Группа лжи

Не путать с группой типа Ли или группой Ри .

В математике группа Ли (произносится / l iː / LEE ) — это группа , которая также является дифференцируемым многообразием , так что групповое умножение и обратное дифференцируемы.

Многообразие евклидово — это пространство, которое локально напоминает пространство , тогда как группы определяют абстрактное понятие бинарной операции вместе с дополнительными свойствами, которые следует рассматривать как «преобразование» в абстрактном смысле, например умножение и взятие обратные (деление) или, что то же самое, концепция сложения и взятия обратных (вычитание). Объединив эти две идеи, можно получить непрерывную группу , в которой точки умножения и обратные к ним непрерывны. Если умножение и взятие обратных чисел также являются гладкими (дифференцируемыми), получается группа Ли.

Группы Ли представляют собой естественную модель концепции непрерывной симметрии , знаменитым примером которой является группа кругов . Вращение круга является примером непрерывной симметрии. Для любого вращения круга существует одна и та же симметрия: а объединение таких вращений превращает их в группу кругов, архетипический пример группы Ли. Группы Ли широко используются во многих разделах современной математики и физики .

Группы Ли были впервые найдены путем изучения матричных подгрупп. $G$ содержалась в ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ или ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$, группы $n\times n$ обратимые матрицы над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$. Теперь их называют классическими группами , поскольку эта концепция распространилась далеко за пределы их происхождения. Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842–1899), заложившего основы теории групп непрерывных преобразований . Первоначальной мотивацией Ли для введения групп Ли было моделирование непрерывных симметрий дифференциальных уравнений , во многом так же, как конечные группы используются в теории Галуа для моделирования дискретных симметрий алгебраических уравнений .

История

Софус Ли считал зиму 1873–1874 годов датой рождения своей теории непрерывных групп. Томас Хокинс, однако, предполагает, что именно «потрясающая исследовательская деятельность Ли в течение четырехлетнего периода с осени 1869 года по осень 1873 года» привела к созданию теории. Некоторые из ранних идей Ли были разработаны в тесном сотрудничестве с Феликсом Кляйном . Ли встречался с Кляйном каждый день с октября 1869 по 1872 год: в Берлине с конца октября 1869 года по конец февраля 1870 года, а также в Париже, Геттингене и Эрлангене в последующие два года. Ли заявил, что все основные результаты были получены к 1884 году. Но в 1870-е годы все его статьи (за исключением самой первой заметки) были опубликованы в норвежских журналах, что препятствовало признанию работы во всей остальной Европе. В 1884 году молодой немецкий математик Фридрих Энгель приехал работать с Ли над систематическим трактатом, чтобы изложить его теорию непрерывных групп. Результатом этих усилий стала трехтомная «Теория трансформаций» , опубликованная в 1888, 1890 и 1893 годах. Термин « группы лжи» впервые появился на французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли Артура Трессе.

Идеи Ли не стояли изолированно от остальной математики. Фактически, его интерес к геометрии дифференциальных уравнений был впервые мотивирован работами Карла Густава Якоби по теории уравнений в частных производных первого порядка и по уравнениям классической механики . Большая часть работ Якоби была опубликована посмертно в 1860-х годах, вызвав огромный интерес во Франции и Германии. Ли Идея-фикс заключалась в том, чтобы разработать теорию симметрии дифференциальных уравнений, которая сделала бы для них то, что Эварист Галуа сделал для алгебраических уравнений: а именно, классифицировала их в терминах теории групп. Ли и другие математики показали, что наиболее важные уравнения для специальных функций и ортогональных многочленов имеют тенденцию возникать из теоретико-групповой симметрии. В ранних работах Ли идея заключалась в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп , которая была разработана в теории модулярных форм в руках Феликса Кляйна и Анри Пуанкаре . Первоначальное применение Ли имел в виду теорию дифференциальных уравнений . В модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей силой была теория, способная путем изучения симметрии объединить всю область обыкновенных дифференциальных уравнений . Однако надежда на то, что теория Ли объединит всю область обыкновенных дифференциальных уравнений, не оправдалась. Методы симметрии для ОДУ продолжают изучаться, но не доминируют в этой теме. Eсть дифференциальная теория Галуа , но она была разработана другими, такими как Пикард и Вессио, и обеспечивает теорию квадратур , неопределенных интегралов , необходимых для выражения решений.

Дополнительный стимул к рассмотрению непрерывных групп исходил от идей Бернхарда Римана об основах геометрии и их дальнейшего развития в руках Клейна. Таким образом, Ли при создании своей новой теории объединил три основные темы математики XIX века:

• Идея симметрии, продемонстрированная Галуа через алгебраическое понятие группы ;
• Геометрическая теория и явные решения дифференциальных уравнений механики, разработанные Пуассоном и Якоби;
• Новое понимание геометрии , возникшее в работах Плюкера , Мёбиуса , Грассмана и других, и достигшее кульминации в революционном видении предмета Риманом.

Хотя сегодня Софус Ли по праву признан создателем теории непрерывных групп, крупный шаг в развитии их структурной теории, оказавшей глубокое влияние на последующее развитие математики, был сделан Вильгельмом Киллингом , который в 1888 г. опубликовал первую статью из серии под названием Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( Композиция непрерывных конечных групп преобразований ). Работа Киллинга, позже уточненная и обобщенная Эли Картаном , привела к классификации полупростых алгебр Ли , теории Картана симметричных пространств и Германом Вейлем описанию представлений компактных и полупростых групп Ли с использованием старших весов .

В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам Ли своей пятой проблемой , представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.

Вейль завершил ранний период развития теории групп Ли, поскольку он не только классифицировал неприводимые представления полупростых групп Ли и связал теорию групп с квантовой механикой, но и поставил на более прочную основу саму теорию Ли, ясно провозгласив различие между инфинитезимальными группами Ли (т. е. алгебрами Ли) и собственно группами Ли, и начал исследования топологии групп Ли. Теория групп Ли была систематически переработана на современном математическом языке в монографии Клода Шевалле .

