Полностью разобщенная группа

В математике — полностью несвязная группа это группа топологическая полностью несвязная . Такие топологические группы обязательно хаусдорфовы .

Интерес сосредоточен на локально компактных полностью несвязных группах (называемых по-другому группами td-типа , ^[1] локально проконечные группы , ^[2] или тд группы ^[3]). Компактный ) , случай был тщательно изучен (это проконечные группы но долгое время об общем случае было известно немного. Теорема Ван Данцига ^[4] все, что было известно с 1930-х годов, — утверждение, что каждая такая группа содержит компактную открытую подгруппу . Затем новаторская работа Джорджа Уиллиса в 1994 году открыла эту область, показав, что каждая локально компактная полностью несвязная группа содержит так называемую аккуратную подгруппу и специальную функцию над ее автоморфизмами , масштабную функцию , дающую количественный параметр для локальной структуры. Достижения в области глобальной структуры полностью несвязных групп были получены в 2011 году Капрасом и Моно , в частности, с классификацией характерно простых групп и нётеровых групп .

Локально компактный случай

В локально компактной вполне несвязной группе каждая окрестность единицы содержит компактную открытую подгруппу. И наоборот, если группа такова, что тождество имеет базис окрестности , состоящий из компактных открытых подгрупп, то она локально компактна и вполне несвязна. ^[2]

Аккуратные подгруппы

Пусть G — локально компактная вполне несвязная группа, U — компактная открытая подгруппа в G и $\alpha$ непрерывный автоморфизм группы G .

Определять:

U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)

U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)

U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})

U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})

ты Говорят, опрятный что $\alpha$ тогда и только тогда, когда $U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}$ и $U_{++}$ и $U_{--}$ закрыты.

Функция масштабирования

Индекс $\alpha (U_{+})$ в $U_{+}$ показано, что оно конечно и не зависит от U , что аккуратно для $\alpha$ . Определить функцию масштабирования $s(\alpha )$ как этот индекс. Ограничение на внутренние автоморфизмы дает функцию на G с интересными свойствами. Это, в частности:
Определите функцию $s$ на G автор $s(x):=s(\alpha _{x})$ , где $\alpha _{x}$ является внутренним автоморфизмом $x$ на Г.

Характеристики

$s$ является непрерывным.
$s(x)=1$ , если x в G является компактным элементом.
$s(x^{n})=s(x)^{n}$ для каждого неотрицательного целого числа $n$ .
Модульная функция на G имеет вид $\Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}$ .

Расчеты и приложения

Масштабная функция использовалась для доказательства гипотезы Хофмана и Мухерья и была явно вычислена для p-адических групп Ли и линейных групп над локальными телами Хельге Глекнером.

Примечания

^ Картье 1979 , §1.1
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Бушнелл и Хенниарт 2006 , §1.1
^ Борель и Уоллах 2000 , Глава X
^ ван Данциг 1936 , с. 411

Ссылки

ван Данциг, Дэвид (1936), «О топологической алгебре. III. Группы Брауэра и Кантора» , Compositio Mathematica , 3 : 408–426
Борель, Арман ; Уоллах, Нолан (2000), Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп , Математические обзоры и монографии, том. 67 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0851-1 , МР 1721403
Бушнелл, Колин Дж.; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN. 978-3-540-31486-8 , МР 2234120
Капрас, Пьер-Эммануэль; Моно, Николя (2011), «Разложение локально компактных групп на простые части», Math. Учеб. Кембриджская философия. Соц. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode : 2011MPCPS.150...97C , doi : 10.1017/S0305004110000368 , MR 2739075
Картье, Пьер (1979), «Представления ${\mathfrak {p}}$ -адические группы: обзор», в Борель, Арманд ; Кассельман, Уильям (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (PDF) , Труды симпозиумов по чистой математике, том 33, Часть 1, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 111–155, ISBN. 978-0-8218-1435-2 , МР 0546593
Г. А. Уиллис - Структура полностью несвязных локально компактных групп , Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)

[1] Картье 1979 , §1.1

[BushnellHenniart-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Бушнелл и Хенниарт 2006 , §1.1

[3] Борель и Уоллах 2000 , Глава X

[Dantzig-4] ван Данциг 1936 , с. 411

[1]

[2]

[3]

[4]