Карл Густав Джейкоб Якоби

«Карл Якоби» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об американском авторе, см. Карл Ричард Якоби .

Карл Густав Джейкоб Якоби
Рожденный	( 1804-12-10 ) 10 декабря 1804 г. Потсдам , Королевство Пруссия , Священная Римская империя.
Умер	18 февраля 1851 г. ) ( 1851-02-18 ) ( 46 лет Берлин , Королевство Пруссия
Национальность	немецкий
Альма-матер	Берлинский университет (доктор философии, 1825 г.)
Известный	Теорема Абеля – Якоби Эллиптические функции Якоби якобиан Символ Якоби Эллипсоид Якоби Полиномы Якоби Преобразование Якоби Личность Якоби оператор Якоби Уравнение Гамильтона – Якоби метод Якоби Алгоритм собственных значений Якоби Популяризация персонажа ∂
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Кенигсбергский университет
Диссертация	Аналитические исследования простых дробей   (1825 г.)
Докторантура	Энно Дирксен
Докторанты	Пол Гордон Отто Гессен Фридрих Юлиус Ришело

Карл Густав Якоб Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i / ; Немецкий: [jaˈkoːbi] ; 10 декабря 1804 г. - 18 февраля 1851 г.) немецкий математик , внесший фундаментальный вклад в эллиптические функции , динамику , дифференциальные уравнения , определители и теорию чисел .

Биография

Якоби родился в семье евреев-ашкенази в Потсдаме 10 декабря 1804 года. Он был вторым из четырех детей банкира Симона Якоби. Его старший брат Мориц позже также стал известен как инженер и физик. Первоначально он обучался на дому у своего дяди Лемана, который обучал его классическим языкам и элементам математики. В 1816 году двенадцатилетний Якоби поступил в Потсдамскую гимназию , где ученикам преподавали все стандартные предметы: классические языки, историю, филологию, математику, естественные науки и т. д. В результате хорошего образования, полученного им от его дядя, а также его собственные замечательные способности, менее чем через полгода Якоби перевели в старший класс, несмотря на его юный возраст. Однако, поскольку университет не принимал студентов моложе 16 лет, ему пришлось оставаться в старшем классе до 1821 года. Это время он использовал для совершенствования своих знаний, проявляя интерес ко всем предметам, включая латынь, греческий язык, филологию, историю и математика. В этот период он также предпринял свои первые попытки исследования, пытаясь решить уравнение пятой степени с радикалами .

В 1821 году Якоби поступил на учебу в Берлинский университет , где поначалу разделил свое внимание между филологией и математикой . По филологии он участвовал в семинарах Бёкха , привлекая внимание профессора своим талантом. В то время Якоби не посещал многие уроки математики, считая уровень математики, преподаваемый в Берлинском университете, слишком элементарным. Вместо этого он продолжил частное изучение более продвинутых работ Эйлера , Лагранжа и Лапласа . К 1823 году он понял, что ему нужно сделать выбор между конкурирующими интересами, и решил посвятить все свое внимание математике. В том же году он получил право преподавать в средней школе, и ему предложили должность в гимназии Иоахимсталя в Берлине. Вместо этого Якоби решил продолжить работу над получением университетской должности. В 1825 году получил степень доктора философии за диссертацию о частичном разложении рациональных дробей , защищенную перед комиссией под руководством Энно Дирксена . Он сразу же получил хабилитацию и в то же время обратился в христианство. Получив право преподавать в университете, 21-летний Якоби читал в 1825/26 году лекции по теории кривых и поверхностей в Берлинском университете.

В 1826 году Якоби стал частным лектором , в следующем году — экстраординарным профессором и, наконец, в 1829 году — штатным профессором математики Кенигсбергского университета и занимал эту кафедру до 1842 года. В 1843 году у него случился нервный срыв из-за переутомления. Затем он посетил Италию, на несколько месяцев чтобы поправить здоровье. По возвращении он переехал в Берлин, где прожил королевским пенсионером, за исключением очень короткого временного периода, до своей смерти. Во время революции 1848 года Якоби принимал политическое участие и безуспешно выдвинул свою кандидатуру в парламент от имени Либерального клуба. Это привело после подавления революции к тому, что его королевский грант был лишен – но его слава и репутация были таковы, что вскоре были возобновлены благодаря личному вмешательству Александра фон Гумбольдта .

Якоби умер в 1851 году от оспы . Его могила сохранилась на кладбище в районе Кройцберг в Берлине, Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde (улица Барутер, 61). Его могила находится рядом с могилой Иоганна Энке астронома кратер Якоби на Луне . Его именем назван .

