Формула следа Сельберга

В математике , формула следов Сельберга введенная Сельбергом (1956) , является выражением характера унитарного представления группы Ли G в пространстве L. ² (Г\ G ) функций, интегрируемых с квадратом , где Г — коконечная дискретная группа . Характер задается следом некоторых функций G. на

Самый простой случай — когда , когда Г кокомпактно представление распадается на дискретные слагаемые. Здесь формула следа является расширением формулы Фробениуса для характера индуцированного представления конечных групп. Когда Γ является кокомпактной подгруппой Z действительных чисел G = R , формула следа Сельберга по существу является формулой суммирования Пуассона .

Случай, когда Г\ G не компактен, сложнее, поскольку существует непрерывный спектр , описываемый рядами Эйзенштейна . Сельберг разработал некомпактный случай, когда G — группа SL(2, R ) ; расширением групп более высокого ранга является формула следа Артура – ​​Сельберга .

Когда Γ является фундаментальной группой римановой поверхности , формула следа Сельберга описывает спектр дифференциальных операторов, таких как лапласиан, в терминах геометрических данных, включающих длины геодезических на римановой поверхности. В этом случае формула следа Сельберга формально аналогична явным формулам, связывающим нули дзета-функции Римана с простыми числами, причем дзета-нули соответствуют собственным значениям лапласиана, а простые числа соответствуют геодезическим. Руководствуясь аналогией, Сельберг ввел дзета-функцию Сельберга римановой поверхности, аналитические свойства которой кодируются формулой следа Сельберга.

Ранняя история

когда пространство представляет собой компактную риманову поверхность S. Особый интерес представляют случаи , Первая публикация Атле Сельберга в 1956 году была посвящена этому случаю, его Лапласа дифференциальному оператору и его степеням. Следы степеней лапласиана можно использовать для определения дзета-функции Сельберга . Интерес в этом случае представляла аналогия между полученной формулой и явными формулами теории простых чисел . Здесь замкнутые геодезические на S играют роль простых чисел.

В то же время интерес к следам операторов Гекке был связан с формулой следов Эйхлера-Сельберга Сельберга и Мартина Эйхлера для оператора Гекке, действующего в векторном пространстве параболических форм заданного веса для заданной конгруэнтной подгруппы. модульной группы . Здесь след тождественного оператора — это размерность векторного пространства, т. е. размерность пространства модулярных форм данного типа: величина, традиционно вычисляемая с помощью теоремы Римана–Роха .

Приложения

Формула следа имеет приложения в арифметической геометрии и теории чисел . Например, используя теорему о следах, Эйхлер и Шимура вычислили L-функции Хассе – Вейля, связанные с модулярными кривыми ; Методы Горо Шимуры обходили анализ, включенный в формулу следа. Развитие параболических когомологий (из когомологий Эйхлера ) обеспечило чисто алгебраическую установку, основанную на групповых когомологиях , принимая во внимание точки возврата, характерные для некомпактных римановых поверхностей и модулярных кривых.

Формула следов имеет и чисто дифференциально-геометрические применения. Например, согласно результату Бузера, спектр длин римановой поверхности является изоспектральным инвариантом, по существу, по формуле следа.

Формула следа Сельберга для

Компактную гиперболическую поверхность X можно записать как пространство орбит

$$\Gamma \backslash \mathbf {H} ,$$

где Γ — подгруппа PSL(2, R ) , H — верхняя полуплоскость , а Γ действует на H дробно -линейными преобразованиями .

Формула следов Сельберга для этого случая проще, чем в общем случае, поскольку поверхность компактна, поэтому нет непрерывного спектра, а группа Γ не имеет параболических или эллиптических элементов (кроме единицы).

