}^{K}$ обозначим категорию линейных представлений A над K . Существует забывчивый функтор

$${\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{H}\\(V,\rho )&\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\rho )\end{aligned}}$$

Этот функтор действует как тождество на морфизмах . Существует функтор, идущий в противоположном направлении:

$${\begin{aligned}\operatorname {Ind} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{G}\\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind} _{H}^{G}(W,\tau )\end{aligned}}$$

Эти функторы образуют присоединенную пару $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$. В случае конечных групп они фактически сопряжены друг с другом как слева, так и справа. Это дополнение порождает универсальное свойство индуцированного представления (подробнее см. Индуцированное представление#Свойства ).

На языке теории модулей соответствующее дополнение является примером более общего отношения между ограничением и расширением скаляров .

См. также

• См. «Ограниченное представление» и «Индуцированное представление» , где приведены определения процессов, к которым применяется эта теорема.
• См. Теорию представлений конечных групп для получения широкого обзора предмета представлений групп.
• См. формулу следа Сельберга и формулу следа Артура-Сельберга для обобщений на дискретные коконечные подгруппы некоторых локально компактных групп.

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0387901906 . ОСЛК   2202385 .
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. стр. 235–248. дои : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8 . ISBN  9781461412304 . OCLC   769756134 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Вайсштейн, Эрик. «Индуцированное представление» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 ноября 2017 г.