Обзор

Набор всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 (соответствующих точкам окружности с центром 0 и радиусом 1 в комплексной плоскости ) представляет собой группу Ли при комплексном умножении: группу круга .

Группы Ли являются гладкими дифференцируемыми многообразиями и поэтому могут изучаться с помощью дифференциального исчисления , в отличие от случая более общих топологических групп . Одной из ключевых идей теории групп Ли является замена глобального объекта, группы, ее локальной или линеаризованной версией, которую сам Ли назвал своей «бесконечно малой группой» и которая с тех пор стала известна как ее алгебра Ли .

Группы Ли играют огромную роль в современной геометрии на нескольких разных уровнях. Феликс Кляйн в своей программе «Эрланген» утверждал , что можно рассматривать различные «геометрии», задав соответствующую группу преобразований, которая оставляет инвариантными определенные геометрические свойства . Таким образом, евклидова геометрия соответствует выбору группы E(3) сохраняющих расстояние преобразований евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{3}$Конформная геометрия соответствует расширению группы до конформной группы , тогда как в проективной геометрии интересуют свойства, инвариантные относительно проективной группы . Эта идея позже привела к понятию G-структуры , где G — группа Ли «локальных» симметрий многообразия.

Группы Ли (и связанные с ними алгебры Ли) играют важную роль в современной физике, причем группа Ли обычно играет роль симметрии физической системы. Здесь представления группы Ли (или ее алгебры Ли особенно важны ). Теория представлений широко используется в физике элементарных частиц . Группы, представления которых имеют особое значение, включают группу вращения SO(3) (или ее двойное накрытие SU(2) ), специальную унитарную группу SU(3) и группу Пуанкаре .

На «глобальном» уровне всякий раз, когда группа Ли действует на геометрический объект, такой как риманово или симплектическое многообразие , это действие обеспечивает меру жесткости и дает богатую алгебраическую структуру. Наличие непрерывных симметрий, выраженных через действие группы Ли на многообразии, накладывает сильные ограничения на его геометрию и облегчает анализ многообразия. Линейные действия групп Ли особенно важны и изучаются в теории представлений .

В 1940–1950-х годах Эллис Колчин , Арман Борель и Клод Шевалле осознали, что многие фундаментальные результаты, касающиеся групп Ли, могут быть развиты полностью алгебраически, что привело к возникновению теории алгебраических групп , определенных над произвольным полем . Это понимание открыло новые возможности в чистой алгебре, предоставив единообразную конструкцию для большинства конечных простых групп , а также в алгебраической геометрии . Теория автоморфных форм — важный раздел современной теории чисел — широко занимается аналогами групп Ли над кольцами аделей ; p -адические группы Ли играют важную роль благодаря своей связи с представлениями Галуа в теории чисел.

Определения и примеры

Вещественная группа Ли — это группа , которая также является конечномерным вещественным гладким многообразием , в котором групповые операции умножения и обращения являются гладкими отображениями . Гладкость группового умножения

$\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

означает, что µ — гладкое отображение произведения -многообразия G × G в G . Эти два требования можно объединить в одно требование, согласно которому отображение

$(x,y)\mapsto x^{-1}y$

— гладкое отображение многообразия произведений в G .

Первые примеры

• 2×2 Вещественные обратимые матрицы образуют группу при умножении, обозначаемую GL(2, R ) или GL ₂ ( R ):

$\operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.$

Это четырехмерная некомпактная вещественная группа Ли; это открытое подмножество $\mathbb {R} ^{4}$. Эта группа отключена ; он имеет две связные компоненты, соответствующие положительному и отрицательному значениям определителя .

• Матрицы вращения образуют подгруппу GL (2, R ) , обозначаемую SO(2, R ) . Это группа Ли сама по себе: в частности, одномерная компактная связная группа Ли диффеоморфная окружности , . Использование угла поворота $\varphi$ в качестве параметра эта группа может быть параметризована следующим образом:

$\operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.$

Сложение углов соответствует умножению элементов SO(2, R ) , а взятие противоположного угла соответствует инверсии. Таким образом, и умножение, и инверсия являются дифференцируемыми отображениями.

• Аффинная группа одного измерения — это двумерная матричная группа Ли, состоящая из $2\times 2$ вещественные верхнетреугольные матрицы, причем первый диагональный элемент положителен, а второй диагональный элемент равен 1. Таким образом, группа состоит из матриц вида

$A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .$

Непример

Приведем теперь пример группы с несчетным числом элементов, которая не является группой Ли при определенной топологии. Группа, предоставленная

$H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},$

с $a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , фиксированное иррациональное число является подгруппой тора $\mathbb {T} ^{2}$ это не группа Ли, если задана топология подпространства . Если мы возьмем любую небольшую окрестность $U$ точки $h$ в $H$, например, часть $H$ в $U$отключен. Группа $H$ многократно обвивается вокруг тора, никогда не достигая предыдущей точки спирали, и таким образом образует плотную подгруппу $\mathbb {T} ^{2}$.

Часть группы $H$ внутри $\mathbb {T} ^{2}$. Малые окрестности элемента $h\in H$ отключены в топологии подмножества на $H$

Группа $H$ однако можно задать другую топологию, в которой расстояние между двумя точками $h_{1},h_{2}\in H$ определяется как длина кратчайшего пути в группе $H$ присоединение $h_{1}$ к $h_{2}$. В этой топологии $H$ отождествляется гомеоморфно с вещественной прямой путем отождествления каждого элемента с номером $\theta$ в определении $H$. При такой топологии $H$ представляет собой просто сложенную группу действительных чисел и, следовательно, является группой Ли.

Группа $H$является примером « подгруппы Ли » незамкнутой группы Ли. См. обсуждение подгрупп Ли ниже в разделе основных понятий.