Тогда спектр оператора Лапласа–Бельтрами на X дискретен и действителен, поскольку оператор Лапласа самосопряжен с компактной резольвентой ; то есть

$$0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots$$

где собственные значения µ _n соответствуют Γ -инвариантным собственным функциям u в C ^∞ ( H ) лапласиана; другими словами

$${\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}$$

Использование замены переменной

$$\mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir$$

собственные значения помечены

$$r_{n},n\geq 0.$$

Тогда формула следов Сельберга имеет вид

$$\sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).$$

Правая часть представляет собой сумму по классам сопряженности группы Γ , причем первый член соответствует единице, а остальные члены образуют сумму по другим классам сопряженности { T } (которые в данном случае все гиперболические). Функция h должна удовлетворять следующему:

• быть аналитическим на |Im( r )| ≤ 1/2 ​ ​ + д ;
• час (- р ) знак равно час ( р ) ;
• существуют положительные константы δ и M такие, что:
  $$\vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }.$$

Функция g является преобразованием Фурье h , то есть

$$h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.$$

Общая формула следа Сельберга

Общее заявление

Пусть G — унимодулярная локально компактная группа и $\Gamma$ дискретная кокомпактная подгруппа группы G и $\phi$ непрерывная функция на G с компактным носителем . Формула трассировки в этой настройке представляет собой следующее равенство:

$$\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx=\sum _{\pi \in {\widehat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )$$

где $\{\Gamma \}$ представляет собой набор классов сопряженности в $\Gamma$, ${\widehat {G}}$ является унитарным двойником G : и

• для элемента $\gamma \in \Gamma$, $a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma }).$ с $G_{\gamma },\Gamma _{\gamma }$ централизаторы $\gamma$ в $G,\Gamma$ соответственно;
• для неприводимого унитарного представления $\pi$ из $G$, $a_{\Gamma }^{G}(\pi )$ это множественность ​ $\pi$ в правом представлении на $\Gamma \backslash G$ в $L^{2}(\Gamma \backslash G$), и $\pi (\phi )$ это оператор $\int _{G}\phi (g)\pi (g)dg$;
• все интегралы и объемы берутся по мере Хаара на $G$ или его частные.

Левая часть формулы называется геометрической , а правая – спектральной . Условия $\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx$ являются орбитальными интегралами .

Доказательство

Определите следующий оператор для компактно поддерживаемых функций на $\Gamma \backslash G$:

$$R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx,$$

Он непрерывно распространяется на $L^{2}(\Gamma \setminus G)$ и для $f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)$ у нас есть:

$$(R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy$$

после замены переменных. Предполагая $\Gamma \setminus G$ компактен, оператор $R(\phi )$ является классом трассировки , а формула трассировки является результатом вычисления трассировки двумя способами, как описано ниже.

След $R(\phi )$можно выразить как интеграл от ядра $K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)$ по диагонали, то есть:

$$\operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.$$

Позволять $\{\Gamma \}$ обозначим совокупность представителей классов сопряженности в $\Gamma$, и $\Gamma ^{\gamma }$ и $G^{\gamma }$ соответствующие центраторы $\gamma$. Тогда приведенный выше интеграл после манипуляций можно записать

$$\operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.$$

Это дает геометрическую сторону формулы следа.

Спектральная сторона формулы следа возникает в результате вычисления следа $R(\phi )$ используя разложение регулярного представления $G$ на неприводимые компоненты. Таким образом

$$\operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )$$

где ${\hat {G}}$ — множество неприводимых унитарных представлений $G$ (напомним, что целое положительное число $a_{\Gamma }^{G}(\pi )$ это множественность $\pi$ в унитарном представительстве $R$ на $L^{2}(\Gamma \setminus G)$).

Случай полупростых групп Ли

Когда $G$ — полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой $K$ и $X=G/K$ — ассоциированное симметрическое пространство, классы сопряженности в $\Gamma$ может быть описан в геометрических терминах с использованием компактного риманова многообразия (в более общем смысле — орбифолда). $\Gamma \backslash X$. Затем можно вычислить орбитальные интегралы и следы в неприводимых слагаемых, и, в частности, таким способом можно восстановить случай формулы следов для гиперболических поверхностей.

Более поздняя работа

Общая теория рядов Эйзенштейна во многом была мотивирована требованием выделения непрерывного спектра , характерного для некомпактного случая.

