Дифференциальная геометрия

Треугольник, погруженный в плоскость седловидной формы ( гиперболический параболоид ), а также две расходящиеся ультрапараллельные прямые .

Дифференциальная геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрию гладких форм и гладких пространств, также известных как гладкие многообразия . Он использует методы дифференциального исчисления , интегрального исчисления , линейной алгебры и полилинейной алгебры . Эта область берет свое начало в изучении сферической геометрии еще в древности . Это относится и к , геодезии Земли , а позднее к изучению гиперболической геометрии Лобачевского . астрономии Простейшими примерами гладких пространств являются плоские и пространственные кривые и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , и изучение этих форм легло в основу развития современной дифференциальной геометрии в XVIII и XIX веках.

С конца 19-го века дифференциальная геометрия превратилась в область, занимающуюся более общими геометрическими структурами на дифференцируемых многообразиях . Геометрическая структура — это структура, которая определяет некоторое понятие размера, расстояния, формы, объема или другой структуры, придающей жесткость. Например, в римановой геометрии задаются расстояния и углы, в симплектической геометрии можно вычислять объемы, в конформной геометрии задаются только углы, а в калибровочной теории определенные поля в пространстве заданы . Дифференциальная геометрия тесно связана с дифференциальной топологией , которая касается свойств дифференцируемых многообразий, которые не полагаются на какую-либо дополнительную геометрическую структуру (подробнее о различии между двумя предметами см. В этой статье). Дифференциальная геометрия также связана с геометрическими аспектами теории дифференциальных уравнений , иначе известными как геометрический анализ .

Дифференциальная геометрия находит применение в математике и естественных науках . Наиболее заметно язык дифференциальной геометрии использовался Альбертом Эйнштейном в его общей теории относительности , а затем физиками при разработке квантовой теории поля и стандартной модели физики элементарных частиц . Помимо физики, дифференциальная геометрия находит применение в химии , экономике , технике , теории управления , компьютерной графике и компьютерном зрении , а с недавних пор и в машинном обучении .

и

История и развитие дифференциальной геометрии как предмета начинается, по крайней мере, еще в классической античности . Оно тесно связано с развитием геометрии в целом, понятия пространства и формы, а также топологии , особенно с изучением многообразий . В этом разделе мы сосредоточиваемся прежде всего на истории применения бесконечно малых методов к геометрии, а затем к идеям касательных пространств и, в конечном итоге, к развитию современного формализма предмета в терминах тензоров и тензорных полей .

Классическая древность до эпохи Возрождения (300 г. до н.э. – 1600

Изучение дифференциальной геометрии или, по крайней мере, изучения геометрии гладких форм можно проследить, по крайней мере, до классической античности . В частности, многое было известно о геометрии Земли , сферической геометрии , во времена древнегреческих математиков. Как известно, Эратосфен вычислил окружность Земли около 200 г. до н.э., а около 150 г. н.э. Птолемей в своей «Географии» представил стереографическую проекцию для картографирования формы Земли. Неявно на протяжении всего этого времени принципы, составляющие основу дифференциальной геометрии и исчисления, использовались в геодезии , хотя и в значительно упрощенной форме. А именно, еще в было » Евклида «Началах понятно, что прямая линия может быть определена по ее свойству обеспечивать кратчайшее расстояние между двумя точками, и применение этого же принципа к поверхности Земли приводит к выводу, что большие круги , которые лишь локально похожи на прямые линии на плоской плоскости, обеспечивают кратчайший путь между двумя точками на поверхности Земли. Действительно, измерения расстояний по таким геодезическим путям Эратосфена и других можно считать элементарной мерой длины дуги кривых - концепция, которая не получила строгого определения с точки зрения исчисления до 1600-х годов.

Примерно в это же время существовало лишь минимальное явное применение теории бесконечно малых к изучению геометрии, что было предшественником современного изучения этого предмета, основанного на исчислении. В обсуждается » Евклида « Началах понятие касания линии к кругу, и Архимед применил метод исчерпывания для вычисления площадей гладких форм, таких как круг , и объемов гладких трехмерных тел, таких как сфера. , конусы и цилиндры.

