Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской

Леонард Эйлер , Жозеф-Луи Лагранж и Софья Васильевна Ковалевская.

В классической механике вращение как такого твердого тела, волчок , под действием силы тяжести , вообще говоря, не является интегрируемой задачей . Однако есть три известных интегрируемых случая: волчок Эйлера , Лагранжа и волчок Ковалевской , которые фактически являются единственными интегрируемыми случаями, когда система подчиняется голономным ограничениям . Помимо энергии, каждый из этих волчков включает в себя две дополнительные константы движения , обуславливающие интегрируемость .

Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие какого-либо внешнего крутящего момента и для которого неподвижной точкой является центр тяжести . Волчок Лагранжа — симметричный волчок, у которого два момента инерции одинаковы и центр тяжести лежит на оси симметрии . Ковалевская вершина представляет собой специальный симметричный волчок с уникальным соотношением моментов инерции , удовлетворяющим соотношению

$I_{1}=I_{2}=2I_{3},$

То есть два момента инерции равны, третий в два раза меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости двух вырожденных главных осей).

Гамильтонова формулировка классических волчков

Конфигурация классического топа описано во время $t$ тремя зависящими от времени главными осями , определяемыми тремя ортогональными векторами ${\hat {\mathbf {e} }}^{1}$, ${\hat {\mathbf {e} }}^{2}$ и ${\hat {\mathbf {e} }}^{3}$ с соответствующими моментами инерции $I_{1}$, $I_{2}$ и $I_{3}$ и угловая скорость вокруг этих осей. В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами углового момента . вектора ${\bf {L}}$ по главным осям

$(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}$

и z -компоненты трех главных осей,

$(n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})$

Соотношения скобок Пуассона этих переменных задаются формулой

$\{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0$

Если положение центра масс определяется формулой ${\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})$, то гамильтониан волчка имеет вид

$H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,$

Тогда уравнения движения определяются формулами

${\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.$

Явно это $${\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})$$$${\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}$$и циклические перестановки индексов.

Математическое описание фазового пространства

Математически пространственная конфигурация тела описывается точкой группы Ли. $SO(3)$, трехмерная группа вращения , которая представляет собой матрицу вращения от лабораторного кадра до кадра тела. Полное конфигурационное пространство или фазовое пространство представляет собой коткасательное расслоение. $T^{*}SO(3)$, с волокнами $T_{R}^{*}SO(3)$ параметризация углового момента в пространственной конфигурации $R$. Гамильтониан является функцией в этом фазовом пространстве.

вершина Эйлера

Волчок Эйлера, названный в честь Леонарда Эйлера , представляет собой волчок без крутящего момента (например, волчок в свободном падении) с гамильтонианом

$H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},$

Четыре константы движения — это энергия $H_{\rm {E}}$ и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчёта,

$(L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.$

Лагранжевая вершина

Вершина Лагранжа, названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в месте, $\mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}$, с гамильтонианом

$H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.$

Четыре константы движения — это энергия $H_{\rm {L}}$, компонента углового момента вдоль оси симметрии, $\ell _{3}$, угловой момент в z направлении

$L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},$

и величина n -вектора

$n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}$

Ковалевская вершина

Ковалевская вершина представляет собой симметричный волчок, в котором $I_{1}=I_{2}=2I$, $I_{3}=I$ а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии $\mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}$. Он был открыт Софьей Ковалевской в ​​1888 году и представлен в ее статье «К вопросу о вращении корпуса твердого тела с фиксированной точкой», получившей премию Бордена Французской академии наук в 1888 году. Гамильтониан

$H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.$

Четыре константы движения — это энергия $H_{\rm {K}}$, инвариант Ковалевской

$K=\xi _{+}\xi _{-}$

где переменные $\xi _{\pm }$ определяются

$\xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),$

составляющая углового момента в направлении z ,

$L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},$

и величина n -вектора

$n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.$

неголономные ограничения

Если ограничения ослаблены, чтобы допустить неголономные ограничения, существуют и другие возможные интегрируемые вершины, помимо трех хорошо известных случаев. неголономный волчок Горячева–Чаплыгина (введен Д. Горячевым в 1900 г.). и интегрирован Сергеем Чаплыгиным в 1948 году. ) также интегрируемо ( $I_{1}=I_{2}=4I_{3}$). Его центр тяжести находится в экваториальной плоскости .

См. также

• Карданная подвеска

Внешние ссылки

• Ковалевская вершина - из «Мира физики» Эрика Вайсштейна.
• Ковалевская Вершина