Матричные группы Ли

Позволять $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ обозначим группу $n\times n$ обратимые матрицы с элементами в $\mathbb {C}$. Любая закрытая подгруппа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ является группой Ли; Группы Ли такого типа называются матричными группами Ли. Поскольку большинство интересных примеров групп Ли могут быть реализованы как матричные группы Ли, некоторые учебники ограничивают внимание этим классом, в том числе учебниками Холла. Россман, и Стиллвелл. Ограничение внимания матричными группами Ли упрощает определение алгебры Ли и экспоненциального отображения. Ниже приведены стандартные примеры матричных групп Ли.

• Специальные линейные группы над $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$, $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ и $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$, состоящий из $n\times n$ матрицы с определителем один и записи в $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$
• Унитарные группы и специальные унитарные группы, ${\text{U}}(n)$ и ${\text{SU}}(n)$, состоящий из $n\times n$ комплексные матрицы, удовлетворяющие $U^{*}=U^{-1}$ (а также $\det(U)=1$ в случае ${\text{SU}}(n)$)
• Ортогональные группы и специальные ортогональные группы. ${\text{O}}(n)$ и ${\text{SO}}(n)$, состоящий из $n\times n$ реальные матрицы, удовлетворяющие $R^{\mathrm {T} }=R^{-1}$ (а также $\det(R)=1$ в случае ${\text{SO}}(n)$)

Все предыдущие примеры подпадают под категорию классических групп .

Связанные понятия

Комплексная группа Ли определяется таким же образом, используя комплексные многообразия , а не вещественные (пример: $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$) и голоморфные отображения. Аналогично, используя альтернативное метрическое завершение $\mathbb {Q}$ можно определить p -адическую группу Ли над p -адическими числами , топологическую группу, которая также является аналитическим p -адическим многообразием, так что групповые операции являются аналитическими. В частности, каждая точка имеет p -адическую окрестность.

Пятая проблема Гильберта заключалась в том, может ли замена дифференцируемых многообразий топологическими или аналитическими дать новые примеры. Ответ на этот вопрос оказался отрицательным: в 1952 году Глисон , Монтгомери и Зиппин показали, что если G существует ровно одна аналитическая структура — топологическое многообразие с непрерывными групповыми операциями, то на G , превращающая его в группу Ли (см. также гипотеза Гильберта–Смита ). Если базовое многообразие разрешено быть бесконечномерным (например, гильбертово многообразие ), то можно прийти к понятию бесконечномерной группы Ли. Можно определить аналоги многих групп Ли над конечными полями , и они дают большинство примеров конечных простых групп .

Язык теории категорий дает краткое определение групп Ли: группа Ли — это групповой объект в категории гладких многообразий. Это важно, поскольку позволяет обобщить понятие группы Ли на супергруппы Ли . Эта категоричная точка зрения приводит также к другому обобщению групп Ли, а именно к группоидам Ли , которые являются группоидными объектами в категории гладких многообразий с дополнительным требованием.

Топологическое

Группу Ли можно определить как ( хаусдорфову ) топологическую группу , которая вблизи единичного элемента выглядит как группа преобразований, без ссылки на дифференцируемые многообразия. Сначала мы определяем иммерсально линейную группу Ли как подгруппу G полной линейной группы $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ такой, что

1. для некоторой окрестности V единичного элемента e в G топология V является топологией подпространства $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ и V замкнуто в $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$.
2. G имеет не более счетного числа компонент связности.

(Например, закрытая подгруппа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$; то есть матричная группа Ли удовлетворяет вышеуказанным условиям.)

Тогда группа Ли определяется как топологическая группа, которая (1) локально изоморфна вблизи тождеств погруженно-линейной группе Ли и (2) имеет не более чем счетное число компонент связности. Показ топологического определения эквивалентен обычному, является техническим (и начинающим читателям следует пропустить следующее), но делается примерно следующим образом:

1. Учитывая группу Ли G в обычном смысле многообразия, соответствие группа Ли–алгебра Ли (или версия третьей теоремы Ли ) создает погруженную подгруппу Ли. $G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ такой, что $G,G'$разделяют одну и ту же алгебру Ли; таким образом, они локально изоморфны. Следовательно, G удовлетворяет приведенному выше топологическому определению.
2. Обратно, пусть G — топологическая группа, которая является группой Ли в указанном выше топологическом смысле, и выберите иммерсально линейную группу Ли. $G'$локально изоморфно G . Тогда по версии теоремы о подгруппе замкнутой $G'$является вещественно-аналитическим многообразием , и тогда благодаря локальному изоморфизму G приобретает структуру многообразия вблизи единичного элемента. Затем показано, что групповой закон в G может быть задан формальным степенным рядом ; поэтому групповые операции вещественно-аналитические, а G само по себе является вещественно-аналитическим многообразием.

Топологическое определение подразумевает утверждение, что если две группы Ли изоморфны как топологические группы, то они изоморфны как группы Ли. вместе с групповым законом в значительной степени Фактически, он утверждает общий принцип, согласно которому топология группы Ли определяет геометрию группы.

Еще примеры групп Ли

См. Также: Таблица групп Ли и Список простых групп Ли.

Группы Ли в изобилии встречаются в математике и физике. Группы матриц или алгебраические группы — это (примерно) группы матриц (например, ортогональные и симплектические группы ), и они дают большинство наиболее распространенных примеров групп Ли.

Измерения один и два

Единственные связные группы Ли размерности один — это действительная линия. $\mathbb {R}$ (при этом групповая операция является сложением) и группа круга $S^{1}$комплексных чисел с абсолютным значением один (групповой операцией является умножение). $S^{1}$ группу часто обозначают как $U(1)$, группа $1\times 1$ унитарные матрицы.

В двумерном пространстве, если ограничить внимание односвязными группами, они классифицируются по своим алгебрам Ли. Существует (с точностью до изоморфизма) только две алгебры Ли размерности два. Соответствующие односвязные группы Ли имеют вид $\mathbb {R} ^{2}$ (при этом групповая операция представляет собой сложение векторов) и аффинную группу в размерности один, описанную в предыдущем подразделе в разделе «Первые примеры».