теория дифференциальной геометрии получила небольшое развитие Между античностью и началом эпохи Возрождения . До развития исчисления Ньютоном и Лейбницем наиболее значительное развитие в понимании дифференциальной геометрии произошло благодаря Герардом Меркатором разработке проекции Меркатора как способа картографирования Земли. Меркатор понимал преимущества и недостатки конструкции своей карты и, в частности, осознавал конформную природу своей проекции, а также разницу между прагой , линиями кратчайшего расстояния на Земле, и директом , прямыми линиями. линии путей на его карте. праги имеют косую кривизну . Меркатор отметил, что в этой проекции Этот факт отражает отсутствие сохраняющей метрику карты поверхности Земли на плоскую плоскость, следствие более поздней Эгрегиума Гаусса Теоремы .

исчисления (1600–1800 гг

Соприкасающийся круг плоской кривой

Первое систематическое или строгое рассмотрение геометрии с использованием теории бесконечно малых и понятий исчисления началось примерно в 1600-х годах, когда исчисление было впервые разработано Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном . В это время недавняя работа Рене Декарта, вводящая аналитические координаты в геометрию, позволила строго описывать геометрические формы возрастающей сложности. В частности, примерно в это же время Пьер де Ферма , Ньютон и Лейбниц начали изучение плоских кривых и исследование таких понятий, как точки перегиба и круги соприкосновения , которые помогают в измерении кривизны . Действительно, уже в своей первой статье об основах исчисления Лейбниц отмечает, что условие бесконечно малой $d^{2}y=0$указывает на наличие точки перегиба. Вскоре после этого братья Бернулли , Якоб и Иоганн внесли важный вклад в использование бесконечно малых величин для изучения геометрии. В лекциях Иоганна Бернулли того времени, позже собранных Л'Опиталем в первый учебник по дифференциальному исчислению , касательные к плоским кривым различных типов вычисляются с использованием условия $dy=0$, и аналогично рассчитываются точки перегиба. В это же время реализуется ортогональность между соприкасающимися кругами плоской кривой и касательными направлениями, и первая аналитическая формула для радиуса соприкасающегося круга, по существу первая аналитическая формула для понятия кривизны записывается .

Вслед за развитием аналитической геометрии и плоских кривых Алексис Клеро начал изучать пространственные кривые всего в 16 лет. В своей книге Клеро ввел понятие касательного и субкасательного направлений к пространственным кривым относительно направлений, лежащих вдоль поверхности, на которой лежит пространственная кривая. Таким образом, Клеро продемонстрировал неявное понимание касательного пространства к поверхности и впервые изучил эту идею с помощью исчисления. Важно отметить, что Клеро ввел терминологию кривизны и двойной кривизны , по сути, понятие главных кривизн, позже изученное Гауссом и другими.

Примерно в это же время Леонард Эйлер , первоначально ученик Иоганна Бернулли, внес значительный вклад не только в развитие геометрии, но и в математику в более широком смысле. Что касается дифференциальной геометрии, Эйлер изучил понятие геодезической на поверхности, выведя первое аналитическое уравнение геодезической , а позже ввел первый набор внутренних систем координат на поверхности, положив начало теории внутренней геометрии , на которой основаны современные геометрические идеи. . Примерно в это же время изучение Эйлером механики в « Механике» привело к пониманию того, что масса, движущаяся по поверхности, на которую не действует никакая сила, будет пересекать геодезический путь, что было ранним предшественником важных основополагающих идей общей теории относительности Эйнштейна , а также уравнения Эйлера -Лагранжа и первая теория вариационного исчисления , которая лежит в основе современной дифференциальной геометрии многих методов симплектической геометрии и геометрического анализа . Эта теория была использована Лагранжем , соавтором вариационного исчисления, для вывода первого дифференциального уравнения, описывающего минимальную поверхность в терминах уравнения Эйлера-Лагранжа. В 1760 году Эйлер доказал теорему, выражающую кривизну пространственной кривой на поверхности через главные кривизны, известную как теорема Эйлера .

