Закрытая геодезическая

В дифференциальной геометрии и динамических системах замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая , которая возвращается в исходную точку с тем же касательным направлением. Его можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии ( M , g ) замкнутая геодезическая — это кривая $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ которая является геодезической для метрики g и является периодической.

Замкнутые геодезические можно охарактеризовать с помощью вариационного принципа. Обозначая $\Lambda M$ пространстве гладких 1-периодических кривых на M замкнутые геодезические периода 1 являются в точности критическими точками энергетической функции $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$, определяется

$E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.$

Если $\gamma$ — замкнутая геодезическая периода p , репараметризованная кривая $t\mapsto \gamma (pt)$является замкнутой геодезической периода 1 и, следовательно, является критической точкой E . Если $\gamma$ является критической точкой E , как и перепараметризованные кривые $\gamma ^{m}$, для каждого $m\in \mathbb {N}$, определяется $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$. каждая замкнутая геодезическая на М порождает бесконечную последовательность критических точек энергии Е. Таким образом ,

Примеры

На единичной сфере $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$со стандартной круглой римановой метрикой каждый большой круг является примером замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может быть не так, но всегда существует как минимум три простых замкнутых геодезических; это теорема о трёх геодезических . Многообразия, все геодезические которых замкнуты, подробно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности , фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические находятся во взаимно однозначном соответствии с нетривиальными классами сопряженности элементов фуксовой группы поверхности.

См. также

• Теорема Люстерника – Фета.
• Теорема о трёх геодезических
• Поток, сокращающий кривую
• Формула следа Сельберга
• Дзета-функция Сельберга
• Поверхность Золля

Ссылки

• Бесс, А.: «Многообразия, все геодезические которых замкнуты», Эргебиссе Гренцгеб. Математика. , нет. 93, Шпрингер, Берлин, 1978.