Дополнительные примеры

• Группа SU(2) — это группа $2\times 2$ унитарные матрицы с определителем $1$. Топологически ${\text{SU}}(2)$ это $3$-сфера $S^{3}$; как группу его можно отождествить с группой единичных кватернионов .
• — Группа Гейзенберга связная нильпотентная группа Ли размерности $3$, играющий ключевую роль в квантовой механике .
• Группа Лоренца — это 6-мерная группа Ли линейных изометрий пространства Минковского .
• Группа Пуанкаре — это 10-мерная группа Ли аффинных изометрий пространства Минковского.
• Исключительные группы Ли типов G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ имеют размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Наряду с серией простых групп Ли ABCD исключительные группы завершают список простые группы Ли.
• Симплектическая группа ${\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )$ состоит из всех $2n\times 2n$ матрицы, сохраняющие симплектическую форму на $\mathbb {R} ^{2n}$. Это связная группа Ли размерности. $2n^{2}+n$.

Конструкции

Существует несколько стандартных способов образования новых групп Ли из старых:

• Произведение двух групп Ли является группой Ли.
• Любая топологически замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли. Это известно как теорема о замкнутой подгруппе или теорема Картана .
• Фактор группы Ли по замкнутой нормальной подгруппе является группой Ли.
• Универсальное накрытие связной группы Ли является группой Ли. Например, группа $\mathbb {R}$ — универсальное покрытие группы кругов $S^{1}$. Фактически любое покрытие дифференцируемого многообразия также является дифференцируемым многообразием, но задав универсальное покрытие, можно гарантировать структуру группы (совместимую с другими ее структурами).

Связанные понятия

Некоторые примеры групп, которые не являются группами Ли (за исключением того тривиального смысла, что любую группу, имеющую не более счетного числа элементов, можно рассматривать как 0-мерную группу Ли с дискретной топологией ):

• Бесконечномерные группы, такие как аддитивная группа бесконечномерного вещественного векторного пространства или пространство гладких функций из многообразия. $X$ в группу Лжи $G$, $C^{\infty }(X,G)$. Это не группы Ли, поскольку они не являются конечномерными многообразиями.
• Некоторые полностью несвязные группы , такие как группа Галуа бесконечного расширения полей или аддитивная группа p -адических чисел. Это не группы Ли, поскольку их базовые пространства не являются вещественными многообразиями. (Некоторые из этих групп являются « p -адическими группами Ли».) В общем, только топологические группы, имеющие локальные свойства, подобные R ^н для некоторого натурального числа n могут быть группами Ли (конечно, они также должны иметь дифференцируемую структуру).

Основные понятия

группой Ли

Основная статья: Соответствие группа Ли – алгебра Ли

Каждой группе Ли мы можем связать алгебру Ли, базовое векторное пространство которой является касательным пространством группы Ли в единичном элементе и которое полностью отражает локальную структуру группы. Неформально мы можем думать об элементах алгебры Ли как об элементах группы, « бесконечно близких» к единице, а скобка Ли алгебры Ли связана с коммутатором двух таких бесконечно малых элементов. Прежде чем дать абстрактное определение, приведем несколько примеров:

• Алгебра Ли векторного пространства R ^н это просто Р ^н со скобкой Ли, заданной формулой
  [ А , Б ] = 0.
  (Вообще, скобка Ли связной группы Ли всегда равна 0 тогда и только тогда, когда группа Ли абелева.)
• Алгебра Ли общей линейной группы GL( n , C ) обратимых матриц — это векторное пространство M( n , C ) квадратных матриц со скобкой Ли, заданной формулой
  [ А , B ] знак равно AB - BA .
• Если G — замкнутая подгруппа группы GL( n , C ), то алгебру Ли группы G можно неформально рассматривать как матрицы m группы M( n , C ) такие, что 1 + ε m находится в G , где ε — бесконечно малая положительное число с ε ² = 0 (разумеется, такого действительного числа ε не существует). Например, ортогональная группа O( n , R ) состоит из матриц A с AA ^Т = 1, поэтому алгебра Ли состоит из матриц m с (1 + ε m )(1 + ε m ) ^Т = 1, что эквивалентно m + m ^Т = 0, потому что е ²  = 0.
• Предыдущее описание можно сделать более строгим следующим образом. Алгебра Ли замкнутой подгруппы G группы GL( n , C ) может быть вычислена как

$\operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},$где exp( tX ) определяется с использованием матричной экспоненты . Затем можно показать, что алгебра Ли группы G представляет собой вещественное векторное пространство, замкнутое относительно операции скобки: $[X,Y]=XY-YX$.

С конкретным определением групп матриц, данным выше, легко работать, но есть некоторые небольшие проблемы: чтобы использовать его, нам сначала нужно представить группу Ли как группу матриц, но не все группы Ли можно представить таким образом, и даже не очевидно, что алгебра Ли не зависит от используемого нами представления. Чтобы обойти эти проблемы, мы даем общее определение алгебры Ли группы Ли (за 4 шага):

1. Векторные поля на любом гладком многообразии M можно рассматривать как дифференцирования X кольца гладких функций на многообразии и, следовательно, образуют алгебру Ли под скобкой Ли [ X , Y ] = XY − YX , поскольку скобка Ли любого два вывода — это вывод.
2. Если G — любая группа, гладко действующая на многообразии M , то она действует на векторные поля, а векторное пространство векторных полей, фиксированных группой, замкнуто относительно скобки Ли и, следовательно, также образует алгебру Ли.
3. когда многообразие M является базовым пространством группы Ли G , причем G действует на G = M посредством левых сдвигов Lg _{Мы применим эту конструкцию к случаю ,} ( h ) = gh . Это показывает, что пространство левоинвариантных векторных полей (векторных полей, удовлетворяющих L _{g *} X _h = X _gh для каждого h в G , где L _{g *} обозначает дифференциал L _g ) на группе Ли является алгеброй Ли относительно Ли скобка векторных полей.
4. Любой касательный вектор в единице группы Ли можно расширить до левоинвариантного векторного поля путем перевода касательного вектора влево в другие точки многообразия. В частности, левоинвариантное расширение элемента v касательного пространства в единице представляет собой векторное поле, определяемое формулой v ^ _g = L _{g *} v . Это отождествляет касательное пространство T _e G в единице с пространством левоинвариантных векторных полей и, следовательно, превращает касательное пространство в единице в алгебру Ли, называемую алгеброй Ли G , обычно обозначаемую Fraktur . ${\mathfrak {g}}.$ Таким образом, скобка Ли на ${\mathfrak {g}}$ задается явно как [ v , w ] = [ v ^, w ^] _e .