вклад

Одним из величайших достижений Якоби была его теория эллиптических функций и их связи с эллиптической тэта-функцией . Это было развито в его великом трактате Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829 г.) и в более поздних статьях в журнале Crelle . Тета-функции имеют большое значение в математической физике из-за их роли в обратной задаче для периодических и квазипериодических течений. Уравнения движения интегрируются эллиптические функции через Якоби в известных случаях маятника , волчка Эйлера , симметричного волчка Лагранжа в гравитационном поле и задачи Кеплера (движение планет в центральном гравитационном поле).

Он также внес фундаментальный вклад в изучение дифференциальных уравнений и классической механики , особенно теории Гамильтона-Якоби .

Именно в алгебраических разработках заключалась главным образом особая сила Якоби, и он внес важный вклад такого рода во многие области математики, о чем свидетельствует его длинный список статей в «Журнале Крелля» и других изданиях, начиная с 1826 года. Говорят, что он сказал своим студентам, что при поиске темы исследования следует «Инвертировать, всегда инвертировать» (немецкий оригинал: «man muss immer umkehren» ), отражая его веру в то, что инвертирование известных результатов может открыть новые области для исследований. , например, обращение эллиптических интегралов и сосредоточение внимания на природе эллиптических и тета-функций.

В своей статье 1835 года Якоби доказал следующий основной результат, классифицирующий периодические (включая эллиптические) функции:

Если одномерная однозначная функция является кратно периодической , то такая функция не может иметь более двух периодов, а отношение периодов не может быть действительным числом.

Он открыл многие фундаментальные свойства тэта-функций, включая функциональное уравнение и формулу тройного произведения Якоби , а также многие другие результаты о q-рядах и гипергеометрических рядах .

Решение г. задачи обращения Якоби для гиперэллиптического отображения Абеля Вейерштрассом в 1854 потребовало введения гиперэллиптической тэта-функции , а затем и общей тэта-функции Римана для алгебраических кривых произвольного рода . Комплексный тор, связанный с родом $g$ алгебраическая кривая, полученная факторизацией ${\mathbf {C} }^{g}$ по решетке периодов называется многообразием Якобиана . Этот метод обращения и его последующее распространение Вейерштрассом и Риманом на произвольные алгебраические кривые можно рассматривать как обобщение более высокого рода связи между эллиптическими интегралами и эллиптическими функциями Якоби или Вейерштрасса.

Карл Густав Джейкоб Якоби

Якоби был первым, кто применил эллиптические функции к теории чисел , например, доказав теорему Ферма о двух квадратах и ​​теорему Лагранжа о четырех квадратах , а также аналогичные результаты для 6 и 8 квадратов.

Другие его работы по теории чисел продолжили работу Гаусса : новые доказательства квадратичной взаимности и введение символа Якоби ; вклад в высшие законы взаимности, исследования непрерывных дробей и изобретение сумм Якоби .

Он также был одним из первых основателей теории детерминантов. В частности, он изобрел определитель Якобиана, образованный из n ² частные производные от n заданных функций от n независимых переменных, что играет важную роль при замене переменных в кратных интегралах и во многих аналитических исследованиях. В 1841 году он вновь ввёл частной производной ∂ обозначение Лежандра , которое должно было стать стандартом.

Он был одним из первых, кто ввел и изучил симметричные полиномы, которые теперь известны как полиномы Шура , дав для них так называемую биальтернантную формулу , которая является частным случаем формулы характера Вейля , и выведя тождества Якоби–Труди . Он также открыл формулу Деснано-Якоби для определителей , которая лежит в основе соотношений Плакера для грассманианов .

Студенты, изучающие векторные поля , теорию Ли , гамильтонову механику и операторные алгебры, часто сталкиваются с тождеством Якоби , аналогом ассоциативности для операции скобки Ли .

Планетарная теория и другие частные динамические проблемы также время от времени занимали его внимание. Внося свой вклад в небесную механику , он ввел интеграл Якоби (1836) для звездной системы координат . Его теория последнего множителя изложена в Vorlesungen über Dynamik под редакцией Альфреда Клебша (1866).

Он оставил множество рукописей, части которых периодически публиковались в журнале Crelle's Journal. Среди других его работ — Commentatio de Transforme Integralis Duplicis Indefiniti in Formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus (1839) и Opuscula mathematica (1846–1857). Его Gesammelte Werke (1881–1891) были опубликованы Берлинской академией .