Формула следа часто дается для алгебраических групп над аделями, а не для групп Ли, поскольку это превращает соответствующую дискретную подгруппу Γ в алгебраическую группу над полем, с которой технически легче работать. Случай SL ₂ ( C ) обсуждается в работах Гельфанда, Граева и Пятецкого-Шапиро (1990) и Эльстродта, Грюневальда и Меннике (1998) . Гельфанд и др. также рассматривают SL ₂ ( F ), где F — локально компактное топологическое поле с ультраметрической нормой , т. е. конечное расширение p-адических чисел Q _p или формального ряда Лорана F _q (( T )); они также обрабатывают адельный случай в характеристике 0, объединяя все пополнения R и Q _p рациональных чисел Q .

Современными преемниками теории являются формула следа Артура-Сельберга, применимая к случаю общего полупростого G , и многочисленные исследования формулы следа в философии Ленглендса (затрагивающие технические вопросы, такие как эндоскопия ). Формулу следа Сельберга можно с некоторыми усилиями вывести из формулы следа Артура – ​​Сельберга.

Ссылки

• Борель, Арманд (1997). Автоморфные формы на SL ₂ (R) . Кембриджские трактаты по математике. Том. 130. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-58049-8 . МР   1482800 .
• Чавел, Исаак; Рэндол, Бертон (1984). «XI. Формула следа Сельберга». Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Том. 115. Академическая пресса. ISBN  0-12-170640-0 . МР   0768584 .
• Эльстродт, Юрген (1981). «Формула следа Сельберга для компактных римановых поверхностей» (PDF) . Годовая площадь Немецкий. Математическая Ассоциация (на немецком языке). 83 . Билефельд: Немецкая ассоциация математиков : 45–77. МР   0612411 .
• Элстродт, Дж.; Грюневальд, Ф.; Меннике, Дж. (1998). Группы, действующие в гиперболическом пространстве: Гармонический анализ и теория чисел . Монографии Спрингера по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-62745-6 . МР   1483315 .
• Фишер, Юрген (1987), Подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Конспект лекций по математике, том. 1253, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0077696 , ISBN.  978-3-540-15208-8 , МР   0892317
• Гельфанд, И.М. ; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1990), Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, вып. 6, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-279506-0 , МР   1071179
• Годемент, Роджер (1966). «Разложение L ² (G/Γ) для Γ=SL(2,Z)". Алгебраические группы и разрывные подгруппы . Proc. Sympos. Pure Math. Providence: American Mathematical Society . стр. 211–224. MR   0210827 .
• Хейхал, Деннис А. (1976), «Формула следа Сельберга и дзета-функция Римана» , Duke Mathematical Journal , 43 (3): 441–482, doi : 10.1215/S0012-7094-76-04338-6 , ISSN   0012 -7094 , МР   0414490
• Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2,R). Том. I , Конспект лекций по математике, Vol. 548, том. 548, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/BFb0079608 , ISBN.  978-3-540-07988-0 , МР   0439755
• Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2,R). Том. 2 , Конспект лекций по математике, вып. 1001, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/BFb0061302 , ISBN.  978-3-540-12323-1 , МР   0711197
• Иванец, Хенрик (2002). Спектральные методы автоморфных форм . Аспирантура по математике. Том. 53 (Второе изд.). Американское математическое общество . ISBN  0-8218-3160-7 . МР   1942691 .
• Лакс, Питер Д .; Филлипс, Ральф С. (1980). «Теория рассеяния автоморфных функций» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц. 2 : 261–295. МР   0555264 .
• Маккин, HP (1972), «Формула следа Сельберга применительно к компактной римановой поверхности», Communications on Pure and Applied Mathematics , 25 (3): 225–246, doi : 10.1002/cpa.3160250302 , ISSN   0010-3640 , MR   0473166
• Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Соц. , Новая серия, 20 : 47–87, МР   0088511
• Сунада, Тошиказу (1991), Формулы следов в спектральной геометрии , Proc. ICM-90 Киото, Springer-Verlag, стр. 577–585.

Внешние ссылки

• Страница ресурсов с формулой трассировки Сельберга