Позже, в 1700-х годах, новая французская школа под руководством Гаспара Монжа начала вносить вклад в дифференциальную геометрию. Монж внес важный вклад в теорию плоских кривых и поверхностей, изучил поверхности вращения и оболочки плоских кривых и пространственных кривых. Несколько учеников Монжа внесли свой вклад в эту же теорию, и, например, Шарль Дюпен предложил новую интерпретацию теоремы Эйлера с точки зрения основных кривизн, что является современной формой уравнения.

Внутренняя геометрия и неевклидова геометрия

Область дифференциальной геометрии стала областью исследования, рассматриваемой сама по себе, отличной от более широкой идеи аналитической геометрии, в 1800-х годах, прежде всего благодаря основополагающим работам Карла Фридриха Гаусса и Бернхарда Римана , а также благодаря важному вкладу Николая Лобачевского о гиперболической геометрии и неевклидовой геометрии и на протяжении всего этого же периода развитие проективной геометрии .

Названный самой важной работой в истории дифференциальной геометрии, в 1827 году Гаусс опубликовал « Общие исследования кривых поверхностей», в которых подробно изложена общая теория искривленных поверхностей. В этой работе, а также в его последующих статьях и неопубликованных заметках по теории поверхностей Гаусса называют изобретателем неевклидовой геометрии и изобретателем внутренней дифференциальной геометрии. В своей фундаментальной работе Гаусс ввел отображение Гаусса , гауссову кривизну , первую и вторую фундаментальные формы , доказал теорему Эгрегиум , показывающую внутреннюю природу гауссовой кривизны, и изучал геодезику, вычисляя площадь геодезического треугольника в различных неевклидовых геометриях на поверхности.

В это время Гаусс уже придерживался мнения, что от стандартной парадигмы евклидовой геометрии следует отказаться, и располагал частными рукописями по неевклидовой геометрии, которые послужили основой для его изучения геодезических треугольников. Примерно в это же время Янош Больяи и Лобачевский независимо друг от друга открыли гиперболическую геометрию и тем самым продемонстрировали существование непротиворечивой геометрии вне парадигмы Евклида. Конкретные модели гиперболической геометрии были созданы Эухенио Бельтрами позже, в 1860-х годах, а Феликс Кляйн ввел термин «неевклидова геометрия» в 1871 году и с помощью программы Эрлангена поставил евклидову и неевклидову геометрии на одну основу. Неявно сферическая геометрия Земли, изучавшаяся с античности, была неевклидовой геометрией, эллиптической геометрией .

Развитие внутренней дифференциальной геометрии на языке Гаусса было подстегнуто его учеником Бернхардом Риманом в его работе « О гипотезах, лежащих в основе геометрии» . ввел понятие римановой метрики и тензора римановой кривизны В этой работе Риман впервые и начал систематическое изучение дифференциальной геометрии в высших измерениях. Эта внутренняя точка зрения в терминах римановой метрики, обозначаемая $ds^{2}$ Риманом, явилось развитием идеи Гаусса о линейном элементе $ds$поверхности. В это время Риман начал систематически использовать линейную алгебру и полилинейную алгебру в этом предмете, широко используя теорию квадратичных форм в своих исследованиях метрики и кривизны. В то время Риман еще не разработал современного понятия многообразия, поскольку еще не встречалось даже понятие топологического пространства , но он предположил, что можно исследовать или измерять свойства метрики пространства-времени посредством анализ масс в пространстве-времени, связанный с более ранним наблюдением Эйлера о том, что массы под действием каких-либо сил не будут перемещаться по геодезическим линиям на поверхностях, и предсказание фундаментального наблюдения Эйнштейном принципа эквивалентности за целых 60 лет до того, как оно появилось в научной литературе.