Публикации

• Основы новой теории эллиптических функций (на латыни), Кенигсберг, 1829 г., ISBN  978-1-108-05200-9 , Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Собрание сочинений , изданное по заказу Королевской прусской академии наук, т. I – VIII (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., 1969 [1881], MR   0260557 , заархивировано из оригинала 13 мая 2013 г. , получено 20 марта 2012 г.
• Canon Arithmeticus , или таблицы, в которых представлены для каждого простого числа или степени простых чисел ниже 1000 заданные индексы и индексы заданных чисел, Берлин: Typis Academicis, Берлин, 1839, MR   0081559
• «Оформление и определение собственности» . Журнал чистой и прикладной математики . 1841 (22): 285–318. 1841. дои : 10.1515/crll.1841.22.285 . ISSN   0075-4102 . S2CID   123007787 .
• Пулте, Хельмут, изд. (1996) [1848], Лекции по аналитической механике , Документы по истории математики, том. 8, Фрайбург: Немецкая ассоциация математиков, номер номера : 10.1007/978-3-322-80289-7 , ISBN.  978-3-528-06692-5 , МР   1414679
• Лекции по теории чисел --- Зимний семестр 1836/37 г., Кенигсберг , Алгоризм. Исследования по истории математики и естествознания [Алгоризм. Исследования по истории математики и естественных наук. 62, Доктор. Эрвин Раунер Верлаг, Аугсбург, 2007 [1836], ISBN  978-3-936905-25-0 , МР   2573816
• Клебш, А.; Балагангадхаран, К.; Банерджи, Бисваруп, ред. (2009) [1866], Лекции Якоби по динамике , Тексты и чтения по математике, вып. 51, Нью-Дели: Книжное агентство Индостан, ISBN  9788185931913 , МР   2569315
• Оливье, Франсуа; Кон, Сигизмунд; Борхардт, CW; и др., ред. (2009) [1866], «Приведение к нормальной форме ненормальной системы дифференциальных уравнений» (PDF) , Прикладная алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях , Перевод книги «О приведении к нормальной форме ненормальной системы» дифференциальных уравнений, 20 (1): 33–64, doi : 10.1007/s00200-009-0088-2 , ISSN   0938-1279 , MR   2496660 , S2CID   219629
• Оливье, Франсуа; Кон, Сигизмунд; Борхардт., CW, ред. (2009) [1865], «В поисках порядка системы произвольных обыкновенных дифференциальных уравнений» (PDF) , Прикладная алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях , Перевод DeInvestigando Ordine Systematis æquationibus Differentialium vulgarium cujuscunque, 20 (1): 7–32, doi : 10.1007/s00200-009-0087-3 , ISSN   0938-1279 , MR   2496659 , S2CID   20652724

См. также

• Огюстен-Луи Коши
• Фридрих Вильгельм Бессель
• Логарифм Якоби
• Последнее геометрическое высказывание Якоби.
• Список вещей, названных в честь Карла Густава Якоба Якоби
• Нильс Хенрик Абель

Ссылки

Источники

• Олдрич, Джон (23 июня 2017 г.). «Самое раннее использование символов исчисления» . Древнейшие варианты использования различных математических символов . Проверено 20 апреля 2017 г.
• Темпл Белл, Эрик (1937). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер.
• Мориц Кантор (1905), « Якоби, Карл Густав Якоб », Общая немецкая биография (на немецком языке), том. 50, Лейпциг: Duncker & Humblot, стр. 598–602.
• Дирихле, П.Г. Лежен (1855), «Памятная речь о Карле Густаве Якобе Якоби» , Журнал чистой и прикладной математики , 52 : 193–217, ISSN   0075-4102 , MR   1104895
• В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе : Чисхолм, Хью , изд. (1911). « Якоби, Карл Густав Якоб ». Британская энциклопедия . Том. 15 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 117.
• Джеймс, Йоан Маккензи (2002). Выдающиеся математики: от Эйлера до фон Неймана . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-52094-2 .
• Кенигсбергер, Лев (1904). Карл Густав Якоб Якоби . Festschrift в честь столетия со дня его рождения (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Пьерпон, Джеймс (1906). «Рецензия: Лео Кенигсбергер, Карл Густав Якоб Якоби. Фестиваль в честь столетия со дня его рождения» . Булл. Матем . 12 (5): 261–262. дои : 10.1090/S0002-9904-1906-01326-X .
• Кристоф Дж. Скриба (1974), «Якоби, Карл Густав Якоб» , Новая немецкая биография (на немецком языке), том. 10, Берлин: Duncker & Humblot, стр. 233–234 ; ( полный текст онлайн )
• Ван Флек, Эдвард Б. (1916). «Современные тенденции математических исследований» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 23 (1): 1–14. дои : 10.1090/S0002-9904-1916-02863-1 . ISSN   0002-9904 .

Внешние ссылки

• Лекции Якоби по динамике
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Карл Густав Джейкоб Якоби» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• «Якоби, Карл Густав Якоб» . Американская энциклопедия . 1920.
• «Якоби, Карл Густав Якоб» . Новая международная энциклопедия . 1905.
• «Якоби, Чарльз Густав Джейкоб » Американская циклопедия . 1879.
• Карл Густав Якоб Якоби - Полное собрание сочинений Gallica-Math