Эта алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$конечномерно и имеет ту же размерность, что и многообразие G . Алгебра Ли группы G определяет G с точностью до «локального изоморфизма», где две группы Ли называются локально изоморфными, если они выглядят одинаково вблизи единичного элемента. Проблемы о группах Ли часто решаются путем предварительного решения соответствующей проблемы для алгебр Ли, и затем результат для групп обычно легко следует. Например, простые группы Ли обычно классифицируются путем предварительной классификации соответствующих алгебр Ли.

Мы также могли бы определить структуру алгебры Ли на T _e, используя правоинвариантные векторные поля вместо левоинвариантных векторных полей. Это приводит к той же алгебре Ли, поскольку обратное отображение на G может использоваться для идентификации левоинвариантных векторных полей с правоинвариантными векторными полями и действует как −1 в касательном пространстве T _e .

Структуру алгебры Ли на T _e можно также описать следующим образом: работа коммутатора

( Икс , y ) → хух ⁻¹ и ⁻¹

на G × G отправляет ( e , e ) в e поэтому его производная дает билинейную операцию на T _e G. , Эта билинейная операция на самом деле является нулевым отображением, но вторая производная при правильной идентификации касательных пространств дает операцию, которая удовлетворяет аксиомам скобки Ли , и она в два раза равна операции, определенной через левоинвариантные векторные поля.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Если G и H — группы Ли, то гомоморфизм групп Ли f : G → H — это гладкий групповой гомоморфизм . В случае комплексных групп Ли такой гомоморфизм должен быть голоморфным отображением . Однако эти требования немного строги; всякий непрерывный гомоморфизм вещественных групп Ли оказывается (вещественным) аналитическим .

Композиция двух гомоморфизмов Ли снова является гомоморфизмом, и класс всех групп Ли вместе с этими морфизмами образует категорию . Более того, каждый гомоморфизм группы Ли индуцирует гомоморфизм между соответствующими алгебрами Ли. Позволять $\phi \colon G\to H$ — гомоморфизм группы Ли и пусть $\phi _{*}$быть его производной в единице. Если мы отождествим алгебры Ли групп G и H с их касательными пространствами в единичных элементах, то $\phi _{*}$ является отображением соответствующих алгебр Ли:

$\phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},$

который оказывается гомоморфизмом алгебры Ли (то есть это линейное отображение , сохраняющее скобку Ли ). На языке теории категорий тогда у нас есть ковариантный функтор из категории групп Ли в категорию алгебр Ли, который переводит группу Ли в ее алгебру Ли и гомоморфизм группы Ли в ее производную в единице.

Две группы Ли называются изоморфными, если между ними существует биективный гомоморфизм, обратный которому также является гомоморфизмом группы Ли. Эквивалентно, это диффеоморфизм , который также является гомоморфизмом группы. Заметим, что в силу сказанного выше непрерывный гомоморфизм группы Ли $G$ в группу Лжи $H$ является изоморфизмом групп Ли тогда и только тогда, когда он биективен.

изоморфизмов

Изоморфные группы Ли обязательно имеют изоморфные алгебры Ли; тогда разумно задаться вопросом, как классы изоморфизма групп Ли связаны с классами изоморфизма алгебр Ли.

Первым результатом в этом направлении является третья теорема Ли , которая утверждает, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой (линейной) группы Ли. Один из способов доказать третью теорему Ли — использовать теорему Адо , которая гласит, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли изоморфна матричной алгебре Ли. Между тем, для каждой конечномерной матричной алгебры Ли существует линейная группа (матричная группа Ли) с этой алгеброй в качестве алгебры Ли.

С другой стороны, группы Ли с изоморфными алгебрами Ли не обязательно должны быть изоморфными. Более того, этот результат остается верным, даже если мы предположим, что группы связны. Иными словами, глобальная структура группы Ли не определяется ее алгеброй Ли; например, если Z — любая дискретная подгруппа центра группы G, то G и G / Z имеют одну и ту же алгебру Ли ( см. в таблице групп Ли примеры ). Важным примером в физике являются группы SU(2) и SO(3) . Эти две группы имеют изоморфные алгебры Ли, но сами группы не изоморфны, поскольку SU(2) односвязен, а SO(3) — нет.

С другой стороны, если мы потребуем, чтобы группа Ли была односвязной , то глобальная структура определяется ее алгеброй Ли: две односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. (Дополнительную информацию об односвязных группах Ли см. в следующем подразделе.) Поэтому в свете третьей теоремы Ли мы можем сказать, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма конечномерных вещественных алгебр Ли и классами изоморфизма односвязные группы Ли.

Односвязные группы Ли

См. Также: Соответствие группа Ли – алгебра Ли и Фундаментальная группа § Группы Ли.

Группа лжи $G$ называется односвязным, если каждый цикл в $G$ можно непрерывно сжимать до точки $G$. Это понятие важно из-за следующего результата, который имеет простую связность в качестве гипотезы:

Теорема : Предполагать $G$ и $H$ являются группами Ли с алгебрами Ли ${\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {h}}$ и это $f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}$является гомоморфизмом алгебры Ли. Если $G$ односвязна, то существует единственный гомоморфизм группы Ли $\phi :G\rightarrow H$ такой, что $\phi _{*}=f$, где $\phi _{*}$ является дифференциалом $\phi$ у личности.