После нового описания Римана фокус методов, используемых для изучения дифференциальной геометрии, сместился от специальных и внешних методов изучения кривых и поверхностей к более систематическому подходу в терминах тензорного исчисления и программы Кляйна «Эрланген», и прогресс увеличился. в поле. Понятие групп преобразований было развито Софусом Ли и Жаном Гастоном Дарбу , что привело к важным результатам в теории групп Ли и симплектической геометрии . Понятие дифференциального исчисления на искривленных пространствах изучалось Элвином Кристоффелем , который ввел символы Кристоффеля , описывающие ковариантную производную , в 1868 году, а также другими, включая Эухенио Бельтрами , который изучал многие аналитические вопросы о многообразиях. В 1899 году Луиджи Бьянки выпустил свои «Лекции по дифференциальной геометрии» , в которых дифференциальная геометрия изучалась с точки зрения Римана, а год спустя Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро выпустили свой учебник, систематически развивающий теорию абсолютного дифференциального исчисления и тензорного исчисления . Именно на этом языке дифференциальная геометрия использовалась Эйнштейном при разработке общей теории относительности и псевдоримановой геометрии .

Современная дифференциальная геометрия

Предмет современной дифференциальной геометрии возник в начале 1900-х годов в ответ на основополагающий вклад многих математиков, включая, что немаловажно, работу Анри Пуанкаре по основам топологии . В начале 1900-х годов в математике произошло крупное движение по формализации фундаментальных аспектов предмета, чтобы избежать кризисов строгости и точности, известное как программа Гильберта . В рамках этого более широкого движения понятие топологического пространства было сформулировано Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, а к 1942 году существовало множество различных понятий многообразия комбинаторной и дифференциально-геометрической природы.

Интерес к этому предмету был также усилен появлением общей теории относительности Эйнштейна и важностью уравнений поля Эйнштейна. Теория Эйнштейна популяризировала тензорное исчисление Риччи и Леви-Чивита и ввела обозначения $g$ для римановой метрики и $\Gamma$для символов Кристоффеля, оба происходят от G в Гравитации . Эли Картан помог переформулировать основы дифференциальной геометрии гладких многообразий с точки зрения внешнего исчисления и теории движущихся систем отсчета , что привело в мире физики к теории Эйнштейна-Картана .

После этого раннего развития многие математики внесли свой вклад в развитие современной теории, в том числе Жан-Луи Кошуль, который ввел связи в векторных расслоениях , Шиинг-Шен Черн, который ввел в предмет характерные классы и начал изучение комплексных многообразий , сэр Уильям Валланс. Дуглас Ходж и Жорж де Рам , которые расширили понимание дифференциальных форм , Чарльз Эресманн , который представил теорию расслоений и связей Эресмана , и другие. Особое значение имел Герман Вейль , который внес важный вклад в основы общей теории относительности, представил тензор Вейля , дающий понимание конформной геометрии , и первым определил понятие калибровки , что привело к развитию калибровочной теории в физике и математике .

В середине и конце 20 века дифференциальная геометрия как предмет расширилась и приобрела связи с другими областями математики и физики. Развитие калибровочной теории и теории Янга-Миллса в физике привлекло внимание к расслоениям и связям, что привело к развитию калибровочной теории . Были исследованы многие аналитические результаты, включая доказательство теоремы об индексе Атьи – Зингера . Развитие комплексной геометрии было стимулировано параллельными результатами в алгебраической геометрии , а результаты в геометрии и глобальном анализе комплексных многообразий были доказаны Шинг-Тунг Яу и другими. Во второй половине 20-го века были разработаны новые аналитические методы в отношении потоков кривизны, таких как поток Риччи , кульминацией которых стало Григорием Перельманом доказательство гипотезы Пуанкаре . В этот же период, прежде всего благодаря влиянию Майкла Атьи новые связи между теоретической физикой , сформировались и дифференциальной геометрией. Методы исследования уравнений Янга – Миллса. и калибровочная теория использовались математиками для разработки новых инвариантов гладких многообразий. Физики, такие как Эдвард Виттен , единственный физик, награжденный медалью Филдса , внесли новый вклад в математику, используя топологическую квантовую теорию поля и теорию струн для предсказаний и создания основ для новой строгой математики, что привело, например, к предположительному зеркалу . симметрия и инварианты Зайберга–Виттена .

Филиалы

Риманова геометрия

Основная статья: Риманова геометрия

Риманова геометрия изучает римановы многообразия , гладкие многообразия с римановой метрикой . Это понятие расстояния, выраженное посредством гладкой положительно определенной симметричной билинейной формы, определенной в касательном пространстве в каждой точке. Риманова геометрия обобщает евклидову геометрию на пространства, которые не обязательно плоские, хотя они по-прежнему напоминают евклидово пространство в каждой точке бесконечно мало, то есть в первом порядке приближения . Различные концепции, основанные на длине, такие как длина дуги кривых, площадь плоских областей и объем твердых тел, имеют естественные аналоги в римановой геометрии. Понятие многих производной функции по направлению из переменных расширяется до понятия ковариантной производной тензора исчисления . Многие концепции анализа и дифференциальных уравнений были обобщены на случай римановых многообразий.

, сохраняющий расстояние Диффеоморфизм между римановыми многообразиями, называется изометрией . Это понятие можно определить и локально , т.е. для малых окрестностей точек. Любые две регулярные кривые локально изометричны. Однако Теорема Эгрегиум Карла Фридриха Гаусса показала, что для поверхностей существование локальной изометрии предполагает, что гауссовы кривизны в соответствующих точках должны быть одинаковыми. В более высоких измерениях тензор кривизны Римана является важным поточечным инвариантом, связанным с римановым многообразием, который измеряет, насколько оно близко к плоскому. Важным классом римановых многообразий являются римановы симметрические пространства , кривизна которых не обязательно постоянна. Это ближайшие аналоги «обычных» плоскости и пространства, рассматриваемых в евклидовой и неевклидовой геометрии .

Псевдориманова геометрия

Псевдориманова геометрия обобщает риманову геометрию на случай, когда метрический тензор не обязательно должен быть положительно определенным . Особым случаем этого является лоренцево многообразие Эйнштейна , которое является математической основой общей теории относительности гравитации .

Финслеровая геометрия

Основная статья: многообразие Финслера

В финслеровой геометрии являются финслеровые многообразия основным объектом изучения . Это дифференциальное многообразие с финслеровой метрикой , то есть банаховой нормой , определенной на каждом касательном пространстве. Римановы многообразия являются частными случаями более общих финслеровых многообразий. Финслерова структура на многообразии $M$ это функция $F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )$ такой, что:

1. $F(x,my)=mF(x,y)$ для всех $x,y$ в $\mathrm {T} M$ и все $m\geq 0$,
2. $F$ бесконечно дифференцируема по $\mathrm {T} M\setminus \{0\}$,
3. Вертикальный гессиан $F^{2}$ является положительно определенным.

Симплектическая геометрия

Основная статья: Симплектическая геометрия

Симплектическая геометрия — это изучение симплектических многообразий . — Почти симплектическое многообразие это дифференцируемое многообразие, снабженное гладко меняющейся невырожденной кососимметрической билинейной формой на каждом касательном пространстве, т. е. невырожденной 2- формой ω , называемой симплектической формой . Симплектическое многообразие — это почти симплектическое многообразие, для которого симплектическая форма ω замкнута: d ω = 0 .

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями, сохраняющий симплектическую форму, называется симплектоморфизмом . Невырожденные кососимметричные билинейные формы могут существовать только в четномерных векторных пространствах, поэтому симплектические многообразия обязательно имеют четную размерность. В размерности 2 симплектическое многообразие — это просто поверхность, наделенная формой площади, а симплектоморфизм — это диффеоморфизм, сохраняющий площадь. Фазовое пространство механической системы представляет собой симплектическое многообразие, и они неявно появились уже в работах Жозефа Луи Лагранжа по аналитической механике , а затем в Карла Густава Якоби и Уильяма Роуэна Гамильтона формулировках классической механики .

В отличие от римановой геометрии, где кривизна обеспечивает локальный инвариант римановых многообразий, теорема Дарбу утверждает, что все симплектические многообразия локально изоморфны. Единственные инварианты симплектического многообразия носят глобальный характер, и топологические аспекты играют важную роль в симплектической геометрии. Первым результатом в симплектической топологии, вероятно, является теорема Пуанкаре-Биркгофа , выдвинутая Анри Пуанкаре и затем доказанная Г. Д. Биркгофом в 1912 году. Она утверждает, что если сохраняющая площадь карта кольца скручивает каждый граничный компонент в противоположных направлениях, то карта имеет не менее двух фиксированных точек.