Третья теорема Ли гласит, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли. Из третьей теоремы Ли и предыдущего результата следует, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли единственной односвязной группы Ли.

Примером односвязной группы является специальная унитарная группа SU(2) , которая как многообразие представляет собой 3-сферу. односвязной . С другой стороны, группа вращения SO(3) не является (См. Топологию SO(3) .) Неспособность SO(3) быть односвязной тесно связана с различием между целым и полуцелым спином в квантовой механике. Другие примеры односвязных групп Ли включают специальную унитарную группу SU(n) , спиновую группу (двойное покрытие группы вращения) Spin(n) для $n\geq 3$и компактная симплектическая группа Sp(n) .

Методы определения того, является ли группа Ли односвязной или нет, рассмотрены в статье о фундаментальных группах групп Ли .

Экспоненциальная карта

Основная статья: Экспоненциальная карта (теория лжи)

См. Также: производная экспоненциальной карты и нормальных координат.

Экспоненциальное отображение алгебры Ли $\mathrm {M} (n;\mathbb {C} )$ общей линейной группы $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ к $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ определяется матричной экспонентой , заданной обычным степенным рядом:

$\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots$

для матриц $X$. Если $G$ является закрытой подгруппой $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$, то экспоненциальное отображение принимает алгебру Ли $G$ в $G$; таким образом, у нас есть экспоненциальное отображение для всех групп матриц. Каждый элемент $G$ достаточно близкое к единице, является экспонентой матрицы в алгебре Ли.

Приведенное выше определение легко использовать, но оно не определено для групп Ли, которые не являются матричными группами, и неясно, что экспоненциальное отображение группы Ли не зависит от ее представления в виде матричной группы. Мы можем решить обе проблемы, используя более абстрактное определение экспоненциального отображения, которое работает для всех групп Ли, следующим образом.

Для каждого вектора $X$ в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ (т.е. касательное пространство к $G$ в единице) доказывается существование единственной однопараметрической подгруппы $c:\mathbb {R} \rightarrow G$ такой, что $c'(0)=X$. Говоря это $c$ является подгруппой с одним параметром означает просто, что $c$ представляет собой гладкую карту в $G$ и это

$c(s+t)=c(s)c(t)\$

для всех $s$ и $t$. Операция в правой части — это групповое умножение в $G$. Формальное сходство этой формулы с формулой, справедливой для показательной функции, оправдывает определение

$\exp(X)=c(1).\$

Это называется экспоненциальным отображением и отображает алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ в группу Лия $G$. Он обеспечивает диффеоморфизм между окрестностями 0 в ${\mathfrak {g}}$ и окрестности г. $e$ в $G$. Это экспоненциальное отображение является обобщением показательной функции для действительных чисел (поскольку $\mathbb {R}$ — алгебра Ли группы Ли положительных действительных чисел с умножением), для комплексных чисел (поскольку $\mathbb {C}$ — алгебра Ли группы Ли ненулевых комплексных чисел с умножением) и для матриц (поскольку $M(n,\mathbb {R} )$ с регулярным коммутатором является алгеброй Ли группы Ли $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ всех обратимых матриц).

Поскольку экспоненциальное отображение сюръективно в некоторой окрестности $N$ из $e$элементы алгебры Ли принято называть инфинитезимальными образующими группы $G$. Подгруппа $G$ Сгенерированно с помощью $N$ является компонентом идентичности $G$.

Экспоненциальное отображение и алгебра Ли определяют локальную групповую структуру каждой связной группы Ли благодаря формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа : существует окрестность $U$ нулевого элемента ${\mathfrak {g}}$, такой, что для $X,Y\in U$ у нас есть

$\exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),$

где пропущенные члены известны и включают скобки Ли из четырех или более элементов. В случае $X$ и $Y$ коммутируя, эта формула сводится к знакомому экспоненциальному закону $\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)$

Экспоненциальное отображение связывает гомоморфизмы групп Ли. То есть, если $\phi :G\to H$ является гомоморфизмом группы Ли и $\phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ индуцированное отображение на соответствующих алгебрах Ли, то для всех $x\in {\mathfrak {g}}$ у нас есть

$\phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,$

Другими словами, следующая диаграмма коммутирует ,

(Короче, exp — это естественное преобразование функтора Ли в тождественный функтор в категории групп Ли.)

Экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли не всегда отображается на , даже если группа связна (хотя оно отображается на группу Ли для связных групп, которые либо компактны, либо нильпотентны). Например, экспоненциальное отображение SL(2, R ) не является сюръективным. Кроме того, экспоненциальное отображение не является ни сюръективным, ни инъективным для бесконечномерных (см. ниже) групп Ли, смоделированных на C. ^∞ Пространство Фреше , даже от произвольной малой окрестности 0 до соответствующей окрестности 1.

Подгруппа лжи

Подгруппа Лжи $H$ группы Ли $G$ — группа Ли, подмножеством являющаяся $G$ и такой, что карта включения из $H$ к $G$является инъективным погружением и гомоморфизмом группы . По Картана замкнутая подгруппа теореме $G$ допускает уникальную гладкую структуру, которая делает ее вложенной подгруппой Ли группы $G$- т.е. подгруппа Ли такая, что отображение включения является гладким вложением.

Примеров незамкнутых подгрупп множество; например, возьми $G$ быть тором размерности 2 или больше, и пусть $H$быть однопараметрической подгруппой иррационального наклона которая вращается в G. , т.е. той , Тогда существует гомоморфизм группы Ли $\varphi :\mathbb {R} \to G$ с $\mathrm {im} (\varphi )=H$. Закрытие ​ ​ $H$ будет подтором в $G$.

Экспоненциальное отображение дает взаимно однозначное соответствие между связными подгруппами Ли связной группы Ли. $G$ и подалгебры алгебры Ли $G$. Обычно подгруппа, соответствующая подалгебре, не является замкнутой подгруппой. Не существует критерия, основанного исключительно на структуре $G$ который определяет, какие подалгебры соответствуют замкнутым подгруппам.