Контактная геометрия

Основная статья: Контактная геометрия

Контактная геометрия имеет дело с некоторыми многообразиями нечетной размерности. Она близка к симплектической геометрии и, как и последняя, ​​возникла из вопросов классической механики. Контактная структура на (2 n + 1) -мерном многообразии M задается гладким гиперплоским полем H в касательном расслоении , которое, насколько это возможно, не связано с множествами уровня дифференцируемой функции на M (технический термин есть «полностью неинтегрируемое распределение касательной гиперплоскости»). Вблизи каждой точки p распределение гиперплоскостей определяется никуда не обращающейся в нуль 1-формой $\alpha$, которая уникальна с точностью до умножения на никуда не исчезающую функцию:

$H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.$

Локальная 1-форма на M называется контактной формой, если ограничение ее внешней производной на H является невырожденной двуформой и, таким образом, индуцирует симплектическую структуру на H _p в каждой точке. Если распределение H может быть определено глобальной одной формой $\alpha$ то эта форма является контактной тогда и только тогда, когда верхнемерная форма

$\alpha \wedge (d\alpha )^{n}$

является формой объема на M , т. е. никуда не обращается в нуль. Имеет место контактный аналог теоремы Дарбу: все контактные структуры на нечетномерном многообразии локально изоморфны и могут быть приведены к некоторой локальной нормальной форме подходящим выбором системы координат.

Комплексная

См. Также: Сложная геометрия.

Комплексная дифференциальная геометрия — это изучение комплексных многообразий . является Почти комплексное многообразие реальным многообразием . $M$, наделенный тензором типа (1, 1), т.е. эндоморфизмом векторного расслоения (называемым почти комплексной структурой )

$J:TM\rightarrow TM$, такой, что $J^{2}=-1.\,$

Из этого определения следует, что почти комплексное многообразие четномерно.

Почти комплексное многообразие называется комплексным , если $N_{J}=0$, где $N_{J}$ – тензор типа (2, 1), связанный с $J$, называемый тензором Нийенхейса (или иногда кручением ). Почти комплексное многообразие является комплексным тогда и только тогда, когда оно допускает голоморфный координатный атлас . задается Почти эрмитова структура почти комплексной структурой J вместе с римановой метрикой g , удовлетворяющей условию совместимости.

$g(JX,JY)=g(X,Y).\,$

Почти эрмитова структура естественным образом определяет дифференциальную двуформу

$\omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,$

Следующие два условия эквивалентны:

1. $N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,$
2. $\nabla J=0\,$

где $\nabla$ это Леви-Чивита связь $g$. В этом случае, $(J,g)$называется кэлеровой структурой , а кэлерово многообразие — это многообразие, наделенное кэлеровой структурой. В частности, кэлерово многообразие является одновременно комплексным и симплектическим многообразием . Большой класс кэлеровых многообразий (класс многообразий Ходжа ) дают все гладкие комплексные проективные многообразия .

CR-геометрия

Геометрия CR — это изучение внутренней геометрии границ областей в комплексных многообразиях .

Конформная геометрия

Конформная геометрия - это изучение набора сохраняющих угол (конформных) преобразований в пространстве.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — это изучение глобальных геометрических инвариантов без метрической или симплектической формы.

Дифференциальная топология начинается с естественных операций, таких как Ли натуральных векторных расслоений и дифференциал де Рама форм производная . Помимо алгеброидов Ли , и алгеброиды Куранта более важную роль начинают играть .

Группы лжи

Группа Ли — это группа из категории гладких многообразий. Помимо алгебраических свойств, он обладает также дифференциально-геометрическими свойствами. Наиболее очевидная конструкция — это конструкция алгебры Ли, которая представляет собой касательное пространство в единице, снабженное скобкой Ли между левоинвариантными векторными полями . Помимо теории структур существует также широкое поле теории представлений .

Геометрический анализ

Геометрический анализ — это математическая дисциплина, в которой инструменты дифференциальных уравнений, особенно эллиптических уравнений в частных производных, используются для получения новых результатов в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии.

Калибровочная теория

Основная статья: Калибровочная теория (математика)

Калибровочная теория — это исследование связей векторных расслоений и главных расслоений, возникающее из проблем математической физики и физических калибровочных теорий , которые лежат в основе стандартной модели физики элементарных частиц . Калибровочная теория занимается изучением дифференциальных уравнений для связностей на расслоениях и возникающих в результате пространств геометрических модулей решений этих уравнений, а также инвариантов, которые могут быть получены из них. Эти уравнения часто возникают как уравнения Эйлера–Лагранжа , описывающие уравнения движения некоторых физических систем в квантовой теории поля , и поэтому их изучение представляет значительный интерес в физике.

Связки и соединения

Аппарат векторных расслоений , главных расслоений и связностей на расслоениях играет чрезвычайно важную роль в современной дифференциальной геометрии. Гладкое многообразие всегда содержит естественное векторное расслоение — касательное расслоение . Грубо говоря, этой структуры самой по себе достаточно только для развития анализа многообразия, в то время как выполнение геометрии требует, кроме того, какого-то способа связать касательные пространства в разных точках, то есть понятия параллельного переноса . Важным примером являются аффинные связи . Для поверхности в R ³ Касательные плоскости в разных точках можно идентифицировать с помощью естественного параллелизма по путям, индуцированного окружающим евклидовым пространством, которое имеет хорошо известное стандартное определение метрики и параллелизма. В римановой геометрии связь Леви -Чивита служит аналогичной цели. В более общем смысле, дифференциальная геометрия рассматривает пространства с векторным расслоением и произвольной аффинной связностью, которая не определена в терминах метрики. В физике многообразием может быть пространство-время , а пучки и связи связаны с различными физическими полями.

Внутреннее и внешнее

С начала и до середины XIX века дифференциальная геометрия изучалась с внешней точки зрения: кривые и поверхности считались лежащими в евклидовом пространстве более высокой размерности (например, поверхность в пространстве окружающем трехмерном ). . Простейшие результаты — это дифференциальная геометрия кривых и дифференциальная геометрия поверхностей. Начиная с работ Римана , была развита внутренняя точка зрения, при которой нельзя говорить о движении «вне» геометрического объекта, поскольку он считается заданным автономно. Фундаментальным результатом здесь является теорема Гаусса egregium о том, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом.

Внутренняя точка зрения более гибкая. Например, это полезно в теории относительности, где пространство-время естественным образом не может рассматриваться как нечто внешнее. Однако приходится платить за техническую сложность: внутренние определения кривизны и соединений становятся гораздо менее интуитивно понятными.

Эти две точки зрения можно примирить, т. е. внешнюю геометрию можно рассматривать как структуру, дополнительную к внутренней. (См. теорему вложения Нэша .) В формализме геометрического исчисления как внешняя, так и внутренняя геометрия многообразия может быть охарактеризована одной бивекторнозначной одной формой, называемой оператором формы .

Приложения

Ниже приведены некоторые примеры того, как дифференциальная геометрия применяется к другим областям науки и математики.