Представления

Основная статья: Представление группы Ли

См. Также: Компактная группа § Теория представлений связной компактной группы Ли и представление алгебры Ли.

Одним из важных аспектов изучения групп Ли является их представление, то есть то, как они могут действовать (линейно) в векторных пространствах. В физике группы Ли часто кодируют симметрию физической системы. Эту симметрию для анализа системы часто используют с помощью теории представлений. Рассмотрим, например, независимое от времени уравнение Шредингера в квантовой механике: ${\hat {H}}\psi =E\psi$. Предположим, что рассматриваемая система имеет группу вращений SO (3) как симметрию, а это означает, что гамильтонов оператор ${\hat {H}}$ коммутирует с действием SO(3) на волновую функцию $\psi$. (Одним из важных примеров такой системы является атом водорода , имеющий одну сферическую орбиталь.) Это предположение не обязательно означает, что решения $\psi$являются вращательно-инвариантными функциями. Скорее, это означает, что пространство решений задачи ${\hat {H}}\psi =E\psi$ инвариантен относительно вращений (для каждого фиксированного значения $E$). Таким образом, это пространство представляет собой представление SO(3). Эти представления были классифицированы , и классификация приводит к существенному упрощению проблемы , по существу превращая трехмерное уравнение в частных производных в одномерное обыкновенное дифференциальное уравнение.

Случай связной компактной группы Ли K (включая только что упомянутый случай SO(3)) особенно разобран. В этом случае каждое конечномерное представление K распадается в прямую сумму неприводимых представлений. Неприводимые представления, в свою очередь, были классифицированы Германом Вейлем . Классификация осуществляется по «наибольшему весу» представления. Классификация тесно связана с классификацией представлений полупростой алгебры Ли .

Можно также изучать (вообще говоря, бесконечномерные) унитарные представления произвольной группы Ли (не обязательно компактной). Например, можно дать сравнительно простое явное описание представлений группы SL(2,R) и представлений группы Пуанкаре .

Классификация

Группы Ли можно рассматривать как плавно меняющиеся семейства симметрий. Примеры симметрии включают вращение вокруг оси. Что необходимо понять, так это природу «маленьких» преобразований, например, поворотов на крошечные углы, которые связывают близлежащие преобразования. Математический объект, отражающий эту структуру, называется алгеброй Ли ( сам Ли называл их «бесконечно-малыми группами»). Его можно определить, поскольку группы Ли являются гладкими многообразиями, поэтому имеются касательные пространства в каждой точке .

Алгебра Ли любой компактной группы Ли (очень грубо: той, для которой симметрии образуют ограниченное множество) может быть разложена как прямая сумма абелевой алгебры Ли и некоторого количества простых . Структура абелевой алгебры Ли математически неинтересна (поскольку скобка Ли тождественно равна нулю); интерес представляют простые слагаемые. Отсюда возникает вопрос: что такое простые алгебры Ли компактных групп? Оказывается, они в основном распадаются на четыре бесконечных семейства, «классические алгебры Ли» An _, Bn _, Cn _и Dn _, которые имеют простое описание в терминах симметрии евклидова пространства. Но есть также всего пять «исключительных алгебр Ли», которые не попадают ни в одно из этих семейств. Е ₈ — самый крупный из них.

Группы Ли классифицируются по их алгебраическим свойствам ( простые , полупростые , разрешимые , нильпотентные , абелевы ), их связности ( связность или односвязность ) и их компактности .

Первым ключевым результатом является разложение Леви , которое гласит, что каждая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы.

• Все связные компактные группы Ли известны: они являются конечными центральными факторами произведения копий группы окружностей S. ¹ и простые компактные группы Ли (которые соответствуют связным диаграммам Дынкина ).
• Любая односвязная разрешимая группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхнетреугольных матриц некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы одномерно. Разрешимые группы слишком беспорядочны, чтобы их можно было классифицировать, за исключением нескольких небольших измерений.
• Любая односвязная нильпотентная группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы одномерно. Как и разрешимые группы, нильпотентные группы слишком запутаны, чтобы их можно было классифицировать, за исключением нескольких небольших измерений.
• Простые группы Ли иногда определяются как группы, которые просты как абстрактные группы, а иногда определяются как связные группы Ли с простой алгеброй Ли. Например, SL(2, R ) является простым согласно второму определению, но не согласно первому. Все они были классифицированы (по любому определению).
• Полупростые группы Ли — это группы Ли, алгебра Ли которых является произведением простых алгебр Ли. Они являются центральными расширениями произведений простых групп Ли.

Единичный компонент любой группы Ли представляет собой открытую нормальную подгруппу , а факторгруппа — дискретную группу . Универсальное накрытие любой связной группы Ли является односвязной группой Ли, и наоборот, любая связная группа Ли является фактором односвязной группы Ли по дискретной нормальной подгруппе центра. Любую группу Ли G можно каноническим образом разложить на дискретные, простые и абелевы группы следующим образом. Писать

G _con для компонента связности тождества

G _sol для наибольшей связной нормальной разрешимой подгруппы

G _nil для наибольшей связной нормальной нильпотентной подгруппы

так что у нас есть последовательность нормальных подгрупп

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Затем

G / G _con дискретен

G _con / G _sol является центральным расширением произведения простых связных групп Ли .

G _sol / G _nil абелева. Связная абелева группа Ли изоморфна произведению копий R и группы окружностей S. ¹ .

G _nil /1 нильпотентна, и поэтому ее восходящий центральный ряд имеет все факторы абелевы.

Это можно использовать, чтобы свести некоторые проблемы, связанные с группами Ли (например, поиск их унитарных представлений), к тем же проблемам для связных простых групп, а также нильпотентных и разрешимых подгрупп меньшей размерности.