• В физике дифференциальная геометрия имеет множество приложений, в том числе:
  • Дифференциальная геометрия — это язык, на котором Альберта Эйнштейна . общая теория относительности выражена Согласно теории, Вселенная представляет собой гладкое многообразие, снабженное псевдоримановой метрикой, описывающей кривизну пространства-времени . Понимание этой кривизны необходимо для позиционирования спутников на орбите вокруг Земли. Дифференциальная геометрия также незаменима при изучении гравитационного линзирования и черных дыр .
  • Дифференциальные формы используются при изучении электромагнетизма .
  • Дифференциальная геометрия имеет приложения как к лагранжевой механике , так и к гамильтоновой механике . Симплектические многообразия, в частности, могут быть использованы для изучения гамильтоновых систем .
  • На основе римановой геометрии и контактной геометрии построен формализм геометротермодинамики , нашедший приложения в классической равновесной термодинамике .
• В химии и биофизике при моделировании структуры клеточных мембран при переменном давлении.
• В экономике дифференциальная геометрия имеет приложения в области эконометрики .
• Геометрическое моделирование (включая компьютерную графику ) и компьютерное геометрическое проектирование основаны на идеях дифференциальной геометрии.
• В технике дифференциальная геометрия может применяться для решения задач цифровой обработки сигналов .
• В теории управления дифференциальная геометрия может использоваться для анализа нелинейных регуляторов, особенно геометрического управления.
• В теории вероятностей , статистике и теории информации можно интерпретировать различные структуры как римановы многообразия, что приводит к области информационной геометрии , в частности, через информационную метрику Фишера .
• В структурной геологии дифференциальная геометрия используется для анализа и описания геологических структур.
• В компьютерном зрении дифференциальная геометрия используется для анализа форм.
• При обработке изображений дифференциальная геометрия используется для обработки и анализа данных на неплоских поверхностях.
• Григорием Перельманом Доказательство гипотезы Пуанкаре, проведенное с использованием техники потоков Риччи, продемонстрировало силу дифференциально-геометрического подхода к вопросам топологии и подчеркнуло важную роль, которую играют его аналитические методы.
• В беспроводной связи грассмановы многообразия используются для методов формирования диаграммы направленности в системах с несколькими антеннами .
• В геодезии — для расчета расстояний и углов на средней поверхности Земли на уровне моря , моделируемой эллипсоидом вращения.

См. также

• Абстрактная дифференциальная геометрия
• Аффинная дифференциальная геометрия
• Анализ на фракталах
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Дискретная дифференциальная геометрия
• Гаусс
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Важные публикации по дифференциальной геометрии.
• Важные публикации по дифференциальной топологии.
• Интегральная геометрия
• Список тем дифференциальной геометрии
• Некоммутативная геометрия
• Проективная дифференциальная геометрия
• Синтетическая дифференциальная геометрия
• Систолическая геометрия
• Калибровочная теория (математика)

Дальнейшее чтение

• Итан Д. Блох (27 июня 2011 г.). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии . Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-8176-8122-7 . OCLC   811474509 .
• Берк, Уильям Л. (1997). Прикладная дифференциальная геометрия . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26929-6 . OCLC   53249854 .
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-212589-5 . ОСЛК   1529515 .
• Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-53927-2 . OCLC   51855212 .
• Эльза Аббена; Саймон Саламон; Альфред Грей (2017). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.). Бока-Ратон: Чепмен и Холл/CRC. ISBN  978-1-351-99220-6 . OCLC   1048919510 .
• Крейциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66721-8 . OCLC   23384584 .
• Кюнель, Вольфганг (2002). Дифференциальная геометрия: кривые – поверхности – многообразия (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3988-1 . OCLC   61500086 .
• Макклири, Джон (1994). Геометрия с дифференцируемой точки зрения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-13311-4 . OCLC   915912917 .
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (5 томов) (3-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-72-1 . OCLC   179192286 .
• тер Хаар Ромени, Барт М. (2003). Интерфейсное зрение и многомасштабный анализ изображений: теория и приложения многомасштабного компьютерного зрения, написанные на языке Mathematica . Дордрехт: Клювер Академик. ISBN  978-1-4020-1507-6 . OCLC   52806205 .

Внешние ссылки

• «Дифференциальная геометрия» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Б. Конрад. Раздаточные материалы по дифференциальной геометрии, Стэнфордский университет
• Онлайн-курс Майкла Мюррея по дифференциальной геометрии, 1996 г. Архивировано 1 августа 2013 г. в Wayback Machine.
• Современный курс по кривым и поверхностям, Ричард С. Пале, 2003 г. Архивировано 9 апреля 2019 г. в Wayback Machine.
• Галерея поверхностей 3DXM Ришара Пале, архивировано 9 апреля 2019 г. в Wayback Machine.
• Заметки Балаша Чикоша по дифференциальной геометрии, заархивированные 5 июня 2009 г. в Wayback Machine.
• Н. Дж. Хикс, Заметки по дифференциальной геометрии, Ван Ностранд.
• MIT OpenCourseWare: Дифференциальная геометрия, осень 2008 г.