• Группа диффеоморфизмов группы Ли действует транзитивно на группе Ли.
• Любая группа Ли параллелизуема и, следовательно, является ориентируемым многообразием (существует изоморфизм расслоения между ее касательным расслоением и произведением самой себя с касательным пространством в единице)

Бесконечномерные группы Ли

Группы Ли часто определяют как конечномерные, но существует много групп, которые напоминают группы Ли, за исключением того, что они бесконечномерны. Самый простой способ определить бесконечномерные группы Ли — это смоделировать их локально в банаховых пространствах (в отличие от евклидова пространства в конечномерном случае), и в этом случае большая часть базовой теории аналогична теории конечномерных Ли. группы. Однако для многих приложений этого недостаточно, поскольку многие естественные примеры бесконечномерных групп Ли не являются банаховыми многообразиями . Вместо этого необходимо определить группы Ли, смоделированные на основе более общих локально выпуклых топологических векторных пространств. В этом случае связь между алгеброй Ли и группой Ли становится довольно тонкой, и некоторые результаты о конечномерных группах Ли перестают быть верными.

Литература не совсем единообразна в терминологии относительно того, какие именно свойства бесконечномерных групп квалифицируют группу для префикса Ли в группе Ли . Что касается алгебры Ли, дела обстоят проще, поскольку квалификационные критерии для префикса Ли в алгебре Ли являются чисто алгебраическими. Например, бесконечномерная алгебра Ли может иметь или не иметь соответствующую группу Ли. То есть может существовать группа, соответствующая алгебре Ли, но ее может быть недостаточно хорошо называть группой Ли, или связь между группой и алгеброй Ли может быть недостаточно хорошей (например, отказ экспоненциальное отображение на окрестность единицы). Это «достаточно хороший», который не имеет универсального определения.

Некоторые из примеров, которые были изучены, включают в себя:

• Группа диффеоморфизмов многообразия. О группе диффеоморфизмов окружности известно довольно много. Ее алгеброй Ли является (более или менее) алгебра Витта , центральным расширением которой является алгебра Вирасоро (см. «Алгебра Вирасоро из алгебры Витта для вывода этого факта») является алгеброй симметрии двумерной конформной теории поля . Группы диффеоморфизмов компактных многообразий большей размерности являются регулярными группами Ли Фреше ; об их строении известно очень мало.
• Группа диффеоморфизмов пространства-времени иногда появляется при попытках квантовать гравитацию.
• Группа гладких отображений многообразия в конечномерную группу Ли является примером калибровочной группы (с операцией поточечного умножения ) и используется в квантовой теории поля и теории Дональдсона . Если многообразие представляет собой круг, они называются группами петель и имеют центральные расширения, алгебры Ли которых являются (более или менее) алгебрами Каца – Муди .
• Существуют бесконечномерные аналоги общих линейных групп, ортогональных групп и т. д. Одним из важных аспектов является то, что они могут иметь более простые топологические свойства: см., например, теорему Койпера . в М-теории Например, 10-мерная калибровочная теория SU( N ) становится 11-мерной теорией, когда N становится бесконечным.

См. также

• Присоединенное представление группы Ли.
• Ее мера
• Однородное пространство
• Список тем группы Лия
• Представления групп Ли
• Симметрия в квантовой механике
• Симметрия точки Ли о применении групп Ли к изучению дифференциальных уравнений.

Ссылки

• Адамс, Джон Франк (1969), Лекции по группам Ли , Чикагские лекции по математике, Чикаго: Univ. Чикаго Пресс, ISBN  978-0-226-00527-0 , МР   0252560 .
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 – через ScienceDirect .
• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , История математики, том. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-0288-5 , МР   1847105
• Бурбаки, Николя , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли . Главы 1–3 ISBN   3-540-64242-0 , главы 4–6. ISBN   3-540-42650-7 , главы 7–9. ISBN   3-540-43405-4
• Шевалле, Клод (1946), Теория групп Ли , Принстон: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04990-8 .
• Кон, Пол Мориц (1957). Группы лжи . Кембриджские трактаты по математической физике. Издательство Кембриджского университета. OCLC   529830 .
• Кулидж, Джулиан Лоуэлл (2003). История геометрических методов . Дуврские публикации . стр. 304–317. ISBN  978-0-486-49524-8 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Гилмор, Роберт (2008). Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков . Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511791390 . ISBN  978-0-521-88400-6 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN.  978-3319134666 .
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Академическая пресса . ISBN  0-12-329650-1 .
• Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории групп Ли , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1202-7 , ISBN  978-0-387-98963-1 , MR   1771134 Отзыв Бореля
• Хельгасон, Сигурдур (1978). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 131. ИСБН  978-0-12-338460-7 .
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4259-4 .
• Кобаяси, Тошиюки ; Осима, Тошио (2005), Группы Ли и теория представлений (на японском языке), Иванами, ISBN.  4-00-006142-9 .
• Ли, Софус (1876), «Теория групп преобразований (I, II)» , Архив Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 19–57, 152–193.
• Ниженхейс, Альберт (1959). «Обзор: группы лжи П.М. Кона» . Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. дои : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-859683-7 . В переиздании 2003 года исправлено несколько типографских ошибок.
• Саттингер, Дэвид Х.; Уивер, OL (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4757-1910-9 . ISBN  978-3-540-96240-3 . МР   0835009 .
• Серр, Жан-Пьер (1965), Алгебры Ли и группы Ли: 1964 Лекции, прочитанные в Гарвардском университете , Конспекты лекций по математике, том. 1500, Спрингер, ISBN  978-3-540-55008-2 .
• Стееб, Вилли-Ханс (2007), Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра: второе издание , World Scientific Publishing, doi : 10.1142/6515 , ISBN  978-981-270-809-0 , МР   2382250 .
• Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-78214-0 . ISBN  978-0387782140 .
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4757-1799-0 , ISBN.  978-0-387-90894-6 , МР   0722297
• Циллер, Вольфганг (2010). «Группы Ли. Теория представлений и симметрические пространства» (PDF) . Пенсильванский университет.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с группами лжи, на Викискладе?
• Журнал теории лжи